I1M2015: Operaciones conjuntistas con listas
En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 9 sobre operaciones conjuntistas con listas.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- I1M 2015-16: Rel_9_sol.hs (31 de Octubre de 2015) -- Operaciones conjuntistas con listas. -- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A. -- Universidad de Sevilla -- ===================================================================== -- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En estas relación se definen operaciones conjuntistas sobre listas. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por comprensión, la función -- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- ys; es decir, si todos los elementos de xs pertenecen a ys. Por -- ejemplo, -- subconjunto [3,2,3] [2,5,3,5] == True -- subconjunto [3,2,3] [2,5,6,5] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto xs ys = [x | x <- xs, x `elem` ys] == xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir, por recursión, la función -- subconjuntoR :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjuntoR xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- ys; es decir, si todos los elementos de xs pertenecen a ys. Por -- ejemplo, -- subconjuntoR [3,2,3] [2,5,3,5] == True -- subconjuntoR [3,2,3] [2,5,6,5] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjuntoR :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjuntoR [] _ = True subconjuntoR (x:xs) ys = x `elem` ys && subconjuntoR xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Comprobar con QuickCheck que las definiciones -- subconjunto y subconjuntoR son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_subconjuntoR :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_subconjuntoR xs ys = subconjuntoR xs ys == subconjunto xs ys -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_subconjuntoR -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Definir, mediante all, la función -- subconjuntoA :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjuntoA xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- ys. Por ejemplo, -- subconjuntoA [1,3,2,3] [1,2,3] == True -- subconjuntoA [1,3,4,3] [1,2,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjuntoA :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjuntoA xs ys = all (`elem` ys) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.5. Comprobar con QuickCheck que las funciones subconjunto -- y subconjuntoA son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_subconjuntoA :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_subconjuntoA xs ys = subconjunto xs ys == subconjuntoA xs ys -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_subconjuntoA -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- iguales :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (iguales xs ys) se verifica si xs e ys son iguales; es decir, -- tienen los mismos elementos. Por ejemplo, -- iguales [3,2,3] [2,3] == True -- iguales [3,2,3] [2,3,2] == True -- iguales [3,2,3] [2,3,4] == False -- iguales [2,3] [4,5] == False -- --------------------------------------------------------------------- iguales :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool iguales xs ys = subconjunto xs ys && subconjunto ys xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir, por comprensión, la función -- union :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (union xs ys) es la unión de los conjuntos xs e ys. Por -- ejemplo, -- union [3,2,5] [5,7,3,4] == [3,2,5,7,4] -- --------------------------------------------------------------------- union :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] union xs ys = xs ++ [y | y <- ys, y `notElem` xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función -- unionR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (unionR xs ys) es la unión de los conjuntos xs e ys. Por -- ejemplo, -- unionR [3,2,5] [5,7,3,4] == [2,5,7,3,4] -- --------------------------------------------------------------------- unionR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] unionR [] ys = ys unionR (x:xs) ys | x `elem` ys = union xs ys | otherwise = x : union xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que union y unionR son -- equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_union :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_union xs ys = union xs ys `iguales` unionR xs ys -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_union -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En los ejercicios de comprobación de propiedades, cuando se -- trata con igualdades se usa la igualdad conjuntista (definida por la -- función iguales) en lugar de la igualdad de lista (definida por ==) -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Comprobar con QuickCheck que la unión es conmutativa. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_union_conmutativa :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_union_conmutativa xs ys = union xs ys `iguales` union ys xs -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_union_conmutativa -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, por comprensión, la función -- interseccion :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (interseccion xs ys) es la intersección de xs e ys. Por -- ejemplo, -- interseccion [3,2,5] [5,7,3,4] == [3,5] -- interseccion [3,2,5] [9,7,6,4] == [] -- --------------------------------------------------------------------- interseccion :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] interseccion xs ys = [x | x <- xs, x `elem` ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir, por recursión, la función -- interseccionR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (interseccionR xs ys) es la intersección de xs e ys. Por -- ejemplo, -- interseccionR [3,2,5] [5,7,3,4] == [3,5] -- interseccionR [3,2,5] [9,7,6,4] == [] -- --------------------------------------------------------------------- interseccionR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] interseccionR [] ys = [] interseccionR (x:xs) ys | x `elem` ys = x : interseccionR xs ys | otherwise = interseccionR xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que interseccion e -- interseccionR son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_interseccion :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_interseccion xs ys = interseccion xs ys `iguales` interseccionR xs ys -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_interseccion -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Comprobar con QuickCheck si se cumple la siguiente -- propiedad -- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C -- donde se considera la igualdad como conjuntos. En el caso de que no -- se cumpla verificar el contraejemplo calculado por QuickCheck. -- --------------------------------------------------------------------- prop_union_interseccion :: [Int] -> [Int] -> [Int] -> Bool prop_union_interseccion xs ys zs = iguales (union xs (interseccion ys zs)) (interseccion (union xs ys) zs) -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_union_interseccion -- *** Failed! Falsifiable (after 3 tests and 2 shrinks): -- [0] -- [] -- [] -- -- Por tanto, la propiedad no se cumple y un contraejemplo es -- A = [0], B = [] y C = [] -- ya que entonces, -- A ∪ (B ∩ C) = [0] ∪ ([] ∩ []) = [0] ∪ [] = [0] -- (A ∪ B) ∩ C = ([0] ∪ []) ∩ [] = [0] ∩ [] = [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. Definir, por comprensión, la función -- diferencia :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (diferencia xs ys) es la diferencia entre los conjuntos xs e -- ys; es decir, la lista de los elementos que sólo pertenecen a xs. Por -- ejemplo, -- diferencia [3,2,5,6] [5,7,3,4] == [2,6] -- diferencia [3,2,5] [5,7,3,2] == [] -- --------------------------------------------------------------------- diferencia :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferencia xs ys = [x | x <- xs, x `notElem` ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Definir, por recursión, la función -- diferenciaR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (diferenciaR xs ys) es la diferencia entre los conjuntos xs e -- ys; es decir, la lista de los elementos que sólo pertenecen a xs. Por -- ejemplo, -- diferenciaR [3,2,5,6] [5,7,3,4] == [2,6] -- diferenciaR [3,2,5] [5,7,3,2] == [] -- --------------------------------------------------------------------- diferenciaR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferenciaR [] ys = [] diferenciaR (x:xs) ys | x `elem` ys = diferenciaR xs ys | otherwise = x : diferenciaR xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.3. Comprobar con QuickCheck que diferencia y diferenciaR -- son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_diferencia :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_diferencia xs ys = diferencia xs ys `iguales` diferenciaR xs ys -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_diferencia -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Comprobar con QuickCheck si la diferencia es -- conmutativa. -- --------------------------------------------------------------------- prop_diferencia_conmutativa :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_diferencia_conmutativa xs ys = iguales (diferencia xs ys) (diferencia ys xs) -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_diferencia_conmutativa -- *** Failed! Falsifiable (after 2 tests and 2 shrinks): -- [0] -- [] -- que es un contraejemplo, ya que -- [0] - [] = [0] -- [] - [0] = [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Comprobar con QuickCheck si se cumple la siguiente -- propiedad: A \ B ⊂ A -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_diferencia_subconjunto :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_diferencia_subconjunto xs ys = subconjunto (diferencia xs ys) xs -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_diferencia_subconjunto -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Comprobar con QuickCheck si se cumple la siguiente -- propiedad: (A \ B) ∩ B = ∅. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_diferencia_interseccion :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_diferencia_interseccion xs ys = interseccion (diferencia xs ys) ys == [] -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_diferencia_interseccion -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.1. Definir, por comprensión, la función -- producto :: [a] -> [a] -> [(a,a)] -- tal que (producto xs ys) es el producto cartesiano de xs e ys. Por -- ejemplo, -- producto [1,3] [2,4] == [(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)] -- --------------------------------------------------------------------- producto :: [a] -> [a] -> [(a,a)] producto xs ys = [(x,y) | x <- xs, y <- ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.2. Definir, por recursión, la función -- productoR :: [a] -> [a] -> [(a,a)] -- tal que (productoR xs ys) es el producto cartesiano de xs e ys. Por -- ejemplo, -- productoR [1,3] [2,4] == [(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)] -- --------------------------------------------------------------------- productoR :: [a] -> [a] -> [(a,a)] productoR [] _ = [] productoR (x:xs) ys = [(x,y) | y <- ys] ++ productoR xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.3. Comprobar con QuickCheck que producto y productoR -- son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_producto :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_producto xs ys = producto xs ys `iguales` productoR xs ys -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_producto -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Comprobar con QuickCheck que el número de elementos -- de (producto xs ys) es el producto del número de elementos de xs y de -- ys. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_elementos_producto :: [Int] -> [Int] -> Bool prop_elementos_producto xs ys = length (producto xs ys) == length xs * length ys -- La comprobación es -- λ> quickCheck prop_elementos_producto -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- subconjuntos :: [a] -> [[a]] -- tal que (subconjuntos xs) es la lista de las subconjuntos de la lista -- xs. Por ejemplo, -- ghci> subconjuntos [2,3,4] -- [[2,3,4],[2,3],[2,4],[2],[3,4],[3],[4],[]] -- ghci> subconjuntos [1,2,3,4] -- [[1,2,3,4],[1,2,3],[1,2,4],[1,2],[1,3,4],[1,3],[1,4],[1], -- [2,3,4], [2,3], [2,4], [2], [3,4], [3], [4], []] -- --------------------------------------------------------------------- subconjuntos :: [a] -> [[a]] subconjuntos [] = [[]] subconjuntos (x:xs) = [x:ys | ys <- sub] ++ sub where sub = subconjuntos xs -- Cambiando la comprensión por map se obtiene subconjuntos' :: [a] -> [[a]] subconjuntos' [] = [[]] subconjuntos' (x:xs) = sub ++ map (x:) sub where sub = subconjuntos' xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Comprobar con QuickChek que el número de elementos de -- (subconjuntos xs) es 2 elevado al número de elementos de xs. -- -- Nota. Al hacer la comprobación limitar el tamaño de las pruebas como -- se indica a continuación -- quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_subconjuntos -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_subconjuntos :: [Int] -> Bool prop_subconjuntos xs = length (subconjuntos xs) == 2 ^ length xs -- La comprobación es -- λ> quickCheckWith (stdArgs {maxSize=7}) prop_subconjuntos -- +++ OK, passed 100 tests. |
El código correspondiente se encuentra en GitHub.
En la segunda parte se han comentado las soluciones a los problemas de Exercitium propuestos del 21 al 27 de octubre: