LMF2015: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional en Haskell
En la clase de hoy del curso de Lógica matemática y fundamentos (de 3º de Grado en Matemáticas) se ha comentado las soluciones de los ejercicios sobre la implementación en Haskell de la sintaxis y la semántica de la lógica proposicional
Las soluciones de los ejercicios se muestran a continuación.
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module SintaxisSemantica where -- --------------------------------------------------------------------- -- Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Gramática de fórmulas prosicionales -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos: -- * SimboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones -- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los -- constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas -- atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias, -- respectivamente. -- --------------------------------------------------------------------- type SimboloProposicional = String data Prop = Atom SimboloProposicional | Neg Prop | Conj Prop Prop | Disj Prop Prop | Impl Prop Prop | Equi Prop Prop deriving (Eq,Ord) instance Show Prop where show (Atom p) = p show (Neg p) = "no " ++ show p show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")" show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")" show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")" show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")" -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales -- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u. -- --------------------------------------------------------------------- p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop p = Atom "p" p1 = Atom "p1" p2 = Atom "p2" q = Atom "q" r = Atom "r" s = Atom "s" t = Atom "t" u = Atom "u" -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3: Definir la función -- no :: Prop -> Prop -- tal que (no f) es la negación de f. -- --------------------------------------------------------------------- no :: Prop -> Prop no = Neg -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores -- (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop -- tales que -- f /\ g es la conjunción de f y g -- f \/ g es la disyunción de f y g -- f --> g es la implicación de f a g -- f <--> g es la equivalencia entre f y g -- --------------------------------------------------------------------- infixr 5 \/ infixr 4 /\ infixr 3 --> infixr 2 <--> (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop (/\) = Conj (\/) = Disj (-->) = Impl (<-->) = Equi -- --------------------------------------------------------------------- -- Símbolos proposicionales de una fórmula -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5: Definir la función -- simbolosPropForm :: Prop -> [Prop] -- tal que (simbolosPropForm f) es el conjunto formado por todos los -- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo, -- simbolosPropForm (p /\ q --> p) == [p,q] -- --------------------------------------------------------------------- simbolosPropForm :: Prop -> [Prop] simbolosPropForm (Atom f) = [(Atom f)] simbolosPropForm (Neg f) = simbolosPropForm f simbolosPropForm (Conj f g) = simbolosPropForm f `union` simbolosPropForm g simbolosPropForm (Disj f g) = simbolosPropForm f `union` simbolosPropForm g simbolosPropForm (Impl f g) = simbolosPropForm f `union` simbolosPropForm g simbolosPropForm (Equi f g) = simbolosPropForm f `union` simbolosPropForm g -- --------------------------------------------------------------------- -- Interpretaciones -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretacion para -- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas. -- --------------------------------------------------------------------- type Interpretacion = [Prop] -- --------------------------------------------------------------------- -- Significado de una fórmula en una interpretación -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7: Definir la función -- significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool -- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo, -- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r] == False -- significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r] == True -- --------------------------------------------------------------------- significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool significado (Atom f) i = (Atom f) `elem` i significado (Neg f) i = not (significado f i) significado (Conj f g) i = (significado f i) && (significado g i) significado (Disj f g) i = (significado f i) || (significado g i) significado (Impl f g) i = significado (Disj (Neg f) g) i significado (Equi f g) i = significado (Conj (Impl f g) (Impl g f)) i -- --------------------------------------------------------------------- -- Interpretaciones de una fórmula -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8: Definir la función -- subconjuntos :: [a] -> [[a]] -- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por -- ejmplo, -- subconjuntos "abc" == ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""] -- --------------------------------------------------------------------- subconjuntos :: [a] -> [[a]] subconjuntos [] = [[]] subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- xss] ++ xss where xss = subconjuntos xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9: Definir la función -- interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesForm f) es la lista de todas las -- interpretaciones de f. Por ejemplo, -- interpretacionesForm (p /\ q --> p) == [[p,q],[p],[q],[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretacion] interpretacionesForm f = subconjuntos (simbolosPropForm f) -- --------------------------------------------------------------------- -- Modelos de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10: Definir la función -- esModeloFormula :: Interpretacion -> Prop -> Bool -- tal que (esModeloFormula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por -- ejemplo, -- esModeloFormula [r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == False -- esModeloFormula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) == True -- --------------------------------------------------------------------- esModeloFormula :: Interpretacion -> Prop -> Bool esModeloFormula i f = significado f i -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11: Definir la función -- modelosFormula :: Prop -> [Interpretacion] -- tal que (modelosFormula f) es la lista de todas las interpretaciones -- de f que son modelo de F. Por ejemplo, -- modelosFormula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) -- == [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosFormula :: Prop -> [Interpretacion] modelosFormula f = [i | i <- interpretacionesForm f, esModeloFormula i f] -- --------------------------------------------------------------------- -- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12: Definir la función -- esValida :: Prop -> Bool -- tal que (esValida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo, -- esValida (p --> p) == True -- esValida (p --> q) == False -- esValida ((p --> q) \/ (q --> p)) == True -- --------------------------------------------------------------------- esValida :: Prop -> Bool esValida f = modelosFormula f == interpretacionesForm f -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13: Definir la función -- esInsatisfacible :: Prop -> Bool -- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por -- ejemplo, -- esInsatisfacible (p /\ (no p)) == True -- esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) == False -- --------------------------------------------------------------------- esInsatisfacible :: Prop -> Bool esInsatisfacible f = modelosFormula f == [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14: Definir la función -- esSatisfacible :: Prop -> Bool -- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por -- ejemplo, -- esSatisfacible (p /\ (no p)) == False -- esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r)) == True -- --------------------------------------------------------------------- esSatisfacible :: Prop -> Bool esSatisfacible f = modelosFormula f /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15: Definir la función -- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] -- tal que (unionGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de -- conjuntos x. Por ejemplo, -- unionGeneral [] == [] -- unionGeneral [[1]] == [1] -- unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]] == [1,2,3] -- --------------------------------------------------------------------- unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a] unionGeneral [] = [] unionGeneral (x:xs) = x `union` unionGeneral xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16: Definir la función -- simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop] -- tal que (simbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos -- proposiciones de s. Por ejemplo, -- simbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s] == [p,q,r,s] -- --------------------------------------------------------------------- simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop] simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm f | f <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17: Definir la función -- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion] -- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las -- interpretaciones de s. Por ejemplo, -- interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r] -- == [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]] -- --------------------------------------------------------------------- interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion] interpretacionesConjunto s = subconjuntos (simbolosPropConj s) -- --------------------------------------------------------------------- -- Modelos de conjuntos de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18: Definir la función -- esModeloConjunto :: Interpretacion -> [Prop] -> Bool -- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por -- ejemplo, -- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r] -- == True -- esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q] -- == False -- --------------------------------------------------------------------- esModeloConjunto :: Interpretacion -> [Prop] -> Bool esModeloConjunto i s = and [esModeloFormula i f | f <- s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19: Definir la función -- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion] -- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto -- s. Por ejemplo, -- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r] -- == [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]] -- modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q] -- == [[p,q,r],[p],[q,r]] -- --------------------------------------------------------------------- modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion] modelosConjunto s = [i | i <- interpretacionesConjunto s, esModeloConjunto i s] -- --------------------------------------------------------------------- -- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20: Definir la función -- esConsistente :: [Prop] -> Bool -- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por -- ejemplo, -- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r] -- == True -- esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r] -- == False -- --------------------------------------------------------------------- esConsistente :: [Prop] -> Bool esConsistente s = modelosConjunto s /= [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21: Definir la función -- esInconsistente :: [Prop] -> Bool -- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por -- ejemplo, -- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r] -- == False -- esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r] -- == True -- --------------------------------------------------------------------- esInconsistente :: [Prop] -> Bool esInconsistente s = modelosConjunto s == [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Consecuencia lógica -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22: Definir la función -- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool -- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de -- s. Por ejemplo, -- esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r) == True -- esConsecuencia [p] (p /\ q) == False -- --------------------------------------------------------------------- esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool esConsecuencia s f = null [i | i <- interpretacionesConjunto (f:s), esModeloConjunto i s, not (esModeloFormula i f)] |