LMF2019: Deducción natural proposicional (1)
En la segunda parte de la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha comenzado el estudio de la deducción natural en la lógica proposicional. Se ha ido presentando las reglas y su formalización en Isabelle/HOL
La reglas estudiadas son las siguientes reglas:
- Reglas de la conjunción
- Reglas de la doble negación
- Regla de eliminación del condicional
- Regla derivada de modus tollens (MT)
- Regla de introducción del condicional
Las transparencias de esta clase son las 1-10 del tema 2.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 |
chapter ‹Tema 2a: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL› theory T2a_Deduccion_natural_en_logica_proposicional_con_Isabelle imports Main begin text ‹En este tema se presentan los ejemplos del tema de deducción natural proposicional siguiendo la presentación de Huth y Ryan en su libro "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY y, más concretamente, a la forma como se explica en la asignatura de "Lógica informática" (LI) http://goo.gl/AwDiv La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias de LI donde se encuentra la demostración.› section ‹Reglas de la conjunción› text ‹ Notas sobre la lógica: Las reglas de la conjunción son · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q › thm conjI thm conjunct1 thm conjunct2 subsection ‹Ejemplo 1› text ‹Ejemplo 1 (p. 4). Demostrar que p ∧ q, r ⊢ q ∧ r. › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_1: "⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r" apply (rule conjI) apply (erule conjunct2) apply assumption done text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "⟦ ... ⟧" para representar las hipótesis, · ";" para separar las hipótesis y · "⟹" para separar las hipótesis de la conclusión.› subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_1_1: assumes 1: "p ∧ q" and 2: "r" shows "q ∧ r" proof - have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2) show 4: "q ∧ r" using 3 2 by (rule conjI) qed text ‹Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assumes" para indicar las hipótesis, · "and" para separar las hipótesis, · "shows" para indicar la conclusión, · "proof" para iniciar la prueba, · "qed" para terminar la pruebas, · "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto, · "have" para establecer un paso, · "using" para usar hechos en un paso, · "by (rule ..)" para indicar la regla con la que se peueba un hecho, · "show" para establecer la conclusión.› subsubsection ‹Demostración estructurada› text ‹Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue› lemma ejemplo_1_2: assumes 1: "p ∧ q" and 2: "r" shows "q ∧ r" proof - have 3: "q" using 1 .. show 4: "q ∧ r" using 3 2 .. qed text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · ".." para indicar que se prueba por la regla correspondiente.› text ‹Se pueden eliminar las etiquetas como sigue› lemma ejemplo_1_3: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof - have "q" using assms(1) .. then show "q ∧ r" using assms(2) .. qed text ‹ Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assms(n)" para indicar la hipótesis n y · "then show" para demostrar la conclusión usando el hecho anterior. Además, no es necesario usar and entre las hipótesis.› subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_1_4: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" using assms by auto text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assms" para indicar las hipótesis y · "by auto" para demostrar la conclusión automáticamente.› subsubsection ‹Demostración detallada hacia atrás› text ‹Se puede hacer la demostración por razonamiento hacia atrás, como sigue› lemma ejemplo_1_5: assumes "p ∧ q" and "r" shows "q ∧ r" proof (rule conjI) show "q" using assms(1) by (rule conjunct2) next show "r" using assms(2) by this qed text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la regla r, · "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente subobjetivo, · "this" para indicar el hecho actual.› subsubsection ‹Demostración estructurada hacia atrás› text ‹Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue› lemma ejemplo_1_6: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof show "q" using assms(1) .. next show "r" using assms(2) . qed text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "." para indicar por el hecho actual.› subsubsection ‹Demostraciones automáticas› lemma ejemplo_1_7: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" using assms by simp ― ‹Se puede acortar como sigue› lemma ejemplo_1_8_: "⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r" by simp section ‹Reglas de la doble negación› subsection ‹Reglas de la doble negación› text ‹La regla de eliminación de la doble negación es · notnotD: ¬¬ P ⟹ P Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de introducción de la doble negación · notnotI: P ⟹ ¬¬ P aunque, de momento, no detallamos su demostración.› lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P" by auto subsection ‹Ejemplo 2› text ‹Ejemplo 2. (p. 5) p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_2: "⟦p; ¬¬(q ∧ r)⟧ ⟹ ¬¬p ∧ r" apply (rule conjI) apply (rule notnotI) apply assumption apply (drule notnotD) apply (erule conjunct2) done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_2_1: assumes 1: "p" and 2: "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI) have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD) have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2) show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› ― ‹Se puede eliminar etiquetas y reglas› lemma ejemplo_2_2: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have "¬¬p" using assms(1) .. have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) then have "r" .. with ‹¬¬p› show "¬¬p ∧ r" .. qed text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · ‹...› para referenciar un hecho y · "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el hecho P se demuestra Q.› subsubsection ‹Demostración detallada hacia atrás› lemma ejemplo_2_3: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof (rule conjI) show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI) next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) then show "r" by (rule conjunct2) qed subsubsection ‹Demostración estructurada hacia atrás› text ‹Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como sigue:› lemma ejemplo_2_4: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof show "¬¬p" using assms(1) .. next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) then show "r" .. qed subsubsection ‹Demostraciones automáticas› lemma ejemplo_2_5: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" using assms by simp ― ‹Se puede simplificar› lemma ejemplo_2_6: "⟦p; ¬¬(q ∧ r)⟧ ⟹ ¬¬p ∧ r" by simp section ‹Regla de eliminación del condicional› text ‹La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q › subsection ‹Ejemplo 3› text ‹Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que ¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_3: "⟦¬p ∧ q; ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p⟧ ⟹ r ∨ ¬p" apply (erule mp) apply assumption done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_3_1: assumes 1: "¬p ∧ q" and 2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› lemma ejemplo_3_2: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) .. qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_3_3: "⟦¬p ∧ q; ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p⟧ ⟹ r ∨ ¬p" by simp subsection ‹Ejemplo 4› text ‹Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_4: "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r" apply (drule mp) apply assumption apply (drule mp) apply assumption apply (drule mp) apply assumption+ done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_4_1: assumes 1: "p" and 2: "p ⟶ q" and 3: "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have 4: "q" using 2 1 by (rule mp) have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp) show 6: "r" using 5 4 by (rule mp) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› lemma ejemplo_4_2: assumes "p" "p ⟶ q" "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have "q" using assms(2,1) .. have "q ⟶ r" using assms(3,1) .. then show "r" using ‹q› .. qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_4_3: "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r" by simp section ‹Regla derivada del modus tollens› text ‹Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus tollens · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F aunque, de momento, sin detallar su demostración.› lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F" by simp subsection ‹Ejemplo 5› text ‹Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_5: "⟦p ⟶ (q ⟶ r); p; ¬r ⟧ ⟹ ¬q" apply (drule mp) apply assumption apply (erule mt) apply assumption done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_5_1: assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and 2: "p" and 3: "¬r" shows "¬q" proof - have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp) show "¬q" using 4 3 by (rule mt) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› lemma ejemplo_5_2: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" proof - have "q ⟶ r" using assms(1,2) .. then show "¬q" using assms(3) by (rule mt) qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_5_3: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" using assms by simp lemma ejemplo_5_4: "⟦p ⟶ (q ⟶ r); p; ¬r ⟧ ⟹ ¬q" by simp subsection ‹Ejemplo 6› text ‹Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar ¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_6: "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p" apply (drule mt) apply assumption apply (erule notnotD) done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_6_1: assumes 1: "¬p ⟶ q" and 2: "¬q" shows "p" proof - have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt) show "p" using 3 by (rule notnotD) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› lemma ejemplo_6_2: assumes "¬p ⟶ q" "¬q" shows "p" proof - have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt) then show "p" by (rule notnotD) qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_6_3: "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p" by simp subsection ‹Ejemplo 7› text ‹Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_7: "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p" apply (erule mt) apply (erule notnotI) done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_7_1: assumes 1: "p ⟶ ¬q" and 2: "q" shows "¬p" proof - have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI) show "¬p" using 1 3 by (rule mt) qed lemma ejemplo_7_2: assumes "p ⟶ ¬q" "q" shows "¬p" proof - have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI) with assms(1) show "¬p" by (rule mt) qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_7_3: "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p" by simp section ‹Regla de introducción del condicional› text ‹La regla de introducción del condicional es · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q › subsection ‹Ejemplo 8› text ‹Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_8: "p ⟶ q ⟹ ¬q ⟶ ¬p" apply (rule impI) apply (erule mt) apply assumption done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_8_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof - { assume 2: "¬q" have "¬p" using 1 2 by (rule mt) } then show "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI) qed text ‹Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "{ ... }" para representar una caja.› subsubsection ‹Demostración estructurada› lemma ejemplo_8_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof assume "¬q" with assms show "¬p" by (rule mt) qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_8_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" using assms by auto subsection ‹Ejemplo 9› text ‹Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_9: "¬q ⟶ ¬p ⟹ p ⟶ ¬¬q" apply (rule impI) apply (erule mt) apply (erule notnotI) done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_9_1: assumes 1: "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" proof - { assume 2: "p" have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI) have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) } then show "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› lemma ejemplo_9_2: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" proof assume "p" then have "¬¬p" by (rule notnotI) with assms show "¬¬q" by (rule mt) qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_9_3: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" using assms by auto subsection ‹Ejemplo 10› text ‹Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar ⊢ p ⟶ p › subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_10: "p ⟶ p" apply (rule impI) apply assumption done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_10_1: "p ⟶ p" proof - { assume 1: "p" have "p" using 1 by this } then show "p ⟶ p" by (rule impI) qed subsubsection ‹Demostración estructurada› lemma ejemplo_10_2: "p ⟶ p" proof (rule impI) qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_10_3: "p ⟶ p" by simp subsection ‹Ejemplo 11› text ‹Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar ⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))› subsubsection ‹Demostración aplicativa› lemma ejemplo_11: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" apply (rule impI)+ apply (erule mp) apply (drule mt) apply (erule notnotI) apply (erule notnotD) done subsubsection ‹Demostración detallada› lemma ejemplo_11_1: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof - { assume 1: "q ⟶ r" { assume 2: "¬q ⟶ ¬p" { assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI) have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) have "r" using 1 6 by (rule mp) } then have "p ⟶ r" by (rule impI) } then have "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) } then show "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI) qed ― ‹La demostración hacia atrás es› lemma ejemplo_11_2: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof (rule impI) assume 1: "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof (rule impI) assume 2: "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof (rule impI) assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI) have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) show "r" using 1 6 by (rule mp) qed qed qed subsubsection ‹Demostración estructurada› lemma ejemplo_11_3: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof assume 1: "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof assume 2: "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 .. have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) show "r" using 1 6 .. qed qed qed ― ‹La demostración sin etiquetas es› lemma ejemplo_11_4: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof assume "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof assume "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof assume "p" then have "¬¬p" .. with ‹¬q ⟶ ¬p› have "¬¬q" by (rule mt) then have "q" by (rule notnotD) with ‹q ⟶ r› show "r" .. qed qed qed subsubsection ‹Demostración automática› lemma ejemplo_11_5: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" by auto end |
Se han propuesto como ejercios los de la 2ª relación.