RA2011: Demostraciones por inducción en Isabelle
En la primera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha ampliado el estudio de las demostraciones por inducción en Isabelle. Se ha estudiados:
- cómo a veces es necesario generalizar las propiedades para poderla demostrar por inducción y cuantificar universalmente las variables libres,
- cómo definir funciones recursivas que no son primitivas recursivas y cómo demostrar propiedades de dichas funciones usando el esquema de inducción generado por su definición y
- cómo definir y demostrar propiedades de funciones definidas por recursión cruzada.
La clase se ha basado en la siguiente teoría Isabelle
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header {* Tema 10: Heurísticas para la inducción y recursión general *} theory Tema_10 imports Main Tema_7 Efficient_Nat begin section {* Heurísticas para la inducción *} text {* Definición. [Definición recursiva de inversa] (inversa xs) la inversa de la lista xs. Por ejemplo, inversa [2,5,3] = [3,5,2] *} primrec inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversa [] = []" | "inversa (x#xs) = (inversa xs) @ [x]" value "inversa [2::nat,5,3]" text {* Definición. [Definición de inversa con acumuladores] (inversaAc xs) es la inversa de la lista xs calculada con acumuladores. Por ejemplo, inversaAc [2,5,3] = [3,5,2] inversaAcAux [2,5,3] [] = [3,5,2] *} primrec inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "inversaAcAux [] ys = ys" | "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)" definition inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversaAc xs ≡ inversaAcAux xs []" value "inversaAcAux [2::nat,5,3] []" value "inversaAc [2::nat,5,3]" text {* Lema. [Ejemplo de equivalencia entre las definiciones] La inversa de [1,2,3] es lo mismo calculada con la primera definición que con la segunda. *} lemma "inversaAc [1,2,3] = inversa [1,2,3]" by (simp add: inversaAc_def) text {* Nota. [Ejemplo fallido de demostración por inducción] El siguiente intento de demostrar que para cualquier lista xs, se tiene que "inversaAc xs = inversa xs" falla. *} lemma "inversaAc xs = inversa xs" proof (induct xs) show "inversaAc [] = inversa []" by (simp add: inversaAc_def) next fix a xs assume HI: "inversaAc xs = inversa xs" have "inversaAc (a#xs) = inversaAcAux (a#xs) []" by (simp add: inversaAc_def) also have "… = inversaAcAux xs [a]" by simp also have "… = inversa (a#xs)" -- "Problema: la hipótesis de inducción no es aplicable." oops text {* Nota. [Heurística de generalización] Cuando se use demostración estructural, cuantificar universalmente las variables libres (o, equivalentemente, considerar las variables libres como variables arbitrarias). Lema. [Lema con generalización] Para toda lista ys se tiene inversaAcAux xs ys = (inversa xs) @ ys *} lemma inversaAcAux_es_inversa: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" proof (induct xs arbitrary: ys) show "⋀ys. inversaAcAux [] ys = (inversa [])@ys" by simp next fix a xs assume HI: "⋀ys. inversaAcAux xs ys = inversa xs@ys" show "⋀ys. inversaAcAux (a#xs) ys = inversa (a#xs)@ys" proof - fix ys have "inversaAcAux (a#xs) ys = inversaAcAux xs (a#ys)" by simp also have "… = inversa xs@(a#ys)" using HI by simp also have "… = inversa (a#xs)@ys" by simp finally show "inversaAcAux (a#xs) ys = inversa (a#xs)@ys" by simp qed qed text {* Corolario. Para cualquier lista xs, se tiene que inversaAc xs = inversa xs *} corollary "inversaAc xs = inversa xs" by (simp add: inversaAcAux_es_inversa inversaAc_def) text {* Nota. En el paso "inversa xs@(a#ys) = inversa (a#xs)@ys" se usan lemas de la teoría List. Se puede observar, activando "Trace Simplifier" y D"|Trace Rules", que los lemas usados son · append_assoc: (xs @ ys) @ zs = xs @ (ys @ zs) · append.append_Cons: (x#xs)@ys = x#(xs@ys) · append.append_Nil: []@ys = ys Los dos últimos son las ecuaciones de la definición de append. En la siguiente demostración se detallan los lemas utilizados. *} lemma "(inversa xs)@(a#ys) = (inversa (a#xs))@ys" proof - have "(inversa xs)@(a#ys) = (inversa xs)@(a#([]@ys))" by (simp only:append.append_Nil) also have "… = (inversa xs)@([a]@ys)" by (simp only:append.append_Cons) also have "… = ((inversa xs)@[a])@ys" by (simp only:append_assoc) also have "… = (inversa (a#xs))@ys" by (simp only:inversa.simps(2)) finally show ?thesis . qed section {* Recursión general. La función de Ackermann *} text {* El objetivo de esta sección es mostrar el uso de las definiciones recursivas generales y sus esquemas de inducción. Como ejemplo se usa la función de Ackermann (se puede consultar información sobre dicha función en http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function). Definición. La función de Ackermann se define por A(m,n) = n+1, si m=0, A(m-1,1) si m>0 y n=0, A(m-1,A(m,n-1)), si m>0 y n>0 para todo los números naturales. La función de Ackermann es recursiva, pero no es primitiva recursiva. *} fun ack :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where "ack 0 n = n+1" | "ack (Suc m) 0 = ack m 1" | "ack (Suc m) (Suc n) = ack m (ack (Suc m) n)" text {* Nota. [Ejemplo de cálculo] El cálculo del valor de la función de Ackermann para 2 y 3 se realiza mediante "value" *} value "ack 2 3" (* devuelve 9 *) text {* Nota. [Definiciones recursivas generales] · Las definiciones recursivas generales se identifican mediante "fun". · Al definir una función recursiva general se genera una regla de inducción. En la definición anterior, la regla generada es ack.induct: ⟦⋀n. P 0 n; ⋀m. P m 1 ⟹ P (Suc m) 0; ⋀m n. ⟦P (Suc m) n; P m (ack (Suc m) n)⟧ ⟹ P (Suc m) (Suc n)⟧ ⟹ P a b Lema. Para todos m y n, A(m,n) > n. *} lemma "ack m n > n" proof (induct m n rule: ack.induct) fix n :: "nat" show "ack 0 n > n" by simp next fix m assume "ack m 1 > 1" thus "ack (Suc m) 0 > 0" by simp next fix m n assume "n < ack (Suc m) n" and "ack (Suc m) n < ack m (ack (Suc m) n)" thus "Suc n < ack (Suc m) (Suc n)" by simp qed text {* El lema anterior se puede demostrar automáticamente, como sigue. *} lemma "ack m n > n" by (induct m n rule: ack.induct) simp_all text {* Nota. [Inducción sobre recursión] El formato para iniciar una demostración por inducción en la regla inductiva correspondiente a la definición recursiva de la función f m n es proof (induct m n rule:f.induct) *} section {* Recursión mutua e inducción *} text {* Nota. [Ejemplo de definición de tipos mediante recursión cruzada] · Un árbol de tipo a es una hoja o un nodo de tipo a junto con un bosque de tipo a. · Un bosque de tipo a es el boque vacío o un bosque contruido añadiendo un árbol de tipo a a un bosque de tipo a. *} datatype 'a arbol = Hoja | Nodo "'a" "'a bosque" and 'a bosque = Vacio | ConsB "'a arbol" "'a bosque" text {* Nota. [Regla de inducción correspondiente a la recursión cruzada] La regla de inducción sobre árboles y bosques es arbol_bosque.induct: ⟦P1 Hoja; ⋀x b. P2 b ⟹ P1 (Nodo x b); P2 Vacio; ⋀a b. ⟦P1 a; P2 b⟧ ⟹ P2 (ConsB a b)⟧ ⟹ P1 a ∧ P2 b Nota. [Ejemplos de definición por recursión cruzada] · aplana_arbol a) es la lista obtenida aplanando el árbol a. · (aplana_bosque b) es la lista obtenida aplanando el bosque b. · (map_arbol a h) es el árbol obtenido aplicando la función h a todos los nodos del árbol a. · (map_bosque b h) es el bosque obtenido aplicando la función h a todos los nodos del bosque b. *} fun aplana_arbol :: "'a arbol ⇒ 'a list" and aplana_bosque :: "'a bosque ⇒ 'a list" where "aplana_arbol Hoja = []" | "aplana_arbol (Nodo x b) = x#(aplana_bosque b)" | "aplana_bosque Vacio = []" | "aplana_bosque (ConsB a b) = (aplana_arbol a) @ (aplana_bosque b)" fun map_arbol :: "'a arbol ⇒ ('a ⇒ 'b) ⇒ 'b arbol" and map_bosque :: "'a bosque ⇒ ('a ⇒ 'b) ⇒ 'b bosque" where "map_arbol Hoja h = Hoja" | "map_arbol (Nodo x b) h = Nodo (h x) (map_bosque b h)" | "map_bosque Vacio h = Vacio" | "map_bosque (ConsB a b) h = ConsB (map_arbol a h) (map_bosque b h)" text {* Lema. [Ejemplo de inducción cruzada] · aplana_arbol (map_arbol a h) = map h (aplana_arbol a) · aplana_bosque (map_bosque b h) = map h (aplana_bosque b) *} lemma "aplana_arbol (map_arbol a h) = map h (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque b h) = map h (aplana_bosque b)" proof (induct_tac a and b) show "aplana_arbol (map_arbol Hoja h) = map h (aplana_arbol Hoja)" by simp next fix x b assume HI: "aplana_bosque (map_bosque b h) = map h (aplana_bosque b)" have "aplana_arbol (map_arbol (Nodo x b) h) = aplana_arbol (Nodo (h x) (map_bosque b h))" by simp also have "… = (h x)#(aplana_bosque (map_bosque b h))" by simp also have "… = (h x)#(map h (aplana_bosque b))" using HI by simp also have "… = map h (aplana_arbol (Nodo x b))" by simp finally show "aplana_arbol (map_arbol (Nodo x b) h) = map h (aplana_arbol (Nodo x b))" . next show "aplana_bosque (map_bosque Vacio h) = map h (aplana_bosque Vacio)" by simp next fix a b assume HI1: "aplana_arbol (map_arbol a h) = map h (aplana_arbol a)" and HI2: "aplana_bosque (map_bosque b h) = map h (aplana_bosque b)" have "aplana_bosque (map_bosque (ConsB a b) h) = aplana_bosque (ConsB (map_arbol a h) (map_bosque b h))" by simp also have "… = aplana_arbol(map_arbol a h)@aplana_bosque(map_bosque b h)" by simp also have "… = (map h (aplana_arbol a))@(map h (aplana_bosque b))" using HI1 HI2 by simp also have "… = map h (aplana_bosque (ConsB a b))" by simp finally show "aplana_bosque (map_bosque (ConsB a b) h) = map h (aplana_bosque (ConsB a b))" by simp qed lemma "aplana_arbol (map_arbol a h) = map h (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque b h) = map h (aplana_bosque b)" by (induct_tac a and b) auto end |