RA2014: Razonamiento por casos y por inducción en Isabelle/HOL
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático hemos profundizado en el estudio de las demostraciones por casos y por inducción. En concreto, se ha estudiado
- el razonamiento por casos booleanos,
- el razonamiento por casos booleanos sobre una variable,
- el razonamiento por casos sobre listas,
- el razonamiento por inducción sobre números naturales con patrones,
- el razonamiento sobre definiciones con existenciales,
- el uso de librerías auxiliares (como Parity) y
- el uso de otros métodos de demostración (como presburg).
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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<!--more--> header {* Tema 4: Razonamiento por casos y por inducción *} theory T4_Razonamiento_por_casos_y_por_induccion imports Main Parity begin text {* En este tema se amplían los métodos de demostración por casos y por inducción iniciados en el tema anterior. *} section {* Razonamiento por distinción de casos *} subsection {* Distinción de casos booleanos *} text {* Ejemplo de demostración por distinción de casos booleanos: Demostrar "¬A ∨ A". *} -- "La demostración estructurada es" lemma "¬A ∨ A" proof cases assume "A" then show "¬A ∨ A" .. next assume "¬A" then show "¬A ∨ A" .. qed text {* Comentarios de la demostración anterior: · "proof cases" indica que el método de demostración será por distinción de casos. · Se generan 2 casos: 1. ?P ⟹ ¬A ∨ A 2. ¬?P ⟹ ¬A ∨ A donde ?P es una variable sobre las fórmulas. · (assume "A") indica que se está usando "A" en lugar de la variable ?P. · "then" indica usando la fórmula anterior. · ".." indica usando la regla lógica necesaria (las reglas lógicas se estudiarán en los siguientes temas). · "next" indica el siguiente caso (se puede observar cómo ha sustituido ¬?P por ¬A. *} -- "La demostración automática es" lemma "¬A ∨ A" by auto text {* Ejemplo de demostración por distinción de casos booleanos con nombres: Demostrar "¬A ∨ A". *} -- "La demostración estructurada es" lemma "¬A ∨ A" proof (cases "A") case True then show "¬A ∨ A" .. next case False thus "¬A ∨ A" .. qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (cases "A") indica que la demostración se hará por casos según los distintos valores de "A". · Como "A" es una fórmula, sus posibles valores son verdadero o falso. · "case True" indica que se está suponiendo que A es verdadera. Es equivalente a "assume A". · "case False" indica que se está suponiendo que A es falsa. Es equivalente a "assume ¬A". · En general, · el método (cases F) es una abreviatura de la aplicación de la regla ⟦F ⟹ Q; ¬F ⟹ Q⟧ ⟹ Q · La expresión "case True" es una abreviatura de F. · La expresión "case False" es una abreviatura de ¬F. · Ventajas de "cases" con nombre: · reduce la escritura de la fórmula y · es independiente del orden de los casos. *} subsection {* Distinción de casos sobre otros tipos de datos *} text {* Ejemplo de distinción de casos sobre listas: Demostrar que la longitud del resto de una lista es la longitud de la lista menos 1. *} -- "La demostración detallada es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) assume "xs = []" then show "length (tl xs) = length xs - 1" by simp next fix y ys assume "xs = y#ys" then show "length(tl xs) = length xs - 1" by simp qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · "(cases xs)" indica que la demostración se hará por casos sobre los posibles valores de xs. · Como xs es una lista, sus posibles valores son la lista vacía ([]) o una lista no vacía (de la forma (y#ys)). · Se generan 2 casos: 1. xs = [] ⟹ length (tl xs) = length xs - 1 2. ⋀a list. xs = a # list ⟹ length (tl xs) = length xs - 1 *} -- "La demostración simplificada es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) case Nil then show ?thesis by simp next case Cons then show ?thesis by simp qed text {* Comentarios sobre la dmostración anterior: · "case Nil" es una abreviatura de "assume xs =[]". · "case Cons" es una abreviatura de "fix y ys assume xs = y#ys" · ?thesis es una abreviatura de la conclusión del lema. *} -- "La demostración automática es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" by auto text {* Een el siguiente ejemplo vamos a demostrar una propiedad de la función drop que está definida en la teoría List de forma que (drop n xs) la lista obtenida eliminando en xs} los n primeros elementos. Su definición es la siguiente drop_Nil: "drop n [] = []" drop_Cons: "drop n (x#xs) = (case n of 0 => x#xs | Suc(m) => drop m xs)" *} text {* Ejemplo de análisis de casos: Demostrar que el resultado de eliminar los n+1 primeros elementos de xs es el mismo que eliminar los n primeros elementos del resto de xs. *} -- "La demostración detallada es" lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" proof (cases xs) case Nil then show ?thesis by simp next case Cons then show ?thesis by simp qed -- "La demostración automática es" lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" by (cases xs) auto section {* Inducción matemática *} text {* [Principio de inducción matemática] Para demostrar una propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0 tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1 también la tiene. ⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m En Isabelle el principio de inducción matemática está formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con thm nat.induct *} text {* Ejemplo de demostración por inducción: Usaremos el principio de inducción matemática para demostrar que 1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2 Definición. [Suma de los primeros impares] (suma_impares n) la suma de los n números impares. Por ejemplo, suma_impares 3 = 9 *} fun suma_impares :: "nat ⇒ nat" where "suma_impares 0 = 0" | "suma_impares (Suc n) = (2*(Suc n) - 1) + suma_impares n" value "suma_impares 3" text {* Ejemplo de demostración por inducción matemática: Demostrar que la suma de los n primeros números impares es n^2. *} -- "Demostración del lema anterior por inducción y razonamiento ecuacional" lemma "suma_impares n = n * n" proof (induct n) show "suma_impares 0 = 0 * 0" by simp next fix n assume HI: "suma_impares n = n * n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" by simp qed -- "Demostración del lema anterior con patrones y razonamiento ecuacional" lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume HI: "?P n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "?P (Suc n)" by simp qed text {* Comentario sobre la demostración anterior: · Con la expresión "suma_impares n = n * n" (is "?P n") se abrevia "suma_impares n = n * n" como "?P n". Por tanto, "?P 0" es una abreviatura de "suma_impares 0 = 0 * 0" "?P (Suc n)" es una abreviatura de "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" · En general, cualquier fórmula seguida de (is patrón) equipara el patrón con la fórmula. *} -- "La demostración usando patrones es" lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume "?P n" then show "?P (Suc n)" by simp qed -- "La demostración automática es" lemma "suma_impares n = n * n" by (induct n) auto text {* Ejemplo de definición con existenciales. Un número natural n es par si existe un natural m tal que n=m+m. *} definition par :: "nat ⇒ bool" where "par n ≡ ∃m. n=m+m" text {* Ejemplo de inducción y existenciales: Demostrar que para todo número natural n, se verifica que n*(n+1) par. *} -- "Demostración detallada por inducción" lemma fixes n :: "nat" shows "par (n*(n+1))" proof (induct n) show "par (0*(0+1))" by (simp add: par_def) next fix n assume "par (n*(n+1))" then have "∃m. n*(n+1) = m+m" by (simp add:par_def) then obtain m where m: "n*(n+1) = m+m" .. then have "(Suc n)*((Suc n)+1) = (m+n+1)+(m+n+1)" by auto then have "∃m. (Suc n)*((Suc n)+1) = m+m" .. then show "par ((Suc n)*((Suc n)+1))" by (simp add:par_def) qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (fixes n :: "nat") es una abreviatura de "sea n un número natural". *} text {* En Isabelle puede demostrarse de manera más simple un lema equivalente usando en lugar de la función "par" la función "even" definida en la teoría Parity por even x ⟷ x mod 2 = 0" *} lemma fixes n :: "nat" shows "even (n*(n+1))" by auto text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · Para poder usar la función "even" de la librería Parity es necesario importar dicha librería. Por ello, anter del inicio de la teoría aparece imports Main Parity *} text {* Para completar la demostración basta demostrar la equivalencia de las funciones "par" y "even". *} lemma fixes n :: "nat" shows "par n = even n" proof - have "par n = (∃m. n = m+m)" by (simp add:par_def) then show "par n = even n" by presburger qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · "by presburger" indica que se use como método de demostración el algoritmo de decisión de la aritmética de Presburger. *} end |