El objetivo fundamental de la clase de hoy del curso Lógica Informática ha consistido en responder estas dos preguntas:
- ¿cómo se puede construir un programa para que dada una cadena de caracteres decida si es una fórmula proposicional?
- ¿cómo se puede construir un programa para que dada una fórmula decida si es verdadera?
Para responder a la primera pregunta, desarrollamos la sintaxis de la lógica proposicional. Pero antes de abordar la respuesta, nos planteamos otro análogo que es el reconocimiento de los números naturales. Los números naturales pueden representarse por 0, s(0), s(s(0)), … La pregunta es ¿cómo se puede construir un programa para que dada una cadena de caracteres decida si es un número natural? Una respuesta se basa en utilizar las dos reglas siguientes:
- 0 es un número natural;
- si n es un número natural, entonces s(n) es un número natural.
Vemos que es una definición recursiva con un elemento básico (el 0) y un constructor (s, que representa el siguiente). Basado en esta analogía se define las fórmulas proposicionales tomando como elementos básicos las fórmulas atómicas y como constructores las conectivas.
La siguiente cuestión que nos planteamos es cómo definir procedimientos sobre fórmulas. Volvemos a apoyarnos en los números naturales y vemos cómo se puede definir la suma de dos números naturales:
- 0 + y = y
- s(n) + y = s(n+y)
Vemos que es una definición por recursión en el primer argumento con dos casos correspondientes a las dos reglas de definición de los números naturales. En el caso de las fórmulas proposicionales las definiciones tendrá una ecuación para las fórmulas atómicas y una por cada una de las conectivas (aunque generalmente las binarias se agrupen en una única ecuación). Como ejemplo de definiciones sobre fórmulas se definen funciones para calcular el número de paréntesis y el conjunto de subfórmulas de una fórmula.
La tercera cuestión sintáctica que nos planteamos es cómo demostrar que todas las fórmulas cumplen una propiedad. De nuevo nos apoyamos en la aritmética y recordando el principio de inducción sobre los números naturales introducimos el principio de inducción sobre fórmulas.
Para responder a la primera pregunta, desarrollamos la semántica de la lógica proposicional. En primer lugar, el valor de verdad de una fórmula en una interpretación se define por recursión. A partir del valor de verdad podemos, dada una fórmula F, dividir las interpretaciones entre las que son modelo de F y las que no lo son. Además, las fórmulas pueden clasificarse en satisfacibles (las que tienen modelos) e insatisfacibles (en caso contrario). Las fórmulas satisfacibles se pueden clasificar en tautologías (para las que todas las interpretaciones son modelo) y contingentes (en caso contrario).
Al final de la clase se han comentado soluciones de ejercicios de formalización con APLI2 que han presentado mayores dificultades en su resolución
Los ejercicios pendientes para la próxima clase son desde el 22 al 26 del capítulo 1 del libro de ejercicios.
Las transparencias de esta clase son las páginas 6-20 del tema 1
Read More “LI2011-12: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional”