Reseña: Contributions to the formal verification of arithmetic algorithms

PorJosé A. Alonso

El pasado mes de septiembre se presentó una tesis sobre verificación formal con Coq titulada Contributions to the formal verification of arithmetic algorithms.

Su autor es Érik Martin-Dorel, dirigido por Micaela Mayero y Jean-Michel Muller.

Su resumen es

The Floating-Point (FP) implementation of a real-valued function is performed with correct rounding if the output is always equal to the rounding of the exact value, which has many advantages. But for implementing a function with correct rounding in a reliable and efficient manner, one has to solve the “Table Maker’s Dilemma” (TMD). Two sophisticated algorithms (L and SLZ) have been designed to solve this problem, relying on some long and complex calculations that are performed by some heavily-optimized implementations. Hence the motivation to provide strong guarantees on these costly pre-computations. To this end, we use the Coq proof assistant. First, we develop a library of “Rigorous Polynomial Approximation”, allowing one to compute an approximation polynomial and an interval that bounds the approximation error in Coq. This formalization is a key building block for verifying the first step of SLZ, as well as the implementation of a mathematical function in general (with or without correct rounding). Then we have implemented, formally verified and made effective 3 interrelated certificates checkers in Coq, whose correctness proof derives from Hensel’s lemma that we have formalized for both univariate and bivariate cases. In particular, our “ISValP verifier” is a key component for formally verifying the results generated by SLZ. Then, we have focused on the mathematical proof of “augmented-precision” FP algorithms for the square root and the Euclidean 2D norm. We give some tight lower bounds on the minimum non-zero distance between sqrt(x²+y²) and a midpoint, allowing one to solve the TMD for this bivariate function. Finally, the “double-rounding” phenomenon can typically occur when several FP precision are available, and may change the behavior of some usual small FP algorithms. We have formally verified in Coq a set of results describing the behavior of the Fast2Sum algorithm with double-roundings.

Las transparencias usadas en la presentación se encuentran aquí.

LI2012: Resolución proposicional

PorJosé A. Alonso

En la clase de hoy del curso Lógica Informática hemos continuado la búsqueda de la automatización del razonamiento.

Comenzamos observando que, a partir de la forma normal conjuntiva, podemos representar las fórmulas, y los conjuntos de fórmulas, mediante conjunto de conjuntos de literales. Con esta nueva representación, basta una única regla de demostración: la regla de resolución. Esta regla engloba distintas reglas (como modus ponens, modus tollens y encadenamiento).

Mediante FNC, el problema de inconsistencia de un conjunto de de fórmulas se reduce al de la inconsistencia de un conjunto de cláusulas.

Mediante resolución, el problema de la inconsistencia de un conjunto de cláusulas se reduce a buscar la cláusula vacía entre las resolventes del conjunto S.

Mostramos un primer algoritmo de búsqueda de la cláusula vacía: el de saturación y dos mejoras: eliminación de tautologías y de subsumsución.

Como tarea pendientes se propone la resolución de los ejercicios del tema 5 del libro de ejercicios.

Las transparencias de esta clase son las páginas 1 a 24 del tema 5
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I1M2012: El cifrado César en Haskell

PorJosé A. Alonso

En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos estudiado cómo definir en Haskell la codificación de mensajes usando el cifrado César.

Hemos comenzado estudiando las funciones sobre cadenas y caracteres en Haskell y las definiciones por comprensión sobre cadenas. Como aplicación, hemos definido la función de codificación.

El programa es el siguiente
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LI2012: Formales normales conjuntivas y disyuntivas

PorJosé A. Alonso

En la clase de hoy del curso Lógica Informática hemos continuado la búsqueda de métodos automáticos para el problema TAUT (i.e. decidir si una fórmula dada es una tautología) y el problema SAT (i.e decidir si una fórmula dada es satisfacible).

Comenzamos observando que:

  • el problema TAUT se resuelve fácilmente para las fórmulas que son conjunciones de disyunciones de literales (es decir, están en forma normal conjuntiva (FNC)) y
  • el problema SAT se resuelve fácilmente para las fórmulas que son disyunciones de conjunciones de literales (es decir, están en forma normal disyuntiva (FND)).

Por tanto,

  • para la solución del problema TAUT sólo nos falta un procedimiento mecánico que dada una fórmula calcule otra que sea equivalente a la dada y que esté en FNC y
  • para la solución del problema SAT sólo nos falta un procedimiento mecánico que dada una fórmula calcule otra que sea equivalente a la dada y que esté en FND.

Mostramos las reglas equivalencia para el cálculo de los formas normales y los procedimientos de decisión para los problemas TAUT y SAT.

Por último, vemos cómo el método de los tableros semánticos proporciona otro procedimiento de cálculo de las formas normales.

Como tarea pendientes se propone la resolución de los ejercicios del tema 4 del libro de ejercicios.

Las transparencias de esta clase son las del tema 4
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