I1M2017: Combinatoria en Haskell

En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la relación 24 cuyo objetivo es estudiar la generación y el número de las principales operaciones de la combinatoria. En concreto, se estudia

Permutaciones.
Combinaciones sin repetición.
Combinaciones con repetición
Variaciones sin repetición.
Variaciones con repetición.

En la segunda parte se han resuelto algunos de los problemas de la relación anterior usando la librería Math.Combinat.Sets y se han comparado las definiciones de las funciones de la librería con las presentadas en la primera parte.

Los ejercicios, y sus soluciones, de la primera parte se muestran a continuación.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es estudiar la generación y el número de
-- las principales operaciones de la combinatoria. En concreto, se
-- estudia 
--    * Permutaciones.
--    * Combinaciones sin repetición.          
--    * Combinaciones con repetición
--    * Variaciones sin repetición.
--    * Variaciones con repetición.
-- Como referencia se puede usar los apuntes de http://bit.ly/2HyyxAi

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
import Test.QuickCheck
import Data.List (genericLength)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función 
--    subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de
-- ys. Por ejemplo,
--    subconjunto [1,3,2,3] [1,2,3]  ==  True
--    subconjunto [1,3,4,3] [1,2,3]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto []     _ = True
subconjunto (x:xs) ys = elem x ys && subconjunto xs ys

-- Definición por plegado
subconjunto2 :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto2 xs ys = foldr f True xs 
  where f x z = x `elem` ys && z 

-- La propiedad de equivalencia es
prop_equiv_subconjunto :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_equiv_subconjunto xs ys =
  subconjunto xs ys == subconjunto2 xs ys

-- La comprobación es
--    prop_equiv_subconjunto :: [Int] -> [Int] -> Bool
--    prop_equiv_subconjunto xs ys =
--      subconjunto xs ys == subconjunto2 xs ys
  
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir, mediante all, la función 
--    subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (subconjunto' xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de
-- ys. Por ejemplo,
--    subconjunto' [1,3,2,3] [1,2,3]  ==  True
--    subconjunto' [1,3,4,3] [1,2,3]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
subconjunto' xs ys = all (`elem` ys) xs
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto
-- y subconjunto' son equivalentes.
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- La propiedad es
prop_equivalencia :: [Int] -> [Int] -> Bool
prop_equivalencia xs ys =
  subconjunto xs ys == subconjunto' xs ys  
 
-- La comprobación es
--    ghci> quickCheck prop_equivalencia
--    OK, passed 100 tests.
  
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función 
--    igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
-- tal que (igualConjunto xs ys) se verifica si las listas xs e ys,
-- vistas como conjuntos, son iguales. Por ejemplo,
--    igualConjunto [1..10] [10,9..1]   ==  True
--    igualConjunto [1..10] [11,10..1]  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool
igualConjunto xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función 
--    subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista
-- xs. Por ejemplo, 
--    ghci> subconjuntos [2,3,4]
--    [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]
--    ghci> subconjuntos [1,2,3,4]
--    [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],
--       [2,3,4],  [2,3],  [2,4],  [2],  [3,4],  [3],  [4], []]
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos []     = [[]]
subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub
    where sub = subconjuntos xs  

-- Cambiando la comprensión por map se obtiene
subconjuntos' :: [a] -> [[a]]
subconjuntos' []     = [[]]
subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub
    where sub = subconjuntos' xs  
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Permutaciones
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    intercala :: a -> [a] -> [[a]]
-- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas
-- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo,
--    intercala 1 [2,3]  ==  [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Una definición recursiva es
intercala1 :: a -> [a] -> [[a]]
intercala1 x []     = [[x]]
intercala1 x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala1 x ys]

-- Otra definición, más eficiente, es
intercala :: a -> [a] -> [[a]]
intercala y xs = 
  [take n xs ++ (y : drop n xs) | n <- [0..length xs]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función 
--    permutaciones :: [a] -> [[a]]  
-- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la
-- lista xs. Por ejemplo,
--    permutaciones "bc"   ==  ["bc","cb"]
--    permutaciones "abc"  ==  ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
permutaciones :: [a] -> [[a]]
permutaciones []     = [[]]
permutaciones (x:xs) = 
  concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs]

-- 2ª definición
permutaciones2 :: [a] -> [[a]]
permutaciones2 []     = [[]]
permutaciones2 (x:xs) = concatMap (intercala x) (permutaciones2 xs) 

-- 3ª definición
permutaciones3 :: [a] -> [[a]]
permutaciones3 = foldr (concatMap . intercala) [[]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    permutacionesN :: Int -> [[Int]]
-- tal que (permutacionesN n) es la lista de las permutaciones de los n
-- primeros números. Por ejemplo,
--    ghci> permutacionesN 3
--    [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

-- 1ª definición
permutacionesN :: Int -> [[Int]]
permutacionesN n = permutaciones [1..n]

-- 2ª definición
permutacionesN2 :: Int -> [[Int]]
permutacionesN2 = permutaciones . enumFromTo 1

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir, usando permutacionesN, la función
--    numeroPermutacionesN :: Int -> Int
-- tal que (numeroPermutacionesN n) es el número de permutaciones de un
-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroPermutacionesN 3  ==  6
--    numeroPermutacionesN 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN :: Int -> Int
numeroPermutacionesN = genericLength . permutacionesN 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
--    fact :: Int -> Int
-- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo,
--    fact 3  ==  6
-- ---------------------------------------------------------------------

fact :: Int -> Int
fact n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir, usando fact, la función
--    numeroPermutacionesN' :: Int -> Int
-- tal que (numeroPermutacionesN' n) es el número de permutaciones de un
-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroPermutacionesN' 3  ==  6
--    numeroPermutacionesN' 4  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN' :: Int -> Int
numeroPermutacionesN' = fact

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    prop_numeroPermutacionesN :: Int -> Bool
-- tal que (prop_numeroPermutacionesN n) se verifica si las funciones
-- numeroPermutacionesN y numeroPermutacionesN' son equivalentes para
-- los n primeros números. Por ejemplo,
--    prop_numeroPermutacionesN 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroPermutacionesN :: Int -> Bool
prop_numeroPermutacionesN n = 
    and [numeroPermutacionesN x == numeroPermutacionesN' x | x <- [1..n]] 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Combinaciones          
-- ---------------------------------------------------------------------  

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función 
--    combinaciones :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de
-- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo,
--    ghci> combinaciones 2 "bcde"
--    ["bc","bd","be","cd","ce","de"]
--    ghci> combinaciones 3 "bcde"
--    ["bcd","bce","bde","cde"]
--    ghci> combinaciones 3 "abcde"
--    ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- 1ª definición
combinaciones1 :: Int -> [a] -> [[a]]
combinaciones1 n xs = 
    [ys | ys <- subconjuntos xs, genericLength ys == n]  
 
-- 2ª definición
combinaciones2 :: Int -> [a] -> [[a]]
combinaciones2 0 _          = [[]]
combinaciones2 _ []         = []
combinaciones2 k (x:xs) = 
    [x:ys | ys <- combinaciones2 (k-1) xs] ++ combinaciones2 k xs  

-- La anterior definición se puede escribir usando map:
combinaciones3 :: Int -> [a] -> [[a]]
combinaciones3 0 _      = [[]]
combinaciones3 _ []     = []
combinaciones3 k (x:xs) = 
    map (x:) (combinaciones3 (k-1) xs) ++ combinaciones3 k xs
 
-- Nota. La segunda definición es más eficiente como se comprueba en la
-- siguiente sesión
--    ghci> :set +s
--    ghci> length (combinaciones1 2 [1..15])
--    105
--    (0.19 secs, 6373848 bytes)
--    ghci> length (combinaciones2 2 [1..15])
--    105
--    (0.01 secs, 525360 bytes)
--    ghci> length (combinaciones3 2 [1..15])
--    105
--    (0.02 secs, 528808 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos combinaciones como combinaciones2
combinaciones :: Int -> [a] -> [[a]]
combinaciones = combinaciones2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    combinacionesN :: Int -> Int -> [[Int]]
-- tal que (combinacionesN n k) es la lista de las combinaciones de
-- orden k de los n primeros números. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesN 4 2
--    [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]
--    ghci> combinacionesN 4 3
--    [[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

-- 1ª definición
combinacionesN :: Int -> Int -> [[Int]]
combinacionesN n k = combinaciones k [1..n]

-- 2ª definición
combinacionesN2 :: Int -> Int -> [[Int]]
combinacionesN2 = flip combinaciones . enumFromTo 1

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función
--    numeroCombinaciones :: Int -> Int -> Int
-- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de
-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinaciones 4 2  ==  6
--    numeroCombinaciones 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones :: Int -> Int -> Int
numeroCombinaciones n k = genericLength (combinacionesN n k)

-- Puede definirse por composición
numeroCombinaciones2 :: Int -> Int -> Int
numeroCombinaciones2 = (genericLength .) . combinacionesN

-- Para facilitar la escritura de las definiciones por composición de
-- funciones con dos argumentos, se puede definir 
(.:) :: (c -> d) -> (a -> b -> c) -> a -> b -> d
(.:) = (.) . (.)

-- con lo que la definición anterior se simplifica a
numeroCombinaciones3 :: Int -> Int -> Int
numeroCombinaciones3 = genericLength .: combinacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    comb :: Int -> Int -> Int
-- tal que (comb n k) es el número combinatorio n sobre k; es decir, . 
--    (comb n k) = n! / (k!(n-k)!).
-- Por ejemplo,
--    comb 4 2  ==  6
--    comb 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------
 
comb :: Int -> Int -> Int
comb n k = fact n `div` (fact k * fact (n-k))
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir, usando comb, la función
--    numeroCombinaciones' :: Int -> Int -> Int
-- tal que (numeroCombinaciones' n k) es el número de combinaciones de
-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinaciones' 4 2  ==  6
--    numeroCombinaciones' 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones' :: Int -> Int -> Int
numeroCombinaciones' = comb 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    prop_numeroCombinaciones :: Int -> Bool
-- tal que (prop_numeroCombinaciones n) se verifica si las funciones
-- numeroCombinaciones y numeroCombinaciones' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroCombinaciones 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinaciones :: Int -> Bool
prop_numeroCombinaciones n =
  and [numeroCombinaciones n k == numeroCombinaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Combinaciones con repetición
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    combinacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden
-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesR 2 "abc"
--    ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"]
--    ghci> combinacionesR 3 "bc"
--    ["bbb","bbc","bcc","ccc"]
--    ghci> combinacionesR 3 "abc"
--    ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"]
-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]
combinacionesR _ [] = []
combinacionesR 0 _  = [[]]
combinacionesR k (x:xs) =
    [x:ys | ys <- combinacionesR (k-1) (x:xs)] ++ combinacionesR k xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Definir la función
--    combinacionesRN :: Int -> Int -> [[Int]]    
-- tal que (combinacionesRN n k) es la lista de las combinaciones orden
-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesRN 3 2
--    [[1,1],[1,2],[1,3],[2,2],[2,3],[3,3]]
--    ghci> combinacionesRN 2 3
--    [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,2],[2,2,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición
combinacionesRN :: Int -> Int -> [[Int]]    
combinacionesRN n k = combinacionesR k [1..n]

-- 2ª definición
combinacionesRN2 :: Int -> Int -> [[Int]]    
combinacionesRN2 = flip combinacionesR . enumFromTo 1

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Definir, usando combinacionesRN, la función
--    numeroCombinacionesR :: Int -> Int -> Int
-- tal que (numeroCombinacionesR n k) es el número de combinaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinacionesR 3 2  ==  6
--    numeroCombinacionesR 2 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR :: Int -> Int -> Int
numeroCombinacionesR n k = genericLength (combinacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Definir, usando comb, la función
--    numeroCombinacionesR' :: Int -> Int -> Int
-- tal que (numeroCombinacionesR' n k) es el número de combinaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinacionesR' 3 2  ==  6
--    numeroCombinacionesR' 2 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR' :: Int -> Int -> Int
numeroCombinacionesR' n k = comb (n+k-1) k

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Definir la función
--    prop_numeroCombinacionesR :: Int -> Bool
-- tal que (prop_numeroCombinacionesR n) se verifica si las funciones
-- numeroCombinacionesR y numeroCombinacionesR' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroCombinacionesR 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinacionesR :: Int -> Bool
prop_numeroCombinacionesR n =
  and [numeroCombinacionesR n k == numeroCombinacionesR' n k | 
       k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Variaciones
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función 
--    variaciones :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (variaciones n xs) es la lista de las variaciones n-arias
-- de la lista xs. Por ejemplo,
--    variaciones 2 "abc"  ==  ["ab","ba","ac","ca","bc","cb"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
variaciones :: Int -> [a] -> [[a]]
variaciones k xs = concatMap permutaciones (combinaciones k xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 25. Definir la función
--    variacionesN :: Int -> Int -> [[Int]]
-- tal que (variacionesN n k) es la lista de las variaciones de orden k
-- de los n primeros números. Por ejemplo,
--    variacionesN 3 2  ==  [[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------  

variacionesN :: Int -> Int -> [[Int]]
variacionesN n k = variaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 26. Definir, usando variacionesN, la función
--    numeroVariaciones :: Int -> Int -> Int
-- tal que (numeroVariaciones n k) es el número de variaciones de orden
-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariaciones 4 2  ==  12
--    numeroVariaciones 4 3  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición
numeroVariaciones :: Int -> Int -> Int
numeroVariaciones n k = genericLength (variacionesN n k)

-- 2ª definición
numeroVariaciones2 :: Int -> Int -> Int
numeroVariaciones2 = (genericLength .) . variacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 27. Definir, usando product, la función
--    numeroVariaciones' :: Int -> Int -> Int
-- tal que (numeroVariaciones' n k) es el número de variaciones de orden
-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariaciones' 4 2  ==  12
--    numeroVariaciones' 4 3  ==  24
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones' :: Int -> Int -> Int
numeroVariaciones' n k = product [n-k+1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    prop_numeroVariaciones :: Int -> Bool
-- tal que (prop_numeroVariaciones n) se verifica si las funciones
-- numeroVariaciones y numeroVariaciones' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroVariaciones 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariaciones :: Int -> Bool
prop_numeroVariaciones n =
  and [numeroVariaciones n k == numeroVariaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Variaciones con repetición
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden
-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,
--    ghci> variacionesR 1 "ab"
--    ["a","b"]
--    ghci> variacionesR 2 "ab"
--    ["aa","ab","ba","bb"]
--    ghci> variacionesR 3 "ab"
--    ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]
-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]
variacionesR 0 _  = [[]] 
variacionesR k xs =
    [z:ys | z <- xs, ys <- variacionesR (k-1) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 30. Definir la función
--    variacionesRN :: Int -> Int -> [[Int]]    
-- tal que (variacionesRN n k) es la lista de las variaciones orden
-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,
--    ghci> variacionesRN 3 2
--    [[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[2,3],[3,1],[3,2],[3,3]]
--    ghci> variacionesRN 2 3
--    [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[2,1,1],[2,1,2],[2,2,1],[2,2,2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesRN :: Int -> Int -> [[Int]]    
variacionesRN n k = variacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 31. Definir, usando variacionesR, la función
--    numeroVariacionesR :: Int -> Int -> Int
-- tal que (numeroVariacionesR n k) es el número de variaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariacionesR 3 2  ==  9
--    numeroVariacionesR 2 3  ==  8
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR :: Int -> Int -> Int
numeroVariacionesR n k = genericLength (variacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 32. Definir, usando (^), la función
--    numeroVariacionesR' :: Int -> Int -> Int
-- tal que (numeroVariacionesR' n k) es el número de variaciones con
-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroVariacionesR' 3 2  ==  9
--    numeroVariacionesR' 2 3  ==  8
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR' :: Int -> Int -> Int
numeroVariacionesR' n k = n^k

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 33. Definir la función
--    prop_numeroVariacionesR :: Int -> Bool
-- tal que (prop_numeroVariacionesR n) se verifica si las funciones
-- numeroVariacionesR y numeroVariacionesR' son equivalentes para
-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,
--    prop_numeroVariacionesR 5  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariacionesR :: Int -> Bool
prop_numeroVariacionesR n =
  and [numeroVariacionesR n k == numeroVariacionesR' n k | 
       k <- [1..n]]

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-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es estudiar la generación y el número de

-- las principales operaciones de la combinatoria. En concreto, se

-- estudia

-- * Permutaciones.

-- * Combinaciones sin repetición.

-- * Combinaciones con repetición

-- * Variaciones sin repetición.

-- * Variaciones con repetición.

-- Como referencia se puede usar los apuntes de http://bit.ly/2HyyxAi

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck

import Data.List (genericLength)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función

-- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de

-- ys. Por ejemplo,

-- subconjunto [1,3,2,3] [1,2,3] == True

-- subconjunto [1,3,4,3] [1,2,3] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

subconjunto [] _ = True

subconjunto (x:xs) ys = elem x ys && subconjunto xs ys

-- Definición por plegado

subconjunto2 :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

subconjunto2 xs ys = foldr f True xs

where f x z = x `elem` ys && z

-- La propiedad de equivalencia es

prop_equiv_subconjunto :: [Int] -> [Int] -> Bool

prop_equiv_subconjunto xs ys =

subconjunto xs ys == subconjunto2 xs ys

-- La comprobación es

-- prop_equiv_subconjunto :: [Int] -> [Int] -> Bool

-- prop_equiv_subconjunto xs ys =

-- subconjunto xs ys == subconjunto2 xs ys

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir, mediante all, la función

-- subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (subconjunto' xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de

-- ys. Por ejemplo,

-- subconjunto' [1,3,2,3] [1,2,3] == True

-- subconjunto' [1,3,4,3] [1,2,3] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjunto' :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

subconjunto' xs ys = all (`elem` ys) xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto

-- y subconjunto' son equivalentes.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es

prop_equivalencia :: [Int] -> [Int] -> Bool

prop_equivalencia xs ys =

subconjunto xs ys == subconjunto' xs ys

-- La comprobación es

-- ghci> quickCheck prop_equivalencia

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

-- tal que (igualConjunto xs ys) se verifica si las listas xs e ys,

-- vistas como conjuntos, son iguales. Por ejemplo,

-- igualConjunto [1..10] [10,9..1] == True

-- igualConjunto [1..10] [11,10..1] == False

-- ---------------------------------------------------------------------

igualConjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool

igualConjunto xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]

-- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista

-- xs. Por ejemplo,

-- ghci> subconjuntos [2,3,4]

-- [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]

-- ghci> subconjuntos [1,2,3,4]

-- [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],

-- [2,3,4], [2,3], [2,4], [2], [3,4], [3], [4], []]

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]

subconjuntos [] = [[]]

subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub

where sub = subconjuntos xs

-- Cambiando la comprensión por map se obtiene

subconjuntos' :: [a] -> [[a]]

subconjuntos' [] = [[]]

subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub

where sub = subconjuntos' xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Permutaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir la función

-- intercala :: a -> [a] -> [[a]]

-- tal que (intercala x ys) es la lista de las listas obtenidas

-- intercalando x entre los elementos de ys. Por ejemplo,

-- intercala 1 [2,3] == [[1,2,3],[2,1,3],[2,3,1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Una definición recursiva es

intercala1 :: a -> [a] -> [[a]]

intercala1 x [] = [[x]]

intercala1 x (y:ys) = (x:y:ys) : [y:zs | zs <- intercala1 x ys]

-- Otra definición, más eficiente, es

intercala :: a -> [a] -> [[a]]

intercala y xs =

[take n xs ++ (y : drop n xs) | n <- [0..length xs]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- permutaciones :: [a] -> [[a]]

-- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la

-- lista xs. Por ejemplo,

-- permutaciones "bc" == ["bc","cb"]

-- permutaciones "abc" == ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]

-- ---------------------------------------------------------------------

permutaciones :: [a] -> [[a]]

permutaciones [] = [[]]

permutaciones (x:xs) =

concat [intercala x ys | ys <- permutaciones xs]

-- 2ª definición

permutaciones2 :: [a] -> [[a]]

permutaciones2 [] = [[]]

permutaciones2 (x:xs) = concatMap (intercala x) (permutaciones2 xs)

-- 3ª definición

permutaciones3 :: [a] -> [[a]]

permutaciones3 = foldr (concatMap . intercala) [[]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- permutacionesN :: Int -> [[Int]]

-- tal que (permutacionesN n) es la lista de las permutaciones de los n

-- primeros números. Por ejemplo,

-- ghci> permutacionesN 3

-- [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

permutacionesN :: Int -> [[Int]]

permutacionesN n = permutaciones [1..n]

-- 2ª definición

permutacionesN2 :: Int -> [[Int]]

permutacionesN2 = permutaciones . enumFromTo 1

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir, usando permutacionesN, la función

-- numeroPermutacionesN :: Int -> Int

-- tal que (numeroPermutacionesN n) es el número de permutaciones de un

-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroPermutacionesN 3 == 6

-- numeroPermutacionesN 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN :: Int -> Int

numeroPermutacionesN = genericLength . permutacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir la función

-- fact :: Int -> Int

-- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo,

-- fact 3 == 6

-- ---------------------------------------------------------------------

fact :: Int -> Int

fact n = product [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir, usando fact, la función

-- numeroPermutacionesN' :: Int -> Int

-- tal que (numeroPermutacionesN' n) es el número de permutaciones de un

-- conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroPermutacionesN' 3 == 6

-- numeroPermutacionesN' 4 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroPermutacionesN' :: Int -> Int

numeroPermutacionesN' = fact

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- prop_numeroPermutacionesN :: Int -> Bool

-- tal que (prop_numeroPermutacionesN n) se verifica si las funciones

-- numeroPermutacionesN y numeroPermutacionesN' son equivalentes para

-- los n primeros números. Por ejemplo,

-- prop_numeroPermutacionesN 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroPermutacionesN :: Int -> Bool

prop_numeroPermutacionesN n =

and [numeroPermutacionesN x == numeroPermutacionesN' x | x <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Combinaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- combinaciones :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de

-- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- ghci> combinaciones 2 "bcde"

-- ["bc","bd","be","cd","ce","de"]

-- ghci> combinaciones 3 "bcde"

-- ["bcd","bce","bde","cde"]

-- ghci> combinaciones 3 "abcde"

-- ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

combinaciones1 :: Int -> [a] -> [[a]]

combinaciones1 n xs =

[ys | ys <- subconjuntos xs, genericLength ys == n]

-- 2ª definición

combinaciones2 :: Int -> [a] -> [[a]]

combinaciones2 0 _ = [[]]

combinaciones2 _ [] = []

combinaciones2 k (x:xs) =

[x:ys | ys <- combinaciones2 (k-1) xs] ++ combinaciones2 k xs

-- La anterior definición se puede escribir usando map:

combinaciones3 :: Int -> [a] -> [[a]]

combinaciones3 0 _ = [[]]

combinaciones3 _ [] = []

combinaciones3 k (x:xs) =

map (x:) (combinaciones3 (k-1) xs) ++ combinaciones3 k xs

-- Nota. La segunda definición es más eficiente como se comprueba en la

-- siguiente sesión

-- ghci> :set +s

-- ghci> length (combinaciones1 2 [1..15])

-- 105

-- (0.19 secs, 6373848 bytes)

-- ghci> length (combinaciones2 2 [1..15])

-- 105

-- (0.01 secs, 525360 bytes)

-- ghci> length (combinaciones3 2 [1..15])

-- 105

-- (0.02 secs, 528808 bytes)

-- En lo que sigue, usaremos combinaciones como combinaciones2

combinaciones :: Int -> [a] -> [[a]]

combinaciones = combinaciones2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- combinacionesN :: Int -> Int -> [[Int]]

-- tal que (combinacionesN n k) es la lista de las combinaciones de

-- orden k de los n primeros números. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesN 4 2

-- [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]

-- ghci> combinacionesN 4 3

-- [[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

combinacionesN :: Int -> Int -> [[Int]]

combinacionesN n k = combinaciones k [1..n]

-- 2ª definición

combinacionesN2 :: Int -> Int -> [[Int]]

combinacionesN2 = flip combinaciones . enumFromTo 1

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función

-- numeroCombinaciones :: Int -> Int -> Int

-- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de

-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinaciones 4 2 == 6

-- numeroCombinaciones 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones :: Int -> Int -> Int

numeroCombinaciones n k = genericLength (combinacionesN n k)

-- Puede definirse por composición

numeroCombinaciones2 :: Int -> Int -> Int

numeroCombinaciones2 = (genericLength .) . combinacionesN

-- Para facilitar la escritura de las definiciones por composición de

-- funciones con dos argumentos, se puede definir

(.:) :: (c -> d) -> (a -> b -> c) -> a -> b -> d

(.:) = (.) . (.)

-- con lo que la definición anterior se simplifica a

numeroCombinaciones3 :: Int -> Int -> Int

numeroCombinaciones3 = genericLength .: combinacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- comb :: Int -> Int -> Int

-- tal que (comb n k) es el número combinatorio n sobre k; es decir, .

-- (comb n k) = n! / (k!(n-k)!).

-- Por ejemplo,

-- comb 4 2 == 6

-- comb 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

comb :: Int -> Int -> Int

comb n k = fact n `div` (fact k * fact (n-k))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Definir, usando comb, la función

-- numeroCombinaciones' :: Int -> Int -> Int

-- tal que (numeroCombinaciones' n k) es el número de combinaciones de

-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinaciones' 4 2 == 6

-- numeroCombinaciones' 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones' :: Int -> Int -> Int

numeroCombinaciones' = comb

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- prop_numeroCombinaciones :: Int -> Bool

-- tal que (prop_numeroCombinaciones n) se verifica si las funciones

-- numeroCombinaciones y numeroCombinaciones' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroCombinaciones 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinaciones :: Int -> Bool

prop_numeroCombinaciones n =

and [numeroCombinaciones n k == numeroCombinaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Combinaciones con repetición

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- combinacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden

-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesR 2 "abc"

-- ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"]

-- ghci> combinacionesR 3 "bc"

-- ["bbb","bbc","bcc","ccc"]

-- ghci> combinacionesR 3 "abc"

-- ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]

combinacionesR _ [] = []

combinacionesR 0 _ = [[]]

combinacionesR k (x:xs) =

[x:ys | ys <- combinacionesR (k-1) (x:xs)] ++ combinacionesR k xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Definir la función

-- combinacionesRN :: Int -> Int -> [[Int]]

-- tal que (combinacionesRN n k) es la lista de las combinaciones orden

-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesRN 3 2

-- [[1,1],[1,2],[1,3],[2,2],[2,3],[3,3]]

-- ghci> combinacionesRN 2 3

-- [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,2],[2,2,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

combinacionesRN :: Int -> Int -> [[Int]]

combinacionesRN n k = combinacionesR k [1..n]

-- 2ª definición

combinacionesRN2 :: Int -> Int -> [[Int]]

combinacionesRN2 = flip combinacionesR . enumFromTo 1

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Definir, usando combinacionesRN, la función

-- numeroCombinacionesR :: Int -> Int -> Int

-- tal que (numeroCombinacionesR n k) es el número de combinaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinacionesR 3 2 == 6

-- numeroCombinacionesR 2 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR :: Int -> Int -> Int

numeroCombinacionesR n k = genericLength (combinacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Definir, usando comb, la función

-- numeroCombinacionesR' :: Int -> Int -> Int

-- tal que (numeroCombinacionesR' n k) es el número de combinaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinacionesR' 3 2 == 6

-- numeroCombinacionesR' 2 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinacionesR' :: Int -> Int -> Int

numeroCombinacionesR' n k = comb (n+k-1) k

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. Definir la función

-- prop_numeroCombinacionesR :: Int -> Bool

-- tal que (prop_numeroCombinacionesR n) se verifica si las funciones

-- numeroCombinacionesR y numeroCombinacionesR' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroCombinacionesR 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroCombinacionesR :: Int -> Bool

prop_numeroCombinacionesR n =

and [numeroCombinacionesR n k == numeroCombinacionesR' n k |

k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Variaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Definir la función

-- variaciones :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (variaciones n xs) es la lista de las variaciones n-arias

-- de la lista xs. Por ejemplo,

-- variaciones 2 "abc" == ["ab","ba","ac","ca","bc","cb"]

-- ---------------------------------------------------------------------

variaciones :: Int -> [a] -> [[a]]

variaciones k xs = concatMap permutaciones (combinaciones k xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 25. Definir la función

-- variacionesN :: Int -> Int -> [[Int]]

-- tal que (variacionesN n k) es la lista de las variaciones de orden k

-- de los n primeros números. Por ejemplo,

-- variacionesN 3 2 == [[1,2],[2,1],[1,3],[3,1],[2,3],[3,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesN :: Int -> Int -> [[Int]]

variacionesN n k = variaciones k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 26. Definir, usando variacionesN, la función

-- numeroVariaciones :: Int -> Int -> Int

-- tal que (numeroVariaciones n k) es el número de variaciones de orden

-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariaciones 4 2 == 12

-- numeroVariaciones 4 3 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

-- 1ª definición

numeroVariaciones :: Int -> Int -> Int

numeroVariaciones n k = genericLength (variacionesN n k)

-- 2ª definición

numeroVariaciones2 :: Int -> Int -> Int

numeroVariaciones2 = (genericLength .) . variacionesN

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 27. Definir, usando product, la función

-- numeroVariaciones' :: Int -> Int -> Int

-- tal que (numeroVariaciones' n k) es el número de variaciones de orden

-- k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariaciones' 4 2 == 12

-- numeroVariaciones' 4 3 == 24

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariaciones' :: Int -> Int -> Int

numeroVariaciones' n k = product [n-k+1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- prop_numeroVariaciones :: Int -> Bool

-- tal que (prop_numeroVariaciones n) se verifica si las funciones

-- numeroVariaciones y numeroVariaciones' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroVariaciones 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariaciones :: Int -> Bool

prop_numeroVariaciones n =

and [numeroVariaciones n k == numeroVariaciones' n k | k <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Variaciones con repetición

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden

-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,

-- ghci> variacionesR 1 "ab"

-- ["a","b"]

-- ghci> variacionesR 2 "ab"

-- ["aa","ab","ba","bb"]

-- ghci> variacionesR 3 "ab"

-- ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]

variacionesR 0 _ = [[]]

variacionesR k xs =

[z:ys | z <- xs, ys <- variacionesR (k-1) xs]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 30. Definir la función

-- variacionesRN :: Int -> Int -> [[Int]]

-- tal que (variacionesRN n k) es la lista de las variaciones orden

-- k de los primeros n números naturales. Por ejemplo,

-- ghci> variacionesRN 3 2

-- [[1,1],[1,2],[1,3],[2,1],[2,2],[2,3],[3,1],[3,2],[3,3]]

-- ghci> variacionesRN 2 3

-- [[1,1,1],[1,1,2],[1,2,1],[1,2,2],[2,1,1],[2,1,2],[2,2,1],[2,2,2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesRN :: Int -> Int -> [[Int]]

variacionesRN n k = variacionesR k [1..n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 31. Definir, usando variacionesR, la función

-- numeroVariacionesR :: Int -> Int -> Int

-- tal que (numeroVariacionesR n k) es el número de variaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariacionesR 3 2 == 9

-- numeroVariacionesR 2 3 == 8

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR :: Int -> Int -> Int

numeroVariacionesR n k = genericLength (variacionesRN n k)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 32. Definir, usando (^), la función

-- numeroVariacionesR' :: Int -> Int -> Int

-- tal que (numeroVariacionesR' n k) es el número de variaciones con

-- repetición de orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroVariacionesR' 3 2 == 9

-- numeroVariacionesR' 2 3 == 8

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroVariacionesR' :: Int -> Int -> Int

numeroVariacionesR' n k = n^k

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 33. Definir la función

-- prop_numeroVariacionesR :: Int -> Bool

-- tal que (prop_numeroVariacionesR n) se verifica si las funciones

-- numeroVariacionesR y numeroVariacionesR' son equivalentes para

-- los n primeros números y todo k entre 1 y n. Por ejemplo,

-- prop_numeroVariacionesR 5 == True

-- ---------------------------------------------------------------------

prop_numeroVariacionesR :: Int -> Bool

prop_numeroVariacionesR n =

and [numeroVariacionesR n k == numeroVariacionesR' n k |

k <- [1..n]]

Los ejercicios, y sus soluciones, de la primera parte se muestran a continuación.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Introducción                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es redefinir algunos ejercicios de la
-- relación anterior usando la librería de combinatoria que se instala
-- con
--    cabal install combinat

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List (permutations)
import Math.Combinat.Sets

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Subconjuntos
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función 
--    subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista
-- xs. Por ejemplo, 
--    ghci> subconjuntos [2,3,4]
--    [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]
--    ghci> subconjuntos [1,2,3,4]
--    [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],
--       [2,3,4],  [2,3],  [2,4],  [2],  [3,4],  [3],  [4], []]
-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos = sublists
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Permutaciones
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función 
--    permutaciones :: [a] -> [[a]]  
-- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la
-- lista xs. Por ejemplo,
--    permutaciones "bc"   ==  ["bc","cb"]
--    permutaciones "abc"  ==  ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
permutaciones :: [a] -> [[a]]
permutaciones = permutations


-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Combinaciones          
-- ---------------------------------------------------------------------  

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función 
--    combinaciones :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de
-- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo,
--    ghci> combinaciones 2 "bcde"
--    ["bc","bd","be","cd","ce","de"]
--    ghci> combinaciones 3 "bcde"
--    ["bcd","bce","bde","cde"]
--    ghci> combinaciones 3 "abcde"
--    ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
combinaciones :: Int -> [a] -> [[a]]
combinaciones = choose

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función
--    numeroCombinaciones :: Int -> Int -> Integer
-- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de
-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,
--    numeroCombinaciones 4 2  ==  6
--    numeroCombinaciones 4 3  ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones :: Int -> Int -> Integer
numeroCombinaciones n k = countKSublists k n

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Combinaciones con repetición
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    combinacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden
-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,
--    ghci> combinacionesR 2 "abc"
--    ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"]
--    ghci> combinacionesR 3 "bc"
--    ["bbb","bbc","bcc","ccc"]
--    ghci> combinacionesR 3 "abc"
--    ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"]
-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]
combinacionesR = combine


-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Variaciones
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función 
--    variaciones :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (variaciones n xs) es la lista de las variaciones n-arias
-- de la lista xs. Por ejemplo,
--    variaciones 2 "abc"  ==  ["ab","ba","ac","ca","bc","cb"]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
variaciones :: Int -> [a] -> [[a]]
variaciones k xs = concatMap permutations (choose k xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- § Variaciones con repetición
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden
-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,
--    ghci> variacionesR 1 "ab"
--    ["a","b"]
--    ghci> variacionesR 2 "ab"
--    ["aa","ab","ba","bb"]
--    ghci> variacionesR 3 "ab"
--    ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]
-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]
variacionesR = tuplesFromList

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es redefinir algunos ejercicios de la

-- relación anterior usando la librería de combinatoria que se instala

-- con

-- cabal install combinat

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List (permutations)

import Math.Combinat.Sets

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Subconjuntos

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- subconjuntos :: [a] -> [[a]]

-- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista

-- xs. Por ejemplo,

-- ghci> subconjuntos [2,3,4]

-- [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]]

-- ghci> subconjuntos [1,2,3,4]

-- [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1],

-- [2,3,4], [2,3], [2,4], [2], [3,4], [3], [4], []]

-- ---------------------------------------------------------------------

subconjuntos :: [a] -> [[a]]

subconjuntos = sublists

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Permutaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- permutaciones :: [a] -> [[a]]

-- tal que (permutaciones xs) es la lista de las permutaciones de la

-- lista xs. Por ejemplo,

-- permutaciones "bc" == ["bc","cb"]

-- permutaciones "abc" == ["abc","bac","bca","acb","cab","cba"]

-- ---------------------------------------------------------------------

permutaciones :: [a] -> [[a]]

permutaciones = permutations

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Combinaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- combinaciones :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (combinaciones k xs) es la lista de las combinaciones de

-- orden k de los elementos de la lista xs. Por ejemplo,

-- ghci> combinaciones 2 "bcde"

-- ["bc","bd","be","cd","ce","de"]

-- ghci> combinaciones 3 "bcde"

-- ["bcd","bce","bde","cde"]

-- ghci> combinaciones 3 "abcde"

-- ["abc","abd","abe","acd","ace","ade","bcd","bce","bde","cde"]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinaciones :: Int -> [a] -> [[a]]

combinaciones = choose

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir, usando combinacionesN, la función

-- numeroCombinaciones :: Int -> Int -> Integer

-- tal que (numeroCombinaciones n k) es el número de combinaciones de

-- orden k de un conjunto con n elementos. Por ejemplo,

-- numeroCombinaciones 4 2 == 6

-- numeroCombinaciones 4 3 == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroCombinaciones :: Int -> Int -> Integer

numeroCombinaciones n k = countKSublists k n

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Combinaciones con repetición

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- combinacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (combinacionesR k xs) es la lista de las combinaciones orden

-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,

-- ghci> combinacionesR 2 "abc"

-- ["aa","ab","ac","bb","bc","cc"]

-- ghci> combinacionesR 3 "bc"

-- ["bbb","bbc","bcc","ccc"]

-- ghci> combinacionesR 3 "abc"

-- ["aaa","aab","aac","abb","abc","acc","bbb","bbc","bcc","ccc"]

-- ---------------------------------------------------------------------

combinacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]

combinacionesR = combine

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Variaciones

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Definir la función

-- variaciones :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (variaciones n xs) es la lista de las variaciones n-arias

-- de la lista xs. Por ejemplo,

-- variaciones 2 "abc" == ["ab","ba","ac","ca","bc","cb"]

-- ---------------------------------------------------------------------

variaciones :: Int -> [a] -> [[a]]

variaciones k xs = concatMap permutations (choose k xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- § Variaciones con repetición

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (variacionesR k xs) es la lista de las variaciones de orden

-- k de los elementos de xs con repeticiones. Por ejemplo,

-- ghci> variacionesR 1 "ab"

-- ["a","b"]

-- ghci> variacionesR 2 "ab"

-- ["aa","ab","ba","bb"]

-- ghci> variacionesR 3 "ab"

-- ["aaa","aab","aba","abb","baa","bab","bba","bbb"]

-- ---------------------------------------------------------------------

variacionesR :: Int -> [a] -> [[a]]

variacionesR = tuplesFromList

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