Para contestar rapidito y casi sin pensar

El enunciado del problema de hoy de Números y algo más …, titulado Para contestar rapidito y casi sin pensar, es el siguiente

¿Cuál es último dígito de la suma de las cuartas potencias de los primeros 100 números enteros positivos?

A partir del problema he escrito la siguiente relación de ejercicios para la asignatura de Informática de 1º del Grado en Matemáticas.

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-- Librerías auxiliares                                               --
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import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1. Definir la función
--    ultimaCifra :: Integer -> Integer
-- tal que (ultimaCifra x) es la última cifra del número entero x. Por
-- ejemplo,
--    ultimaCifra 234     ==  4
--    ultimaCifra (-234)  ==  4
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ultimaCifra :: Integer -> Integer
ultimaCifra x = abs (rem x 10)

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-- Ejercicio 2. Definir la función
--    ultimaCifraSumaPotencias :: Integer -> Integer -> Integer
-- tal que (ultimaCifraSumaPotencias m n) es la última cifra de las
-- m-ésimas potencias de los primeros n números enteros positivos. Por
-- ejemplo, 
--    ultimaCifraSumaPotencias 2 6  ==  1
-- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifraSumaPotencias :: Integer -> Integer -> Integer
ultimaCifraSumaPotencias m n =
    ultimaCifra (sum [x^m | x <- [1..n]])

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Calcular, usando ultimaCifraSumaPotencias, la respuesta 
-- del problema. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> ultimaCifraSumaPotencias 4 100
--    0

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Comprobar con QuickCheck que, si m y n son números
-- naturales, entonces (ultimaCifraSumaPotencias m (10*n)) es igual a 
-- ultimaCifra (x * ultimaCifraSumaPotencias m 10)
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_ultimaCifra :: Integer -> Integer -> Property
prop_ultimaCifra m n = 
    m >= 0 && n >= 0 ==>
    ultimaCifraSumaPotencias m (10*n) == 
    ultimaCifra (n * ultimaCifraSumaPotencias m 10)

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_ultimaCifra
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Comprobar con QuickCheck que, si m y n son números
-- naturales, entonces la última cifra de la suma de las m-ésimas
-- potencias de los primeros 100*n números enteros positivos es 0. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es
prop_ultimaCifra' :: Integer -> Integer -> Property
prop_ultimaCifra' m n = 
    m >= 0 && n >= 0 ==>
    ultimaCifraSumaPotencias m (100*n) == 0 

-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_ultimaCifra'
--    +++ OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Librerías auxiliares --

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import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1. Definir la función

-- ultimaCifra :: Integer -> Integer

-- tal que (ultimaCifra x) es la última cifra del número entero x. Por

-- ejemplo,

-- ultimaCifra 234 == 4

-- ultimaCifra (-234) == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifra :: Integer -> Integer

ultimaCifra x = abs (rem x 10)

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-- Ejercicio 2. Definir la función

-- ultimaCifraSumaPotencias :: Integer -> Integer -> Integer

-- tal que (ultimaCifraSumaPotencias m n) es la última cifra de las

-- m-ésimas potencias de los primeros n números enteros positivos. Por

-- ejemplo,

-- ultimaCifraSumaPotencias 2 6 == 1

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ultimaCifraSumaPotencias :: Integer -> Integer -> Integer

ultimaCifraSumaPotencias m n =

ultimaCifra (sum [x^m | x <- [1..n]])

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-- Ejercicio 3. Calcular, usando ultimaCifraSumaPotencias, la respuesta

-- del problema.

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-- El cálculo es

-- ghci> ultimaCifraSumaPotencias 4 100

-- 0

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-- Ejercicio 4. Comprobar con QuickCheck que, si m y n son números

-- naturales, entonces (ultimaCifraSumaPotencias m (10*n)) es igual a

-- ultimaCifra (x * ultimaCifraSumaPotencias m 10)

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-- La propiedad es

prop_ultimaCifra :: Integer -> Integer -> Property

prop_ultimaCifra m n =

m >= 0 && n >= 0 ==>

ultimaCifraSumaPotencias m (10*n) ==

ultimaCifra (n * ultimaCifraSumaPotencias m 10)

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_ultimaCifra

-- +++ OK, passed 100 tests.

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-- Ejercicio 5. Comprobar con QuickCheck que, si m y n son números

-- naturales, entonces la última cifra de la suma de las m-ésimas

-- potencias de los primeros 100*n números enteros positivos es 0.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_ultimaCifra' :: Integer -> Integer -> Property

prop_ultimaCifra' m n =

m >= 0 && n >= 0 ==>

ultimaCifraSumaPotencias m (100*n) == 0

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_ultimaCifra'

-- +++ OK, passed 100 tests.

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