LMF2013: Ejercicios de deducción natural en lógica proposicional con Isabelle/HOL
En las clases del miércoles y de hoy del curso Lógica matemática y fundamentos se han comentado soluciones de los ejercicios de deducción natural en lógica proposicional con Isabelle/HOL.
Para cada uno de los ejercicios se ha presentado distintas demostraciones: desde la detallada (que sea parecida a la mostrada en las transparencias) hasta la automática.
La teoría con la relación de ejercicios es
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header {* R2: Deducción natural proposicional *} theory R2 imports Main begin text {* --------------------------------------------------------------------- El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica proposicional (sin usar el método auto). Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes: · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q · notnotD: ¬¬ P ⟹ P · notnotI: P ⟹ ¬¬ P · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q · disjI1: P ⟹ P ∨ Q · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R · FalseE: False ⟹ P · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P --------------------------------------------------------------------- *} text {* Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *} lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P" by auto lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F" by auto section {* Implicaciones *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Demostrar p ⟶ q, p ⊢ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_1: assumes "p ⟶ q" "p" shows "q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Demostrar p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_2: assumes "p ⟶ q" "q ⟶ r" "p" shows "r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Demostrar p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_3: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" "p ⟶ q" "p" shows "r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. Demostrar p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_4: assumes "p ⟶ q" "q ⟶ r" shows "p ⟶ r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 5. Demostrar p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_5: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "q ⟶ (p ⟶ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Demostrar p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_6: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 7. Demostrar p ⊢ q ⟶ p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_7: assumes "p" shows "q ⟶ p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 8. Demostrar ⊢ p ⟶ (q ⟶ p) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_8: "p ⟶ (q ⟶ p)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 9. Demostrar p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_9: assumes "p ⟶ q" shows "(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 10. Demostrar p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s)) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_10: assumes "p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))" shows "r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 11. Demostrar ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_11: "(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 12. Demostrar (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_12: assumes "(p ⟶ q) ⟶ r" shows "p ⟶ (q ⟶ r)" oops section {* Conjunciones *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 13. Demostrar p, q ⊢ p ∧ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_13: assumes "p" "q" shows "p ∧ q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 14. Demostrar p ∧ q ⊢ p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_14: assumes "p ∧ q" shows "p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 15. Demostrar p ∧ q ⊢ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_15: assumes "p ∧ q" shows "q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 16. Demostrar p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_16: assumes "p ∧ (q ∧ r)" shows "(p ∧ q) ∧ r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 17. Demostrar (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_17: assumes "(p ∧ q) ∧ r" shows "p ∧ (q ∧ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 18. Demostrar p ∧ q ⊢ p ⟶ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_18: assumes "p ∧ q" shows "p ⟶ q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 19. Demostrar (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_19: assumes "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" shows "p ⟶ q ∧ r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 20. Demostrar p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_20: assumes "p ⟶ q ∧ r" shows "(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 21. Demostrar p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_21: assumes "p ⟶ (q ⟶ r)" shows "p ∧ q ⟶ r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 22. Demostrar p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_22: assumes "p ∧ q ⟶ r" shows "p ⟶ (q ⟶ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 23. Demostrar (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_23: assumes "(p ⟶ q) ⟶ r" shows "p ∧ q ⟶ r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 24. Demostrar p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_24: assumes "p ∧ (q ⟶ r)" shows "(p ⟶ q) ⟶ r" oops section {* Disyunciones *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 25. Demostrar p ⊢ p ∨ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_25: assumes "p" shows "p ∨ q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 26. Demostrar q ⊢ p ∨ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_26: assumes "q" shows "p ∨ q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 27. Demostrar p ∨ q ⊢ q ∨ p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_27: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 28. Demostrar q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_28: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 29. Demostrar p ∨ p ⊢ p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_29: assumes "p ∨ p" shows "p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 30. Demostrar p ⊢ p ∨ p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_30: assumes "p" shows "p ∨ p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 31. Demostrar p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_31: assumes "p ∨ (q ∨ r)" shows "(p ∨ q) ∨ r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 32. Demostrar (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_32: assumes "(p ∨ q) ∨ r" shows "p ∨ (q ∨ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 33. Demostrar p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_33: assumes "p ∧ (q ∨ r)" shows "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 34. Demostrar (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_34: assumes "(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)" shows "p ∧ (q ∨ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 35. Demostrar p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_35: assumes "p ∨ (q ∧ r)" shows "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 36. Demostrar (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_36: assumes "(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)" shows "p ∨ (q ∧ r)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 37. Demostrar (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_37: assumes "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)" shows "p ∨ q ⟶ r" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 38. Demostrar p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_38: assumes "p ∨ q ⟶ r" shows "(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)" oops section {* Negaciones *} text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 39. Demostrar p ⊢ ¬¬p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_39: assumes "p" shows "¬¬p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 40. Demostrar ¬p ⊢ p ⟶ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_40: assumes "¬p" shows "p ⟶ q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 41. Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_41: assumes "p ⟶ q" shows "¬q ⟶ ¬p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 42. Demostrar p∨q, ¬q ⊢ p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_42: assumes "p∨q" "¬q" shows "p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 42. Demostrar p ∨ q, ¬p ⊢ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_43: assumes "p ∨ q" "¬p" shows "q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 40. Demostrar p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_44: assumes "p ∨ q" shows "¬(¬p ∧ ¬q)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 45. Demostrar p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_45: assumes "p ∧ q" shows "¬(¬p ∨ ¬q)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 46. Demostrar ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_46: assumes "¬(p ∨ q)" shows "¬p ∧ ¬q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 47. Demostrar ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_47: assumes "¬p ∧ ¬q" shows "¬(p ∨ q)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 48. Demostrar ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_48: assumes "¬p ∨ ¬q" shows "¬(p ∧ q)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 49. Demostrar ⊢ ¬(p ∧ ¬p) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_49: "¬(p ∧ ¬p)" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 50. Demostrar p ∧ ¬p ⊢ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_50: assumes "p ∧ ¬p" shows "q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 51. Demostrar ¬¬p ⊢ p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_51: assumes "¬¬p" shows "p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 52. Demostrar ⊢ p ∨ ¬p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_52: "p ∨ ¬p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 53. Demostrar ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_53: "((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 54. Demostrar ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_54: assumes "¬q ⟶ ¬p" shows "p ⟶ q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 55. Demostrar ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_55: assumes "¬(¬p ∧ ¬q)" shows "p ∨ q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 56. Demostrar ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_56: assumes "¬(¬p ∨ ¬q)" shows "p ∧ q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 57. Demostrar ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_57: assumes "¬(p ∧ q)" shows "¬p ∨ ¬q" oops text {* --------------------------------------------------------------- Ejercicio 58. Demostrar ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ejercicio_58: "(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)" oops end |