RA2014: Verificación de la ordenación por inserción con Isabelle/HOL
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado cómo demostrar la corrección del algoritmo de ordenación por inserción.
La correspondiente teoría Isabelle/HOL se muestra a continuación
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header {* T5a: Verificación de la ordenación por inserción *} theory T5a imports Main begin text {* En este de tema se define el algoritmo de ordenación de listas por inserción y se demuestra que es correcto. Se plantea como una ❙sucesión de ejercicios. *} text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Definir la función inserta :: int ⇒ int list ⇒ int list tal que (inserta a xs) es la lista obtenida insertando a delante del primer elemento de xs que es mayor o igual que a. Por ejemplo, inserta 3 [2,5,1,7] = [2,3,5,1,7] ------------------------------------------------------------------ *} fun inserta :: "int ⇒ int list ⇒ int list" where "inserta a [] = [a]" | "inserta a (x#xs) = (if a ≤ x then a#x#xs else x # inserta a xs)" value "inserta 3 [2,5,1,7]" -- "= [2,3,5,1,7]" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Definir la función ordena :: int list ⇒ int list tal que (ordena xs) es la lista obtenida ordenando xs por inserción. Por ejemplo, ordena [3,2,5,3] = [2,3,3,5] ------------------------------------------------------------------ *} fun ordena :: "int list ⇒ int list" where "ordena [] = []" | "ordena (x#xs) = inserta x (ordena xs)" value "ordena [3,2,5,3]" -- "[2,3,3,5]" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Definir la función menor :: int ⇒ int list ⇒ bool tal que (menor a xs) se verifica si a es menor o igual que todos los elementos de xs.Por ejemplo, menor 2 [3,2,5] = True menor 2 [3,0,5] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun menor :: "int ⇒ int list ⇒ bool" where "menor a [] = True" | "menor a (x#xs) = (a ≤ x ∧ menor a xs)" value "menor 2 [3,2,5]" -- "= True" value "menor 2 [3,0,5]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. Definir la función ordenada :: int list ⇒ bool tal que (ordenada xs) se verifica si xs es una lista ordenada de manera creciente. Por ejemplo, ordenada [2,3,3,5] = True ordenada [2,4,3,5] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun ordenada :: "int list ⇒ bool" where "ordenada [] = True" | "ordenada (x#xs) = (menor x xs & ordenada xs)" value "ordenada [2,3,3,5]" -- "= True" value "ordenada [2,4,3,5]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 5. Demostrar que si y es una cota inferior de zs y x ≤ y, entonces x es una cota inferior de zs. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" lemma menor_menor: assumes "x ≤ y" shows "menor y zs ⟶ menor x zs" using assms by (induct zs) auto -- "La demostración estructurada es" lemma menor_menor_2: assumes "x ≤ y" shows "menor y zs ⟶ menor x zs" proof (induct zs) show "menor y [] ⟶ menor x []" by simp next fix z zs assume HI: "menor y zs ⟶ menor x zs" show "menor y (z # zs) ⟶ menor x (z # zs)" proof assume sup: "menor y (z # zs)" show "menor x (z # zs)" proof (simp only: menor.simps(2)) show "x ≤ z ∧ menor x zs" proof have "x ≤ y" using assms . also have "y ≤ z" using sup by simp finally show "x ≤ z" . next have "menor y zs" using sup by simp with HI show "menor x zs" by simp qed qed qed qed text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Demostrar el siguiente teorema de corrección: x es una cota inferior de la lista obtenida insertando y en zs syss x ≤ y y x es una cota inferior de zs. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" lemma menor_inserta: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" by (induct zs) auto -- "La demostración estructurada es" lemma menor_inserta_2: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" proof (induct zs) show "menor x (inserta y []) = (x ≤ y ∧ menor x [])" by simp next fix z zs assume HI: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)" show "menor x (inserta y (z#zs)) = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" proof (cases "y ≤ z") assume "y ≤ z" hence "menor x (inserta y (z#zs)) = menor x (y#z#zs)" by simp also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" by simp finally show ?thesis by simp next assume "¬(y ≤ z)" hence "menor x (inserta y (z#zs)) = menor x (z # inserta y zs)" by simp also have "… = (x ≤ z ∧ menor x (inserta y zs))" by simp also have "… = (x ≤ z ∧ x ≤ y ∧ menor x zs)" using HI by simp also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" by auto finally show ?thesis by simp qed qed text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Demostrar que al insertar un elemento la lista obtenida está ordenada syss lo estaba la original. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" lemma ordenada_inserta: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" by (induct xs) (auto simp add: menor_menor menor_inserta) -- "La demostración estructurada es" lemma ordenada_inserta_2: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" proof (induct xs) show "ordenada (inserta a []) = ordenada []" by simp next fix x xs assume HI: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" proof (cases "a ≤ x") assume "a ≤ x" hence "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (a # x # xs)" by simp also have "… = (menor a (x#xs) ∧ ordenada (x # xs))" by simp also have "… = ordenada (x # xs)" using `a ≤ x` by (auto simp add: menor_menor) finally show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" by simp next assume "¬(a ≤ x)" hence "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # inserta a xs)" by simp also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada (inserta a xs))" by simp also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada xs)" using HI by simp also have "… = (menor x xs ∧ ordenada xs)" using `¬(a ≤ x)` by (simp add: menor_inserta) also have "… = ordenada (x # xs)" by simp finally show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" by simp qed qed text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 7. Demostrar que, para toda lista xs, (ordena xs) está ordenada. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" theorem ordenada_ordena: "ordenada (ordena xs)" by (induct xs) (auto simp add: ordenada_inserta) -- "La demostración estructurada es" theorem ordenada_ordena_2: "ordenada (ordena xs)" proof (induct xs) show "ordenada (ordena [])" by simp next fix x xs assume "ordenada (ordena xs)" then have "ordenada (inserta x (ordena xs))" by (simp add: ordenada_inserta) then show "ordenada (ordena (x # xs))" by simp qed text {* --------------------------------------------------------------------- Nota. El teorema anterior no garantiza que ordena sea correcta, ya que puede que (ordena xs) no tenga los mismos elementos que xs. Por ejemplo, si se define (ordena xs) como [] se tiene que (ordena xs) está ordenada pero no es una ordenación de xs. Para garantizarlo, definimos la función cuenta. ------------------------------------------------------------------ *} text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 8. Definir la función cuenta :: int list ⇒ int ⇒ nat tal que (cuenta xs y) es el número de veces que aparece el elemento y en la lista xs. Por ejemplo, cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2 ------------------------------------------------------------------ *} fun cuenta :: "int list ⇒ int ⇒ nat" where "cuenta [] y = 0" | "cuenta (x#xs) y = (if x=y then Suc(cuenta xs y) else cuenta xs y)" value "cuenta [1,3,4,3,5] 3" -- "= 2" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 9. Demostrar que el número de veces que aparece y en (inserta x xs) es * uno más el número de veces que aparece en xs, si y = x; * el número de veces que aparece en xs, si y ≠ x; ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" lemma cuenta_inserta: "cuenta (inserta x xs) y = (if x=y then Suc (cuenta xs y) else cuenta xs y)" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 10. Demostrar que el número de veces que aparece y en (ordena xs) es el número de veces que aparece en xs. ------------------------------------------------------------------ *} -- "La demostración automática es" theorem cuenta_ordena: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" by (induct xs) (auto simp add: cuenta_inserta) -- "La demostración estructurada es" theorem cuenta_ordena_2: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" proof (induct xs) show "cuenta (ordena []) y = cuenta [] y" by simp next fix x xs assume HI: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y" show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" proof (cases "x = y") assume "x = y" have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" by simp also have "… = Suc (cuenta (ordena xs) y)" using `x = y` by (simp add: cuenta_inserta) also have "… = Suc (cuenta xs y)" using HI by simp also have "… = cuenta (x # xs) y" using `x = y` by simp finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" by simp next assume "x ≠ y" have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" by simp also have "… = cuenta (ordena xs) y" using `x ≠ y` by (simp add: cuenta_inserta) also have "… = cuenta xs y" using HI by simp also have "… = cuenta (x # xs) y" using `x ≠ y` by simp finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" by simp qed qed end |