RA2018: Definiciones inductivas en IsabelleHOL
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado cómo demostrar en Isabelle la corrección de un compilador de expresiones aritméticas.
La clase se ha basado en la siguiente teoría Isabelle
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chapter {* Tema 11: Definiciones inductivas *} theory T11_Definiciones_inductivas imports Main begin section {* El conjunto de los números pares *} text {* · El conjunto de los números pares se define inductivamente como el menor conjunto que contiene al 0 y es cerrado por la operación (+2). · El conjunto de los números pares también puede definirse como los naturales divisible por 2. · Veremos cómo se escriben las dos definiciones en Isabelle/HOL y cómo se demuestra su equivalencia. *} subsection {* Definición inductiva del conjunto de los pares *} inductive_set par :: "nat set" where cero [intro!]: "0 ∈ par" | paso [intro!]: "n ∈ par ⟹ (Suc (Suc n)) ∈ par" text {* · Una definición inductiva está formada con reglas de introducción. · La definición inductiva genera varios teoremas: · par.cero: 0 ∈ par · par.paso: n ∈ par ⟹ Suc (Suc n) ∈ par · par.simps: (a ∈ par) = (a = 0 ∨ (∃n. a = Suc (Suc n) ∧ n ∈ par)) *} subsection {* Uso de las reglas de introducción *} text {* Lema: Los números de la forma 2*k son pares. *} ― ‹La demostración automática es› lemma dobles_son_pares [intro!]: "2*k ∈ par" by (induct k) auto ― ‹La demostración estructurada es› lemma dobles_son_pares_2: "2*k ∈ par" proof (induct k) show "2 * 0 ∈ par" by auto next show "⋀k. 2 * k ∈ par ⟹ 2 * Suc k ∈ par" by auto qed text {* · Nota: Nuestro objetivo es demostrar la equivalencia de la definición anterior y la definición mediante divisibilidad (even). · Lema: Si n es divisible por 2, entonces es par. *} lemma even_imp_par: "even n ⟹ n ∈ par" by auto subsection {* Regla de inducción *} text {* Entre las reglas generadas por la definión de par está la de inducción: · par.induct: ⟦ x ∈ par; P 0; ⋀n. ⟦n ∈ par; P n⟧ ⟹ P (Suc (Suc n))⟧ ⟹ P x *} text {* Lema: Los números pares son divisibles por 2. *} ― ‹1ª demostración (detallada)› lemma par_imp_even: "n ∈ par ⟹ even n" proof (induction rule: par.induct) show "2 dvd (0::nat)" by (simp_all add: dvd_def) next fix n::nat assume H1: "n ∈ par" and H2: "even n" have "∃k. n = 2*k" using H2 by (simp add: dvd_def) then obtain k where "n = 2*k" .. then have "Suc (Suc n) = 2*(k+1)" by auto then have "∃k. Suc (Suc n) = 2*k" .. then show "even (Suc (Suc n))" by (simp add: dvd_def) qed ― ‹2ª demostración (con arith)› lemma par_imp_even_2: "n ∈ par ⟹ even n" proof (induction rule: par.induct) show "even (0::nat)" by (simp_all add: dvd_def) next fix n::nat assume H1: "n ∈ par" and H2: "even n" then show "even (Suc (Suc n))" by (auto simp add: dvd_def, arith) qed ― ‹3ª demostración (automática)› lemma par_imp_even_3: "n ∈ par ⟹ even n" by (induction rule:par.induct) (auto simp add: dvd_def, arith) text {* Lema: Un número n es par syss es divisible por 2. *} theorem par_iff_even: "(n ∈ par) = (even n)" by (blast intro: even_imp_par par_imp_even) subsection{* Generalización y regla de inducción *} text {* · Antes de aplicar inducción se debe de generalizar la fórmula a probar. · Vamos a ilustrar el principio anterior en el caso de los conjuntos inductivamente definidos, con el siguiente ejemplo: si n+2 es par, entonces n también lo es. · El siguiente intento falla: *} lemma "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" apply (erule par.induct) oops text {* En el intento anterior, los subobjetivos generados son 1. n ∈ par 2. ⋀na. ⟦na ∈ par; n ∈ par⟧ ⟹ n ∈ par que no se pueden demostrar. Se ha perdido la información sobre Suc (Suc n). *} text {* Reformulación del lema: Si n es par, entonces n-2 también lo es. *} ― ‹La demostración automática es› lemma par_imp_par_menos_2: "n ∈ par ⟹ n - 2 ∈ par" by (induction rule:par.induct) auto ― ‹La demostración estructurada es› lemma "n ∈ par ⟹ n - 2 ∈ par" proof (induction rule:par.induct) show "0 - 2 ∈ par" by auto next show "⋀n. ⟦n ∈ par; n - 2 ∈ par⟧ ⟹ Suc (Suc n) - 2 ∈ par" by auto qed text {* Con el lema anterior se puede demostrar el original. *} ― ‹La demostración estructurada es› lemma assumes "Suc (Suc n) ∈ par" shows "n ∈ par" proof - have "Suc (Suc n) - 2 ∈ par" using assms by (rule par_imp_par_menos_2) then show "n ∈ par" by simp qed ― ‹La demostración aplicativa es› lemma "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" apply (drule par_imp_par_menos_2) apply simp done (* Comentar el uso de drule *) ― ‹La demostración automática es› lemma Suc_Suc_par_imp_par: "Suc (Suc n) ∈ par ⟹ n ∈ par" by (drule par_imp_par_menos_2, simp) text {* Lemma. Un número natural n es par syss n+2 es par. *} lemma [iff]: "((Suc (Suc n)) ∈ par) = (n ∈ par)" by (blast dest: Suc_Suc_par_imp_par) text {* Se usa el atributo "iff" porque sirve como regla de simplificación. *} subsection {* Definiciones mutuamente inductivas *} text {* Definición cruzada de los conjuntos inductivos de los pares y de los impares: *} inductive_set Pares :: "nat set" and Impares :: "nat set" where ceroP: "0 ∈ Pares" | ParesI: "n ∈ Impares ⟹ Suc n ∈ Pares" | ImparesI: "n ∈ Pares ⟹ Suc n ∈ Impares" text {* El esquema de inducción generado por la definición anterior es · Pares_Impares.induct: ⟦P1 0; ⋀n. ⟦n ∈ Impares; P2 n⟧ ⟹ P1 (Suc n); ⋀n. ⟦n ∈ Pares; P1 n⟧ ⟹ P2 (Suc n)⟧ ⟹ (x1 ∈ Pares ⟶ P1 x1) ∧ (x2 ∈ Impares ⟶ P2 x2) *} text {* Ejemplo de demostración usando el esquema anterior. *} lemma "(m ∈ Pares ⟶ even m) ∧ (n ∈ Impares ⟶ even (Suc n))" proof (induction rule:Pares_Impares.induct) show "even (0::nat)" by simp next fix n :: "nat" assume H1: "n ∈ Impares" and H2: "even (Suc n)" show "even (Suc n)" using H2 by simp next fix n :: "nat" assume H1: "n ∈ Pares" and H2: "even n" have "∃k. n = 2*k" using H2 by (simp add: dvd_def) then obtain k where "n = 2*k" .. then have "Suc (Suc n) = 2*(k+1)" by auto then have "∃k. Suc (Suc n) = 2*k" .. then show "even (Suc (Suc n))" by (simp add: dvd_def) qed subsection {* Definición inductiva de predicados *} text {* Definición inductiva del predicado es_par tal que (es_par n) se verifica si n es par. *} inductive es_par :: "nat ⇒ bool" where "es_par 0" | "es_par n ⟹ es_par (Suc(Suc n))" text {* Heurística para elegir entre definir conjuntos o predicados: · si se va a combinar con operaciones conjuntistas, definir conjunto; · en caso contrario, definir predicado. *} end |
Como ejercicio se propuso la relación 8 sobre gramáticas libres de contexto.