I1M2018: 4º examen de programación funcional con Haskell
Hoy se ha realizado el 4º examen del curso de Informática (de 1º de Grado en Matemáticas). Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.Array import Test.QuickCheck import Text.Printf import Data.List import System.Timeout -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1 [2.5 puntos] Los árboles binarios se pueden representar -- con -- data Arbol a = H a -- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a) -- deriving (Show, Eq) -- -- Definir la función -- arboles :: Integer -> a -> [Arbol a] -- tales que (arboles n x) es la lista de todos los árboles binarios con -- n elementos iguales a x. Por ejemplo, -- λ> arboles 0 7 -- [] -- λ> arboles 1 7 -- [H 7] -- λ> arboles 2 7 -- [] -- λ> arboles 3 7 -- [Nodo 7 (H 7) (H 7)] -- λ> arboles 4 7 -- [] -- λ> arboles 5 7 -- [Nodo 7 (H 7) (Nodo 7 (H 7) (H 7)), -- Nodo 7 (Nodo 7 (H 7) (H 7)) (H 7)] -- λ> arboles 6 7 -- [] -- λ> arboles 7 7 -- [Nodo 7 (H 7) (Nodo 7 (H 7) (Nodo 7 (H 7) (H 7))), -- Nodo 7 (H 7) (Nodo 7 (Nodo 7 (H 7) (H 7)) (H 7)), -- Nodo 7 (Nodo 7 (H 7) (H 7)) (Nodo 7 (H 7) (H 7)), -- Nodo 7 (Nodo 7 (H 7) (Nodo 7 (H 7) (H 7))) (H 7), -- Nodo 7 (Nodo 7 (Nodo 7 (H 7) (H 7)) (H 7)) (H 7)] -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = H a | Nodo a (Arbol a) (Arbol a) deriving (Show, Eq) -- 1ª definición -- ============= arboles :: Integer -> a -> [Arbol a] arboles 0 _ = [] arboles 1 x = [H x] arboles n x = [Nodo x i d | k <- [0..n-1], i <- arboles k x, d <- arboles (n-1-k) x] -- 2ª definición -- ============= arboles2 :: Integer -> a -> [Arbol a] arboles2 0 _ = [] arboles2 1 x = [H x] arboles2 n x = [Nodo x i d | k <- [1,3..n-1], i <- arboles2 k x, d <- arboles2 (n-1-k) x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. [2.5 puntos]. Un camino es una sucesión de pasos en una -- de las cuatros direcciones Norte, Sur, Este, Oeste. Ir en una -- dirección y a continuación en la opuesta es un esfuerzo que se puede -- reducir. Por ejemplo, el camino [Norte,Sur,Este,Sur] se puede reducir -- a [Este,Sur]. -- -- Un camino se dice que es reducido si no tiene dos pasos consecutivos -- en direcciones opuesta. -- -- En Haskell, las direcciones y los caminos se pueden definir por -- data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq) -- type Camino = [Direccion] -- -- Definir la función -- reducido :: Camino -> Camino -- tal que (reducido ds) es el camino reducido equivalente al camino -- ds. Por ejemplo, -- reducido [] == [] -- reducido [N] == [N] -- reducido [N,O] == [N,O] -- reducido [N,O,E] == [N] -- reducido [N,O,E,S] == [] -- reducido [N,O,S,E] == [N,O,S,E] -- reducido [S,S,S,N,N,N] == [] -- reducido [N,S,S,E,O,N] == [] -- reducido [N,S,S,E,O,N,O] == [O] -- -- Nótese que en el último ejemplo las reducciones son -- [N,S,S,E,O,N,O] -- --> [S,E,O,N,O] -- --> [S,N,O] -- --> [O] -- --------------------------------------------------------------------- data Direccion = N | S | E | O deriving (Show, Eq) type Camino = [Direccion] -- 1ª solución -- =========== reducido :: Camino -> Camino reducido [] = [] reducido (d:ds) | null ds' = [d] | d == opuesta (head ds') = tail ds' | otherwise = d:ds' where ds' = reducido ds opuesta :: Direccion -> Direccion opuesta N = S opuesta S = N opuesta E = O opuesta O = E -- 2ª solución -- =========== reducido2 :: Camino -> Camino reducido2 = foldr aux [] where aux N (S:xs) = xs aux S (N:xs) = xs aux E (O:xs) = xs aux O (E:xs) = xs aux x xs = x:xs -- 3ª solución -- =========== reducido3 :: Camino -> Camino reducido3 [] = [] reducido3 (N:S:ds) = reducido3 ds reducido3 (S:N:ds) = reducido3 ds reducido3 (E:O:ds) = reducido3 ds reducido3 (O:E:ds) = reducido3 ds reducido3 (d:ds) | null ds' = [d] | d == opuesta (head ds') = tail ds' | otherwise = d:ds' where ds' = reducido3 ds -- 4ª solución -- =========== reducido4 :: Camino -> Camino reducido4 ds = reverse (aux ([],ds)) where aux (N:xs, S:ys) = aux (xs,ys) aux (S:xs, N:ys) = aux (xs,ys) aux (E:xs, O:ys) = aux (xs,ys) aux (O:xs, E:ys) = aux (xs,ys) aux ( xs, y:ys) = aux (y:xs,ys) aux ( xs, []) = xs -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- ghci> reducido (take (10^6) (cycle [N,E,O,S])) -- [] -- (3.87 secs, 460160736 bytes) -- ghci> reducido2 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S])) -- [] -- (1.16 secs, 216582880 bytes) -- ghci> reducido3 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S])) -- [] -- (0.58 secs, 98561872 bytes) -- ghci> reducido4 (take (10^6) (cycle [N,E,O,S])) -- [] -- (0.64 secs, 176154640 bytes) -- -- ghci> reducido3 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) -- [] -- (5.43 secs, 962694784 bytes) -- ghci> reducido4 (take (10^7) (cycle [N,E,O,S])) -- [] -- (9.29 secs, 1722601528 bytes) -- -- ghci> length $ reducido3 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S]) -- 400002 -- (4.52 secs, 547004960 bytes) -- ghci> length $ reducido4 (take 2000000 $ cycle [N,O,N,S,E,N,S,O,S,S]) -- 400002 -- -- ghci> let n=10^6 in reducido (replicate n N ++ replicate n S) -- [] -- (7.35 secs, 537797096 bytes) -- ghci> let n=10^6 in reducido2 (replicate n N ++ replicate n S) -- [] -- (2.30 secs, 244553404 bytes) -- ghci> let n=10^6 in reducido3 (replicate n N ++ replicate n S) -- [] -- (8.08 secs, 545043608 bytes) -- ghci> let n=10^6 in reducido4 (replicate n N ++ replicate n S) -- [] -- (1.96 secs, 205552240 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. [1.5 puntos] Una serie infinita para el cálculo de pi, -- publicada por Nilakantha en el siglo XV, es -- 4 4 4 4 -- pi = 3 + ----- - ----- + ----- - ------ + ··· -- 2x3x4 4x5x6 6x7x8 8x9x10 -- -- Definir la función -- aproximacionPi :: Int -> Double -- tal que (aproximacionPi n) es la n-ésima aproximación de pi obtenida -- sumando los n primeros términos de la serie de Nilakantha. Por -- ejemplo, -- aproximacionPi 0 == 3.0 -- aproximacionPi 1 == 3.1666666666666665 -- aproximacionPi 2 == 3.1333333333333333 -- aproximacionPi 3 == 3.145238095238095 -- aproximacionPi 4 == 3.1396825396825396 -- aproximacionPi 5 == 3.1427128427128426 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución -- =========== aproximacionPi :: Int -> Double aproximacionPi n = serieNilakantha !! n serieNilakantha :: [Double] serieNilakantha = scanl1 (+) terminosNilakantha terminosNilakantha :: [Double] terminosNilakantha = zipWith (/) numeradores denominadores where numeradores = 3 : cycle [4,-4] denominadores = 1 : [n*(n+1)*(n+2) | n <- [2,4..]] -- 2ª solución -- =========== aproximacionPi2 :: Int -> Double aproximacionPi2 = aux 3 2 1 where aux x _ _ 0 = x aux x y z m = aux (x+4/product[y..y+2]*z) (y+2) (negate z) (m-1) -- 3ª solución -- =========== aproximacionPi3 :: Int -> Double aproximacionPi3 x = 3 + sum [(((-1)**(n+1))*4)/(2*n*(2*n+1)*(2*n+2)) | n <- [1..fromIntegral x]] -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> aproximacionPi (10^6) -- 3.141592653589787 -- (1.35 secs, 729,373,160 bytes) -- λ> aproximacionPi2 (10^6) -- 3.141592653589787 -- (2.96 secs, 2,161,766,096 bytes) -- λ> aproximacionPi3 (10^6) -- 3.1415926535897913 -- (2.02 secs, 1,121,372,536 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2 [1 punto]. Definir la función -- tabla :: FilePath -> [Int] -> IO () -- tal que (tabla f ns) escribe en el fichero f las n-ésimas -- aproximaciones de pi, donde n toma los valores de la lista ns, junto -- con sus errores. Por ejemplo, al evaluar la expresión -- tabla "AproximacionesPi.txt" [0,10..100] -- hace que el contenido del fichero "AproximacionesPi.txt" sea -- +------+----------------+----------------+ -- | n | Aproximación | Error | -- +------+----------------+----------------+ -- | 0 | 3.000000000000 | 0.141592653590 | -- | 10 | 3.141406718497 | 0.000185935093 | -- | 20 | 3.141565734659 | 0.000026918931 | -- | 30 | 3.141584272675 | 0.000008380915 | -- | 40 | 3.141589028941 | 0.000003624649 | -- | 50 | 3.141590769850 | 0.000001883740 | -- | 60 | 3.141591552546 | 0.000001101044 | -- | 70 | 3.141591955265 | 0.000000698325 | -- | 80 | 3.141592183260 | 0.000000470330 | -- | 90 | 3.141592321886 | 0.000000331704 | -- | 100 | 3.141592410972 | 0.000000242618 | -- +------+----------------+----------------+ -- --------------------------------------------------------------------- tabla :: FilePath -> [Int] -> IO () tabla f ns = writeFile f (tablaAux ns) tablaAux :: [Int] -> String tablaAux ns = linea ++ cabecera ++ linea ++ concat [printf "| %4d | %.12f | %.12f |\n" n a e | n <- ns , let a = aproximacionPi n , let e = abs (pi - a)] ++ linea linea :: String linea = "+------+----------------+----------------+\n" cabecera :: String cabecera = "| n | Aproximación | Error |\n" -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1 [1 punto]. El número 7 tiene 4 descomposiciones como -- suma de cuadrados de enteros positivos -- 7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 -- 7 = 1^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2 -- 7 = 1^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 -- 7 = 2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2]] -- -- Definir la función -- nDescomposiciones :: Int -> Int -- tal que (nDescomposiciones x) es el número de listas de los cuadrados -- de cuatro números enteros positivos cuya suma es x. Por ejemplo. -- nDescomposiciones 7 == 4 -- nDescomposiciones 4 == 1 -- nDescomposiciones 5 == 0 -- nDescomposiciones 10 == 6 -- nDescomposiciones 15 == 12 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución -- =========== nDescomposiciones :: Int -> Int nDescomposiciones = length . descomposiciones -- (descomposiciones x) es la lista de las listas de los cuadrados de -- cuatro números enteros positivos cuya suma es x. Por ejemplo. -- λ> descomposiciones 4 -- [[1,1,1,1]] -- λ> descomposiciones 5 -- [] -- λ> descomposiciones 7 -- [[1,1,1,4],[1,1,4,1],[1,4,1,1],[4,1,1,1]] -- λ> descomposiciones 10 -- [[1,1,4,4],[1,4,1,4],[1,4,4,1],[4,1,1,4],[4,1,4,1],[4,4,1,1]] -- λ> descomposiciones 15 -- [[1,1,4,9],[1,1,9,4],[1,4,1,9],[1,4,9,1],[1,9,1,4],[1,9,4,1], -- [4,1,1,9],[4,1,9,1],[4,9,1,1],[9,1,1,4],[9,1,4,1],[9,4,1,1]] descomposiciones :: Int -> [[Int]] descomposiciones x = aux x 4 where aux 0 1 = [] aux 1 1 = [[1]] aux 2 1 = [] aux 3 1 = [] aux y 1 | esCuadrado y = [[y]] | otherwise = [] aux y n = [x^2 : zs | x <- [1..raizEntera y] , zs <- aux (y - x^2) (n-1)] -- (esCuadrado x) se verifica si x es un número al cuadrado. Por -- ejemplo, -- esCuadrado 25 == True -- esCuadrado 26 == False esCuadrado :: Int -> Bool esCuadrado x = (raizEntera x)^2 == x -- (raizEntera n) es el mayor entero cuya raíz cuadrada es menor o igual -- que n. Por ejemplo, -- raizEntera 15 == 3 -- raizEntera 16 == 4 -- raizEntera 17 == 4 raizEntera :: Int -> Int raizEntera = floor . sqrt . fromIntegral -- 2ª solución -- ============= nDescomposiciones2 :: Int -> Int nDescomposiciones2 = length . descomposiciones2 descomposiciones2 :: Int -> [[Int]] descomposiciones2 x = a ! (x,4) where a = array ((0,1),(x,4)) [((i,j), f i j) | i <- [0..x], j <- [1..4]] f 0 1 = [] f 1 1 = [[1]] f 2 1 = [] f 3 1 = [] f i 1 | esCuadrado i = [[i]] | otherwise = [] f i j = [x^2 : zs | x <- [1..raizEntera i] , zs <- a ! (i - x^2,j-1)] -- 3ª solución -- =========== nDescomposiciones3 :: Int -> Int nDescomposiciones3 x = aux x 4 where aux 0 1 = 0 aux 1 1 = 1 aux 2 1 = 0 aux 3 1 = 0 aux y 1 | esCuadrado y = 1 | otherwise = 0 aux y n = sum [aux (y - x^2) (n-1) | x <- [1..raizEntera y]] -- 4ª solución -- =========== nDescomposiciones4 :: Int -> Int nDescomposiciones4 x = a ! (x,4) where a = array ((0,1),(x,4)) [((i,j), f i j) | i <- [0..x], j <- [1..4]] f 0 1 = 0 f 1 1 = 1 f 2 1 = 0 f 3 1 = 0 f i 1 | esCuadrado i = 1 | otherwise = 0 f i j = sum [a ! (i- x^2,j-1) | x <- [1..raizEntera i]] -- Comprobación de equivalencia -- ============================ -- La propiedad es prop_nDescomposiciones :: Positive Int -> Bool prop_nDescomposiciones (Positive x) = all (== nDescomposiciones x) [f x | f <- [ nDescomposiciones2 , nDescomposiciones3 , nDescomposiciones4]] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_nDescomposiciones -- +++ OK, passed 100 tests. -- Comparación de eficiencia -- ========================= -- La comparación es -- λ> nDescomposiciones 20000 -- 1068 -- (3.69 secs, 3,307,250,128 bytes) -- λ> nDescomposiciones2 20000 -- 1068 -- (0.72 secs, 678,419,328 bytes) -- λ> nDescomposiciones3 20000 -- 1068 -- (3.94 secs, 3,485,725,552 bytes) -- λ> nDescomposiciones4 20000 -- 1068 -- (0.74 secs, 716,022,456 bytes) -- -- λ> nDescomposiciones2 50000 -- 5682 -- (2.64 secs, 2,444,206,000 bytes) -- λ> nDescomposiciones4 50000 -- 5682 -- (2.77 secs, 2,582,443,448 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2 [1.5 puntos]. Con la definición del apartado anterior, -- evaluar (en menos de 2 segundos), -- nDescomposiciones (2*10^4) -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- λ> timeout (2*10^6) (return $! (nDescomposiciones4 (2*10^4))) -- Just 1068 -- (1.13 secs, 715,951,808 bytes) |