I1M2017: Ejercicios sobre árboles binarios en Haskell (1)
En la tercera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los primeros ejercicios de la relación 8 sobre árboles binarios definidos como tipo de dato algebraico.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presenta ejercicios sobre árboles binarios -- definidos como tipos de datos algebraicos. -- -- Los ejercicios corresponden al tema 9 que se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-17/temas/tema-9.html -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Control.Monad -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En los siguientes ejercicios se trabajará con los árboles -- binarios definidos como sigue -- data Arbol a = H a -- | N a (Arbol a) (Arbol a) -- deriving (Show, Eq) -- Por ejemplo, el árbol -- 9 -- / \ -- / \ -- 3 7 -- / \ -- 2 4 -- se representa por -- N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7) -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol a = H a | N a (Arbol a) (Arbol a) deriving (Show, Eq) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir la función -- nHojas :: Arbol a -> Int -- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo, -- nHojas (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 3 -- --------------------------------------------------------------------- nHojas :: Arbol a -> Int nHojas (H _) = 1 nHojas (N x i d) = nHojas i + nHojas d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir la función -- nNodos :: Arbol a -> Int -- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo, -- nNodos (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 2 -- --------------------------------------------------------------------- nNodos :: Arbol a -> Int nNodos (H _) = 0 nNodos (N x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Comprobar con QuickCheck que en todo árbol binario el -- número de sus hojas es igual al número de sus nodos más uno. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nHojas :: Arbol Int -> Bool prop_nHojas x = nHojas x == nNodos x + 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_nHojas -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir la función -- profundidad :: Arbol a -> Int -- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo, -- profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == 2 -- profundidad (N 9 (N 3 (H 2) (N 1 (H 4) (H 5))) (H 7)) == 3 -- profundidad (N 4 (N 5 (H 4) (H 2)) (N 3 (H 7) (H 4))) == 2 -- --------------------------------------------------------------------- profundidad :: Arbol a -> Int profundidad (H _) = 0 profundidad (N x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol biario -- x, se tiene que -- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool prop_nNodosProfundidad x = nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_nNodosProfundidad -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir la función -- preorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a -- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el -- subárbol derecho. Por ejemplo, -- preorden (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [9,3,2,4,7] -- --------------------------------------------------------------------- preorden :: Arbol a -> [a] preorden (H x) = [x] preorden (N x i d) = x : (preorden i ++ preorden d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista -- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número -- de nodos del árbol más el número de hojas. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool prop_length_preorden x = length (preorden x) == nNodos x + nHojas x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_length_preorden -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Definir la función -- postorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol -- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz -- del árbol. Por ejemplo, -- postorden (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [2,4,3,7,9] -- --------------------------------------------------------------------- postorden :: Arbol a -> [a] postorden (H x) = [x] postorden (N x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.4. Definir, usando un acumulador, la función -- preordenIt :: Arbol a -> [a] -- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido -- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a -- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el -- subárbol derecho. Por ejemplo, -- preordenIt (N 9 (N 3 (H 2) (H 4)) (H 7)) == [9,3,2,4,7] -- -- Nota: No usar (++) en la definición -- --------------------------------------------------------------------- preordenIt :: Arbol a -> [a] preordenIt x = preordenItAux x [] where preordenItAux (H x) xs = x:xs preordenItAux (N x i d) xs = x : preordenItAux i (preordenItAux d xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.5. Comprobar con QuickCheck que preordenIt es equivalente -- a preorden. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_preordenIt :: Arbol Int -> Bool prop_preordenIt x = preordenIt x == preorden x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_preordenIt -- OK, passed 100 tests. |