Relación entre el número e y los números primos en Maxima
En el artículo anterior comenté la relación entre los números primos y el número 
![e = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\sqrt[p_n]{\displaystyle\prod_{i=1}^n p_i}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=+e+%3D+%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bn+%5Cto%7B%2B%7D%5Cinfty%7D%5Cdisplaystyle%5Csqrt%5Bp_n%5D%7B%5Cdisplaystyle%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5En+p_i%7D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
donde
es el 
-ésimo número primo. Así mismo mostré un ejercicio en Haskell para comprobarla.
En el artículo de hoy presento un ejercicio para comprobar la fórmula anterior en Maxima, pensado para el curso de Informática (del Grado de Matemáticas) y el libro Introducción al cálculo simbólico con Maxima.
El ejercicio es el siguiente
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 |
/* --------------------------------------------------------------------- * Ejercicio 1. Definir la sucesión primo tal que primo[n] es el primo * n-ésimo por ejemplo, * primo[5] = 11 * ------------------------------------------------------------------ */ primo [1] : 2$ primo [n] := next_prime (primo [n-1])$ /* --------------------------------------------------------------------- * Ejercicio 2. Definir la función productoDePrimos tal que * productoDePrimos(n) es el producto de los n primeros números * primos. Por ejemplo, * productoDePrimos(5) = 2310 * ------------------------------------------------------------------ */ productoDePrimos(n) := product (primo[i],i,1,n)$ /* --------------------------------------------------------------------- * Ejercicio 3. Definir la función aproximacion tal que aproximacion(n) * es la raíz p-ésima (donde p es el primo n-ésimo) del producto de los * n primeros números primos. Por ejemplo, * aproximacion(4) = 2.146572758365444 * --------------------------------------------------------------- */ aproximacion(n) := float(productoDePrimos(n) ** (1/primo[n]))$ /* --------------------------------------------------------------------- * Ejercicio 4. Definir la función diferencia tal que diferencia(n) es * la diferencia entre el número e y la aproximación n-ésima. Por * ejemplo, * (%i62) makelist (diferencia(i),i,101,109); * (%o62) [0.16791998034067, 0.1818004855153, 0.17842552082791, * 0.17507000227891, 0.15503537816767, 0.15187848954545, * 0.16517883928217, 0.16189887057697, 0.15863750404991] * --------------------------------------------------------------- */ diferencia (n) := float(%e - aproximacion(n))$ /* --------------------------------------------------------------------- * Ejercicio 5. Conjeturar cuál es el límite de las aproximaciones. * ------------------------------------------------------------------ */ /* Solución: * El límite de las aproximaciones es el número e. */ /* --------------------------------------------------------------------- * Nota. Una demostración de que el límite de las aproximaciones es el * número e se encuentra en el artículo "¿Qué tiene que ver el número e * con los números primos?" que se puede leer en * http://gaussianos.com/¿que-tiene-que-ver-el-numero-e-con-los-numeros-primos * ------------------------------------------------------------------ */ |