I1M2103: Ejercicios con el TAD de los polinomios en Haskell
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones del ejercicios con el TAD de los polinomios presentados en la clase del día 11.
Los ejercicios de la relación 22 son
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import PolOperaciones import Test.QuickCheck import Data.Ratio -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- creaPolDispersa :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a -- tal que (creaPolDispersa xs) es el polinomio cuya representación -- dispersa es xs. Por ejemplo, -- creaPolDispersa [7,0,0,4,0,3] == 7*x^5 + 4*x^2 + 3 -- --------------------------------------------------------------------- creaPolDispersa :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a creaPolDispersa [] = polCero creaPolDispersa (x:xs) = consPol (length xs) x (creaPolDispersa xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- creaPolDensa :: (Num a, Eq a) => [(Int,a)] -> Polinomio a -- tal que (creaPolDensa xs) es el polinomio cuya representación -- densa es xs. Por ejemplo, -- creaPolDensa [(5,7),(4,2),(3,0)] == 7*x^5 + 2*x^4 -- --------------------------------------------------------------------- creaPolDensa :: (Num a, Eq a) => [(Int,a)] -> Polinomio a creaPolDensa [] = polCero creaPolDensa ((n,a):ps) = consPol n a (creaPolDensa ps) -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En el resto de la sucesión se usará en los ejemplos los -- los polinomios que se definen a continuación. -- --------------------------------------------------------------------- pol1, pol2, pol3 :: (Num a, Eq a) => Polinomio a pol1 = creaPolDensa [(5,1),(2,5),(1,4)] pol2 = creaPolDispersa [2,3] pol3 = creaPolDensa [(7,2),(4,5),(2,5)] pol4, pol5, pol6 :: Polinomio Rational pol4 = creaPolDensa [(4,3),(2,5),(0,3)] pol5 = creaPolDensa [(2,6),(1,2)] pol6 = creaPolDensa [(2,8),(1,14),(0,3)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- densa :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [(Int,a)] -- tal que (densa p) es la representación densa del polinomio p. Por -- ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- densa pol1 == [(5,1),(2,5),(1,4)] -- --------------------------------------------------------------------- densa :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [(Int,a)] densa p | esPolCero p = [] | otherwise = (grado p, coefLider p) : densa (restoPol p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- densaAdispersa :: Num a => [(Int,a)] -> [a] -- tal que (densaAdispersa ps) es la representación dispersa del -- polinomio cuya representación densa es ps. Por ejemplo, -- densaAdispersa [(5,1),(2,5),(1,4)] == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- densaAdispersa :: Num a => [(Int,a)] -> [a] densaAdispersa [] = [] densaAdispersa [(n,a)] = a : replicate n 0 densaAdispersa ((n,a):(m,b):ps) = a : (replicate (n-m-1) 0) ++ densaAdispersa ((m,b):ps) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- dispersa :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] -- tal que (dispersa p) es la representación dispersa del polinomio -- p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- dispersa pol1 == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- dispersa :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] dispersa = densaAdispersa . densa -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- coeficiente :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a -- tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k -- del polinomio p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- coeficiente 2 pol1 == 5 -- coeficiente 3 pol1 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- coeficiente :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a coeficiente k p | k == n = coefLider p | k > grado (restoPol p) = 0 | otherwise = coeficiente k (restoPol p) where n = grado p -- Otra definición equivalente es coeficiente' :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a coeficiente' k p = busca k (densa p) where busca k ps = head ([a | (n,a) <- ps, n == k] ++ [0]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- coeficientes :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] -- tal que (coeficientes p) es la lista de los coeficientes del -- polinomio p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- coeficientes pol1 == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- coeficientes :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] coeficientes p = [coeficiente k p | k <-[n,n-1..0]] where n = grado p -- Una definición equivalente es coeficientes' :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] coeficientes' = dispersa -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- potencia :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a -- tal que (potencia p n) es la potencia n-ésima del polinomio p. Por -- ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- potencia pol2 2 == 4*x^2 + 12*x + 9 -- potencia pol2 3 == 8*x^3 + 36*x^2 + 54*x + 27 -- --------------------------------------------------------------------- potencia :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a potencia p 0 = polUnidad potencia p n = multPol p (potencia p (n-1)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Mejorar la definición de potencia definiendo la función -- potenciaM :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a -- tal que (potenciaM p n) es la potencia n-ésima del polinomio p, -- utilizando las siguientes propiedades: -- * Si n es par, entonces x^n = (x^2)^(n/2) -- * Si n es impar, entonces x^n = x * (x^2)^((n-1)/2) -- Por ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- potenciaM pol2 2 == 4*x^2 + 12*x + 9 -- potenciaM pol2 3 == 8*x^3 + 36*x^2 + 54*x + 27 -- --------------------------------------------------------------------- potenciaM :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a potenciaM p 0 = polUnidad potenciaM p n | even n = potenciaM (multPol p p) (n `div` 2) | otherwise = multPol p (potenciaM (multPol p p) ((n-1) `div` 2)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- integral :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (integral p) es la integral del polinomio p cuyos coefientes -- son números racionales. Por ejemplo, -- ghci> pol3 -- 2*x^7 + 5*x^4 + 5*x^2 -- ghci> integral pol3 -- 0.25*x^8 + x^5 + 1.6666666666666667*x^3 -- ghci> integral pol3 :: Polinomio Rational -- 1 % 4*x^8 + x^5 + 5 % 3*x^3 -- --------------------------------------------------------------------- integral :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a integral p | esPolCero p = polCero | otherwise = consPol (n+1) (b / (fromIntegral (n+1))) (integral r) where n = grado p b = coefLider p r = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- integralDef :: (Fractional t, Eq t) => Polinomio t -> t -> t -> t -- tal que (integralDef p a b) es la integral definida del polinomio p -- cuyos coefientes son números racionales. Por ejemplo, -- ghci> integralDef pol3 0 1 -- 2.916666666666667 -- ghci> integralDef pol3 0 1 :: Rational -- 35 % 12 -- --------------------------------------------------------------------- integralDef :: (Fractional t, Eq t) => Polinomio t -> t -> t -> t integralDef p a b = (valor q b) - (valor q a) where q = integral p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- multEscalar :: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (multEscalar c p) es el polinomio obtenido multiplicando el -- número c por el polinomio p. Por ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- multEscalar 4 pol2 == 8*x + 12 -- multEscalar (1%4) pol2 == 1 % 2*x + 3 % 4 -- --------------------------------------------------------------------- multEscalar :: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Polinomio a multEscalar c p | esPolCero p = polCero | otherwise = consPol n (c*b) (multEscalar c r) where n = grado p b = coefLider p r = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- cociente:: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (cociente p q) es el cociente de la división de p entre -- q. Por ejemplo, -- pol4 == 3 % 1*x^4 + 5 % 1*x^2 + 3 % 1 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- cociente pol4 pol5 == 1 % 2*x^2 + (-1) % 6*x + 8 % 9 -- --------------------------------------------------------------------- cociente:: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a cociente p q | n2 == 0 = multEscalar (1/a2) p | n1 < n2 = polCero | otherwise = consPol n' a' (cociente p' q) where n1 = grado p a1 = coefLider p n2 = grado q a2 = coefLider q n' = n1-n2 a' = a1/a2 p' = restaPol p (multPorTerm (creaTermino n' a') q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- resto:: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (resto p q) es el resto de la división de p entre q. Por -- ejemplo, -- pol4 == 3 % 1*x^4 + 5 % 1*x^2 + 3 % 1 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- resto pol4 pol5 == (-16) % 9*x + 3 % 1 -- --------------------------------------------------------------------- resto :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a resto p q = restaPol p (multPol (cociente p q) q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- divisiblePol :: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Bool -- tal que (divisiblePol p q) se verifica si el polinomio p es divisible -- por el polinomio q. Por ejemplo, -- pol6 == 8 % 1*x^2 + 14 % 1*x + 3 % 1 -- pol2 == 2*x + 3 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- divisiblePol pol6 pol2 == True -- divisiblePol pol6 pol5 == False -- --------------------------------------------------------------------- divisiblePol :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Bool divisiblePol p q = esPolCero (resto p q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. El método de Horner para calcular el valor de un -- polinomio se basa en representarlo de una forma forma alernativa. Por -- ejemplo, para calcular el valor de -- a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x + f -- se representa como -- (((((0 * x + a) * x + b) * x + c) * x + d) * x + e) * x + f -- y se evalúa de dentro hacia afuera; es decir, -- v(0) = 0 -- v(1) = v(0)*x+a = 0*x+a = a -- v(2) = v(1)*x+b = a*x+b -- v(3) = v(2)*x+c = (a*x+b)*x+c = a*x^2+b*x+c -- v(4) = v(3)*x+d = (a*x^2+b*x+c)*x+d = a*x^3+b*x^2+c*x+d -- v(5) = v(4)*x+e = (a*x^3+b*x^2+c*x+d)*x+e = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e -- v(6) = v(5)*x+f = (a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e)*x+f = a*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f -- -- Definir la función -- horner :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a -- tal que (horner p x) es el valor del polinomio p al sustituir su -- variable por el número x. Por ejemplo, -- horner pol1 0 == 0 -- horner pol1 1 == 10 -- horner pol1 1.5 == 24.84375 -- horner pol1 (3%2) == 795 % 32 -- --------------------------------------------------------------------- horner :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a horner p x = hornerAux (coeficientes p) 0 where hornerAux [] v = v hornerAux (a:as) v = hornerAux as (v*x+a) -- El cálculo de (horner pol1 2) es el siguiente -- horner pol1 2 -- = hornerAux [1,0,0,5,4,0] 0 -- = hornerAux [0,0,5,4,0] ( 0*2+1) = hornerAux [0,0,5,4,0] 1 -- = hornerAux [0,5,4,0] ( 1*2+0) = hornerAux [0,5,4,0] 2 -- = hornerAux [5,4,0] ( 2*2+0) = hornerAux [5,4,0] 4 -- = hornerAux [4,0] ( 4*2+5) = hornerAux [4,0] 13 -- = hornerAux [0] (13*2+4) = hornerAux [0] 30 -- = hornerAux [] (30*2+0) = hornerAux [] 60 -- Una defininición equivalente por plegado es horner' :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -> a horner' p x = (foldr (\a b -> a + b*x) 0) (coeficientes p) |
Los ejercicios de la relación 23 son
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import PolOperaciones import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Además de los ejemplos de polinomios (ejPol1, ejPol2 y ejPol3) que se -- encuentran en PolOperaciones, usaremos el siguiente ejemplo. ejPol4 :: Polinomio Int ejPol4 = consPol 3 1 (consPol 2 2 (consPol 1 (-1) (consPol 0 (-2) polCero))) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- divisores :: Int -> [Int] -- tal que (divisores n) es la lista de todos los divisores enteros de -- n. Por ejemplo, -- divisores 4 == [1,-1,2,-2,4,-4] -- divisores (-6) == [1,-1,2,-2,3,-3,6,-6] -- --------------------------------------------------------------------- divisores :: Int -> [Int] divisores n = concat [[x,-x] | x <- [1..abs n], rem n x == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- coeficiente :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a -- tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k en -- p. Por ejemplo: -- coeficiente 4 ejPol1 == 3 -- coeficiente 3 ejPol1 == 0 -- coeficiente 2 ejPol1 == -5 -- coeficiente 5 ejPol1 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- coeficiente :: (Num a, Eq a) => Int -> Polinomio a -> a coeficiente k p | k == gp = coefLider p | k > grado rp = 0 | otherwise = coeficiente k rp where gp = grado p rp = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- terminoIndep :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a -- tal que (terminoIndep p) es el término independiente del polinomio -- p. Por ejemplo, -- terminoIndep ejPol1 == 3 -- terminoIndep ejPol2 == 0 -- terminoIndep ejPol4 == -2 -- --------------------------------------------------------------------- terminoIndep :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> a terminoIndep p = coeficiente 0 p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- coeficientes :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] -- tal que (coeficientes p) es la lista de coeficientes de p, ordenada -- según el grado. Por ejemplo, -- coeficientes ejPol1 == [3,0,-5,0,3] -- coeficientes ejPol4 == [1,2,-1,-2] -- coeficientes ejPol2 == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- coeficientes :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> [a] coeficientes p = [coeficiente k p | k <- [n,n-1..0]] where n = grado p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- creaPol :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a -- tal que (creaPol cs) es el polinomio cuya lista de coeficientes es -- cs. Por ejemplo, -- creaPol [1,0,0,5,4,0] == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- creaPol [1,2,0,3,0] == x^4 + 2*x^3 + 3*x -- --------------------------------------------------------------------- creaPol :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a creaPol [] = polCero creaPol (a:as) = consPol n a (creaPol as) where n = length as -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p, el -- polinomio obtenido mediante creaPol a partir de la lista de -- coeficientes de p coincide con p. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_coef:: Polinomio Int -> Bool prop_coef p = creaPol (coeficientes p) == p -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_coef -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir una función -- pRuffini:: Int -> [Int] -> [Int] -- tal que (pRuffini r cs) es la lista que resulta de aplicar un paso -- del regla de Ruffini al número entero r y a la lista de coeficientes -- cs. Por ejemplo, -- pRuffini 2 [1,2,-1,-2] == [1,4,7,12] -- pRuffini 1 [1,2,-1,-2] == [1,3,2,0] -- ya que -- | 1 2 -1 -2 | 1 2 -1 -2 -- 2 | 2 8 14 1 | 1 3 2 -- --+-------------- --+------------- -- | 1 4 7 12 | 1 3 2 0 -- --------------------------------------------------------------------- pRuffini :: Int -> [Int] -> [Int] pRuffini r p@(c:cs) = c : [x+r*y | (x,y) <- zip cs (pRuffini r p)] -- Otra forma: pRuffini' :: Int -> [Int] -> [Int] pRuffini' r = scanl1 (\s x -> s * r + x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- cocienteRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int -- tal que (cocienteRuffini r p) es el cociente de dividir el polinomio -- p por el polinomio x-r. Por ejemplo: -- cocienteRuffini 2 ejPol4 == x^2 + 4*x + 7 -- cocienteRuffini (-2) ejPol4 == x^2 + -1 -- cocienteRuffini 3 ejPol4 == x^2 + 5*x + 14 -- --------------------------------------------------------------------- cocienteRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Polinomio Int cocienteRuffini r p = creaPol (init (pRuffini r (coeficientes p))) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- restoRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Int -- tal que (restoRuffini r p) es el resto de dividir el polinomio p por -- el polinomio x-r. Por ejemplo, -- restoRuffini 2 ejPol4 == 12 -- restoRuffini (-2) ejPol4 == 0 -- restoRuffini 3 ejPol4 == 40 -- --------------------------------------------------------------------- restoRuffini :: Int -> Polinomio Int -> Int restoRuffini r p = last (pRuffini r (coeficientes p)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Comprobar con QuickCheck que, dado un polinomio p y un -- número entero r, las funciones anteriores verifican la propiedad de -- la división euclídea. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_diviEuclidea:: Int -> Polinomio Int -> Bool prop_diviEuclidea r p = p == sumaPol (multPol coc div) res where coc = cocienteRuffini r p div = creaPol [1,-r] res = creaTermino 0 (restoRuffini r p) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_diviEuclidea -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- esRaizRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Bool -- tal que (esRaizRuffini r p) se verifica si r es una raiz de p, usando -- para ello el regla de Ruffini. Por ejemplo, -- esRaizRuffini 0 ejPol3 == True -- esRaizRuffini 1 ejPol3 == False -- --------------------------------------------------------------------- esRaizRuffini:: Int -> Polinomio Int -> Bool esRaizRuffini r p = restoRuffini r p == 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int] -- tal que (raicesRuffini p) es la lista de las raices enteras de p, -- calculadas usando el regla de Ruffini. Por ejemplo, -- raicesRuffini ejPol1 == [] -- raicesRuffini ejPol2 == [0,-1] -- raicesRuffini ejPol3 == [0] -- raicesRuffini ejPol4 == [1,-1,-2] -- raicesRuffini polCero == [] -- --------------------------------------------------------------------- raicesRuffini :: Polinomio Int -> [Int] raicesRuffini p | esPolCero p = [] | otherwise = aux (0 : divisores (terminoIndep p)) where aux [] = [] aux (r:rs) | esRaizRuffini r p = r : raicesRuffini (cocienteRuffini r p) | otherwise = aux rs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int] -- tal que (factorizacion p) es la lista de la descomposición del -- polinomio p en factores obtenida mediante el regla de Ruffini. Por -- ejemplo, -- ejPol2 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- factorizacion ejPol2 == [1*x,1*x+1,x^3+-1*x^2+1*x+4] -- ejPol4 == x^3 + 2*x^2 + -1*x + -2 -- factorizacion ejPol4 == [1*x + -1,1*x + 1,1*x + 2,1] -- factorizacion (creaPol [1,0,0,0,-1]) == [1*x + -1,1*x + 1,x^2 + 1] -- --------------------------------------------------------------------- factorizacion :: Polinomio Int -> [Polinomio Int] factorizacion p | esPolCero p = [p] | otherwise = aux (0 : divisores (terminoIndep p)) where aux [] = [p] aux (r:rs) | esRaizRuffini r p = (creaPol [1,-r]) : factorizacion (cocienteRuffini r p) | otherwise = aux rs |