LMF2017: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL
En la clase de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se ha estudiado la deducción natural en la lógica proposicional con Isabelle/HOL.
La teoría Isabelle correspondiente es
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chapter {* Tema 2: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL *} theory Tema2 imports Main begin text {* En este tema se presentan los ejemplos del tema de deducción natural proposicional siguiendo la presentación de Huth y Ryan en su libro "Logic in Computer Science" http://goo.gl/qsVpY y, más concretamente, a la forma como se explica en la asignatura de "Lógica informática" (LI) http://goo.gl/AwDiv La página al lado de cada ejemplo indica la página de las transparencias de LI donde se encuentra la demostración. *} subsection {* Reglas de la conjunción *} text {* Ejemplo 1 (p. 4). Demostrar que p ∧ q, r ⊢ q ∧ r. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_1_1: assumes 1: "p ∧ q" and 2: "r" shows "q ∧ r" proof - have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2) show 4: "q ∧ r" using 3 2 by (rule conjI) qed text {* Notas sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assumes" para indicar las hipótesis, · "and" para separar las hipótesis, · "shows" para indicar la conclusión, · "proof" para iniciar la prueba, · "qed" para terminar la pruebas, · "-" (después de "proof") para no usar el método por defecto, · "have" para establecer un paso, · "using" para usar hechos en un paso, · "by (rule ..)" para indicar la regla con la que se peueba un hecho, · "show" para establecer la conclusión. Notas sobre la lógica: Las reglas de la conjunción son · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q *} text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *} lemma ejemplo_1_2: assumes 1: "p ∧ q" and 2: "r" shows "q ∧ r" proof - have 3: "q" using 1 .. show 4: "q ∧ r" using 3 2 .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · ".." para indicar que se prueba por la regla correspondiente. *} text {* Se pueden eliminar las etiquetas como sigue *} lemma ejemplo_1_3: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof - have "q" using assms(1) .. thus "q ∧ r" using assms(2) .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assms(n)" para indicar la hipótesis n y · "thus" para demostrar la conclusión usando el hecho anterior. Además, no es necesario usar and entre las hipótesis. *} text {* Se puede automatizar la demostración como sigue *} lemma ejemplo_1_4: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" using assms by auto text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "assms" para indicar las hipótesis y · "by auto" para demostrar la conclusión automáticamente. *} text {* Se puede automatizar totalmente la demostración como sigue *} lemma ejemplo_1_5: "⟦p ∧ q; r⟧ ⟹ q ∧ r" by auto text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "⟦ ... ⟧" para representar las hipótesis, · ";" para separar las hipótesis y · "⟹" para separar las hipótesis de la conclusión. *} text {* Se puede hacer la demostración por razonamiento hacia atrás, como sigue *} lemma ejemplo_1_6: assumes "p ∧ q" and "r" shows "q ∧ r" proof (rule conjI) show "q" using assms(1) by (rule conjunct2) next show "r" using assms(2) by this qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "proof (rule r)" para indicar que se hará la demostración con la regla r, · "next" para indicar el comienzo de la prueba del siguiente subobjetivo, · "this" para indicar el hecho actual. *} text {* Se pueden dejar implícitas las reglas como sigue *} lemma ejemplo_1_7: assumes "p ∧ q" "r" shows "q ∧ r" proof show "q" using assms(1) .. next show "r" using assms(2) . qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "." para indicar por el hecho actual. *} subsection {* Reglas de la doble negación *} text {* La regla de eliminación de la doble negación es · notnotD: ¬¬ P ⟹ P Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la siguiente regla de introducción de la doble negación · notnotI: P ⟹ ¬¬ P aunque, de momento, no detallamos su demostración. *} lemma notnotI [intro!]: "P ⟹ ¬¬ P" by auto text {* Ejemplo 2. (p. 5) p, ¬¬(q ∧ r) ⊢ ¬¬p ∧ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_2_1: assumes 1: "p" and 2: "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have 3: "¬¬p" using 1 by (rule notnotI) have 4: "q ∧ r" using 2 by (rule notnotD) have 5: "r" using 4 by (rule conjunct2) show 6: "¬¬p ∧ r" using 3 5 by (rule conjI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_2_2: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof - have "¬¬p" using assms(1) .. have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) hence "r" .. with `¬¬p` show "¬¬p ∧ r" .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "hence" para indicar que se tiene por el hecho anterior, · `...` para referenciar un hecho y · "with P show Q" para indicar que con el hecho anterior junto con el hecho P se demuestra Q. *} -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_2_3: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" using assms by auto text {* Se puede demostrar hacia atrás *} lemma ejemplo_2_4: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof (rule conjI) show "¬¬p" using assms(1) by (rule notnotI) next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) thus "r" by (rule conjunct2) qed text {* Se puede eliminar las reglas en la demostración anterior, como sigue: *} lemma ejemplo_2_5: assumes "p" "¬¬(q ∧ r)" shows "¬¬p ∧ r" proof show "¬¬p" using assms(1) .. next have "q ∧ r" using assms(2) by (rule notnotD) thus "r" .. qed subsection {* Regla de eliminación del condicional *} text {* La regla de eliminación del condicional es la regla del modus ponens · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q *} text {* Ejemplo 3. (p. 6) Demostrar que ¬p ∧ q, ¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p ⊢ r ∨ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_3_1: assumes 1: "¬p ∧ q" and 2: "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using 2 1 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_3_2: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" proof - show "r ∨ ¬p" using assms(2,1) .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_3_3: assumes "¬p ∧ q" "¬p ∧ q ⟶ r ∨ ¬p" shows "r ∨ ¬p" using assms by auto text {* Ejemplo 4 (p. 6) Demostrar que p, p ⟶ q, p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_4_1: assumes 1: "p" and 2: "p ⟶ q" and 3: "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have 4: "q" using 2 1 by (rule mp) have 5: "q ⟶ r" using 3 1 by (rule mp) show 6: "r" using 5 4 by (rule mp) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_4_2: assumes "p" "p ⟶ q" "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "r" proof - have "q" using assms(2,1) .. have "q ⟶ r" using assms(3,1) .. thus "r" using `q` .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_4_3: "⟦p; p ⟶ q; p ⟶ (q ⟶ r)⟧ ⟹ r" by auto subsection {* Regla derivada del modus tollens *} text {* Para ajustarnos al tema de LI vamos a introducir la regla del modus tollens · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F aunque, de momento, sin detallar su demostración. *} lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F" by auto text {* Ejemplo 5 (p. 7). Demostrar p ⟶ (q ⟶ r), p, ¬r ⊢ ¬q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_5_1: assumes 1: "p ⟶ (q ⟶ r)" and 2: "p" and 3: "¬r" shows "¬q" proof - have 4: "q ⟶ r" using 1 2 by (rule mp) show "¬q" using 4 3 by (rule mt) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_5_2: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" proof - have "q ⟶ r" using assms(1,2) .. thus "¬q" using assms(3) by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_5_3: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p" "¬r" shows "¬q" using assms by auto text {* Ejemplo 6. (p. 7) Demostrar ¬p ⟶ q, ¬q ⊢ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_6_1: assumes 1: "¬p ⟶ q" and 2: "¬q" shows "p" proof - have 3: "¬¬p" using 1 2 by (rule mt) show "p" using 3 by (rule notnotD) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_6_2: assumes "¬p ⟶ q" "¬q" shows "p" proof - have "¬¬p" using assms(1,2) by (rule mt) thus "p" by (rule notnotD) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_6_3: "⟦¬p ⟶ q; ¬q⟧ ⟹ p" by auto text {* Ejemplo 7. (p. 7) Demostrar p ⟶ ¬q, q ⊢ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_1: assumes 1: "p ⟶ ¬q" and 2: "q" shows "¬p" proof - have 3: "¬¬q" using 2 by (rule notnotI) show "¬p" using 1 3 by (rule mt) qed -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_7_2: assumes "p ⟶ ¬q" "q" shows "¬p" proof - have "¬¬q" using assms(2) by (rule notnotI) with assms(1) show "¬p" by (rule mt) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_7_3: "⟦p ⟶ ¬q; q⟧ ⟹ ¬p" by auto subsection {* Regla de introducción del condicional *} text {* La regla de introducción del condicional es · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q *} text {* Ejemplo 8. (p. 8) Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_8_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof - { assume 2: "¬q" have "¬p" using 1 2 by (rule mt) } thus "¬q ⟶ ¬p" by (rule impI) qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "{ ... }" para representar una caja. *} -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_8_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" proof assume "¬q" with assms show "¬p" by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_8_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" using assms by auto text {* Ejemplo 9. (p. 9) Demostrar ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ ¬¬q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_9_1: assumes 1: "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" proof - { assume 2: "p" have 3: "¬¬p" using 2 by (rule notnotI) have "¬¬q" using 1 3 by (rule mt) } thus "p ⟶ ¬¬q" by (rule impI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_9_2: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" proof assume "p" hence "¬¬p" by (rule notnotI) with assms show "¬¬q" by (rule mt) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_9_3: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ ¬¬q" using assms by auto text {* Ejemplo 10 (p. 9). Demostrar ⊢ p ⟶ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_10_1: "p ⟶ p" proof - { assume 1: "p" have "p" using 1 by this } thus "p ⟶ p" by (rule impI) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_10_2: "p ⟶ p" proof (rule impI) qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_10_3: "p ⟶ p" by auto text {* Ejemplo 11 (p. 10) Demostrar ⊢ (q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_11_1: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof - { assume 1: "q ⟶ r" { assume 2: "¬q ⟶ ¬p" { assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI) have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) have "r" using 1 6 by (rule mp) } hence "p ⟶ r" by (rule impI) } hence "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r" by (rule impI) } thus "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ p ⟶ r)" by (rule impI) qed -- "La demostración hacia atrás es" lemma ejemplo_11_2: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof (rule impI) assume 1: "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof (rule impI) assume 2: "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof (rule impI) assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 by (rule notnotI) have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) show "r" using 1 6 by (rule mp) qed qed qed -- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es" lemma ejemplo_11_3: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof assume 1: "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof assume 2: "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof assume 3: "p" have 4: "¬¬p" using 3 .. have 5: "¬¬q" using 2 4 by (rule mt) have 6: "q" using 5 by (rule notnotD) show "r" using 1 6 .. qed qed qed -- "La demostración sin etiquetas es" lemma ejemplo_11_4: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" proof assume "q ⟶ r" show "(¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r)" proof assume "¬q ⟶ ¬p" show "p ⟶ r" proof assume "p" hence "¬¬p" .. with `¬q ⟶ ¬p` have "¬¬q" by (rule mt) hence "q" by (rule notnotD) with `q ⟶ r` show "r" .. qed qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_11_5: "(q ⟶ r) ⟶ ((¬q ⟶ ¬p) ⟶ (p ⟶ r))" by auto subsection {* Reglas de la disyunción *} text {* Las reglas de la introducción de la disyunción son · disjI1: P ⟹ P ∨ Q · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q La regla de elimación de la disyunción es · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R *} text {* Ejemplo 12 (p. 11). Demostrar p ∨ q ⊢ q ∨ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_12_1: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" proof - have "p ∨ q" using assms by this moreover { assume 2: "p" have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) } moreover { assume 3: "q" have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) } ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE) qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "moreover" para separar los bloques y · "ultimately" para unir los resultados de los bloques. *} -- "La demostración detallada con reglas implícitas es" lemma ejemplo_12_2: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" proof - note `p ∨ q` moreover { assume "p" hence "q ∨ p" .. } moreover { assume "q" hence "q ∨ p" .. } ultimately show "q ∨ p" .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "note" para copiar un hecho. *} -- "La demostración hacia atrás es" lemma ejemplo_12_3: assumes 1: "p ∨ q" shows "q ∨ p" using 1 proof (rule disjE) { assume 2: "p" show "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) } next { assume 3: "q" show "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) } qed -- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es" lemma ejemplo_12_4: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" using assms proof { assume "p" thus "q ∨ p" .. } next { assume "q" thus "q ∨ p" .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_12_5: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" using assms by auto text {* Ejemplo 13. (p. 12) Demostrar q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_13_1: assumes 1: "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" proof (rule impI) assume 2: "p ∨ q" thus "p ∨ r" proof (rule disjE) { assume 3: "p" show "p ∨ r" using 3 by (rule disjI1) } next { assume 4: "q" have 5: "r" using 1 4 by (rule mp) show "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2) } qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_13_2: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" proof assume "p ∨ q" thus "p ∨ r" proof { assume "p" thus "p ∨ r" .. } next { assume "q" have "r" using assms `q` .. thus "p ∨ r" .. } qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_13_3: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" using assms by auto subsection {* Regla de copia *} text {* Ejemplo 14 (p. 13). Demostrar ⊢ p ⟶ (q ⟶ p) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_14_1: "p ⟶ (q ⟶ p)" proof (rule impI) assume 1: "p" show "q ⟶ p" proof (rule impI) assume "q" show "p" using 1 by this qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_14_2: "p ⟶ (q ⟶ p)" proof assume "p" thus "q ⟶ p" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_14_3: "p ⟶ (q ⟶ p)" by auto subsection {* Reglas de la negación *} text {* La regla de eliminación de lo falso es · FalseE: False ⟹ P La regla de eliminación de la negación es · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R La regla de introducción de la negación es · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P *} text {* Ejemplo 15 (p. 15). Demostrar ¬p ∨ q ⊢ p ⟶ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_15_1: assumes 1: "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" proof (rule impI) assume 2: "p" note 1 thus "q" proof (rule disjE) { assume 3: "¬p" show "q" using 3 2 by (rule notE) } next { assume 4: "q" show "q" using 4 by this} qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_15_2: assumes "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" proof assume "p" note `¬p ∨ q` thus "q" proof assume "¬p" thus "q" using `p` .. next assume "q" thus "q" . qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_15_3: assumes "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" using assms by auto text {* Ejemplo 16 (p. 16). Demostrar p ⟶ q, p ⟶ ¬q ⊢ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_16_1: assumes 1: "p ⟶ q" and 2: "p ⟶ ¬q" shows "¬p" proof (rule notI) assume 3: "p" have 4: "q" using 1 3 by (rule mp) have 5: "¬q" using 2 3 by (rule mp) show False using 5 4 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_16_2: assumes "p ⟶ q" "p ⟶ ¬q" shows "¬p" proof assume "p" have "q" using assms(1) `p` .. have "¬q" using assms(2) `p` .. thus False using `q` .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_16_3: assumes "p ⟶ q" "p ⟶ ¬q" shows "¬p" using assms by auto subsection {* Reglas del bicondicional *} text {* La regla de introducción del bicondicional es · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P ⟷ Q Las reglas de eliminación del bicondicional son · iffD1: ⟦Q ⟷ P; Q⟧ ⟹ P · iffD2: ⟦P ⟷ Q; Q⟧ ⟹ P *} text {* Ejemplo 17 (p. 17) Demostrar (p ∧ q) ⟷ (q ∧ p) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_17_1: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" proof (rule iffI) { assume 1: "p ∧ q" have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1) have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2) show "q ∧ p" using 3 2 by (rule conjI) } next { assume 4: "q ∧ p" have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) have 6: "p" using 4 by (rule conjunct2) show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) } qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_17_2: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" proof { assume 1: "p ∧ q" have "p" using 1 .. have "q" using 1 .. show "q ∧ p" using `q` `p` .. } next { assume 2: "q ∧ p" have "q" using 2 .. have "p" using 2 .. show "p ∧ q" using `p` `q` .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_17_3: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" by auto text {* Ejemplo 18 (p. 18). Demostrar p ⟷ q, p ∨ q ⊢ p ∧ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_18_1: assumes 1: "p ⟷ q" and 2: "p ∨ q" shows "p ∧ q" using 2 proof (rule disjE) { assume 3: "p" have 4: "q" using 1 3 by (rule iffD1) show "p ∧ q" using 3 4 by (rule conjI) } next { assume 5: "q" have 6: "p" using 1 5 by (rule iffD2) show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) } qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_18_2: assumes "p ⟷ q" "p ∨ q" shows "p ∧ q" using assms(2) proof { assume "p" with assms(1) have "q" .. with `p` show "p ∧ q" .. } next { assume "q" with assms(1) have "p" .. thus "p ∧ q" using `q` .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_18_3: assumes "p ⟷ q" "p ∨ q" shows "p ∧ q" using assms by auto subsection {* Reglas derivadas *} subsubsection {* Regla del modus tollens *} text {* Ejemplo 19 (p. 20) Demostrar la regla del modus tollens a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_20_1: assumes 1: "F ⟶ G" and 2: "¬G" shows "¬F" proof (rule notI) assume 3: "F" have 4: "G" using 1 3 by (rule mp) show False using 2 4 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_20_2: assumes "F ⟶ G" "¬G" shows "¬F" proof assume "F" with assms(1) have "G" .. with assms(2) show False .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_20_3: assumes "F ⟶ G" "¬G" shows "¬F" using assms by auto subsubsection {* Regla de la introducción de la doble negación *} text {* Ejemplo 21 (p. 21) Demostrar la regla de introducción de la doble negación a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_21_1: assumes 1: "F" shows "¬¬F" proof (rule notI) assume 2: "¬F" show False using 2 1 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_21_2: assumes "F" shows "¬¬F" proof assume "¬F" thus False using assms .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_21_3: assumes "F" shows "¬¬F" using assms by auto subsubsection {* Regla de reducción al absurdo *} text {* La regla de reducción al absurdo en Isabelle se correponde con la regla clásica de contradicción · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P *} subsubsection {* Ley del tercio excluso *} text {* La ley del tercio excluso es · excluded_middle: ¬P ∨ P *} text {* Ejemplo 22 (p. 23). Demostrar la ley del tercio excluso a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_22_1: "F ∨ ¬F" proof (rule ccontr) assume 1: "¬(F ∨ ¬F)" thus False proof (rule notE) show "F ∨ ¬F" proof (rule disjI2) show "¬F" proof (rule notI) assume 2: "F" hence 3: "F ∨ ¬F" by (rule disjI1) show False using 1 3 by (rule notE) qed qed qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_22_2: "F ∨ ¬F" proof (rule ccontr) assume "¬(F ∨ ¬F)" thus False proof (rule notE) show "F ∨ ¬F" proof (rule disjI2) show "¬F" proof (rule notI) assume "F" hence "F ∨ ¬F" .. with `¬(F ∨ ¬F)`show False .. qed qed qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_22_3: "F ∨ ¬F" using assms by auto text {* Ejemplo 23 (p. 24). Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬p ∨ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_23_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" proof - have "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle) thus "¬p ∨ q" proof (rule disjE) { assume "¬p" thus "¬p ∨ q" by (rule disjI1) } next { assume 2: "p" have "q" using 1 2 by (rule mp) thus "¬p ∨ q" by (rule disjI2) } qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_23_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" proof - have "¬p ∨ p" .. thus "¬p ∨ q" proof { assume "¬p" thus "¬p ∨ q" .. } next { assume "p" with assms have "q" .. thus "¬p ∨ q" .. } qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_23_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" using assms by auto subsection {* Demostraciones por contradicción *} text {* Ejemplo 24. Demostrar que ¬p, p ∨ q ⊢ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_24_1: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using `p ∨ q` proof (rule disjE) assume "p" with assms(1) show "q" by contradiction next assume "q" thus "q" by assumption qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_24_2: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using `p ∨ q` proof assume "p" with assms(1) show "q" .. next assume "q" thus "q" . qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_24_3: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using assms by auto end |