I1M2014: Ejercicios de relaciones binarias en Haskell
En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios sobre relaciones binarias de la 20ª relación.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir propiedades y -- operaciones sobre las relaciones binarias (homogéneas). -- -- Como referencia se puede usar el artículo de la wikipedia -- http://bit.ly/HVHOPS -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Una relación binaria R sobre un conjunto A puede -- representar mediante un par (xs,ps) donde xs es la lista de los -- elementos de A (el universo de R) y ps es la lista de pares de R (el -- grafo de R). Definir el tipo de dato (Rel a) para representar las -- relaciones binarias sobre a. -- --------------------------------------------------------------------- type Rel a = ([a],[(a,a)]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En los ejemplos usaremos las siguientes relaciones binarias: -- r1, r2, r3 :: Rel Int -- r1 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)]) -- r2 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)]) -- r3 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- r1, r2, r3 :: Rel Int r1 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)]) r2 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)]) r3 = ([1..9],[(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- universo :: Eq a => Rel a -> [a] -- tal que (universo r) es el universo de la relación r. Por ejemplo, -- r1 == ([1,2,3,4,5,6,7,8,9],[(1,3),(2,6),(8,9),(2,7)]) -- universo r1 == [1,2,3,4,5,6,7,8,9] -- --------------------------------------------------------------------- universo :: Eq a => Rel a -> [a] universo (us,_) = us -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- grafo :: Eq a => ([a],[(a,a)]) -> [(a,a)] -- tal que (grafo r) es el grafo de la relación r. Por ejemplo, -- r1 == ([1,2,3,4,5,6,7,8,9],[(1,3),(2,6),(8,9),(2,7)]) -- grafo r1 == [(1,3),(2,6),(8,9),(2,7)] -- --------------------------------------------------------------------- grafo :: Eq a => ([a],[(a,a)]) -> [(a,a)] grafo (_,ps) = ps -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- reflexiva :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (reflexiva r) se verifica si la relación r es reflexiva. Por -- ejemplo, -- reflexiva ([1,3],[(1,1),(1,3),(3,3)]) == True -- reflexiva ([1,2,3],[(1,1),(1,3),(3,3)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- reflexiva :: Eq a => Rel a -> Bool reflexiva (us,ps) = and [elem (x,x) ps | x <- us] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- simetrica :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (simetrica r) se verifica si la relación r es simétrica. Por -- ejemplo, -- simetrica ([1,3],[(1,1),(1,3),(3,1)]) == True -- simetrica ([1,3],[(1,1),(1,3),(3,2)]) == False -- simetrica ([1,3],[]) == True -- --------------------------------------------------------------------- simetrica :: Eq a => Rel a -> Bool simetrica (us,ps) = and [(y,x) `elem` ps | (x,y) <- ps] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- xs. Por ejemplo, -- subconjunto [1,3] [3,1,5] == True -- subconjunto [3,1,5] [1,3] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto xs ys = and [elem x ys | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- composicion :: Eq a => Rel a -> Rel a -> Rel a -- tal que (composicion r s) es la composición de las relaciones r y -- s. Por ejemplo, -- ghci> composicion ([1,2],[(1,2),(2,2)]) ([1,2],[(2,1)]) -- ([1,2],[(1,1),(2,1)]) -- --------------------------------------------------------------------- composicion :: Eq a => Rel a -> Rel a -> Rel a composicion (xs,ps) (_,qs) = (xs,[(x,z) | (x,y) <- ps, (y1,z) <- qs, y == y1]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- transitiva :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (transitiva r) se verifica si la relación r es transitiva. -- Por ejemplo, -- transitiva ([1,3,5],[(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) == True -- transitiva ([1,3,5],[(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- transitiva :: Eq a => Rel a -> Bool transitiva r@(xs,ps) = subconjunto (grafo (composicion r r)) ps -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir la función -- esEquivalencia :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (esEquivalencia r) se verifica si la relación r es de -- equivalencia. Por ejemplo, -- ghci> esEquivalencia ([1,3,5],[(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) -- True -- ghci> esEquivalencia ([1,2,3,5],[(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(5,5)]) -- False -- ghci> esEquivalencia ([1,3,5],[(1,1),(1,3),(3,3),(5,5)]) -- False -- --------------------------------------------------------------------- esEquivalencia :: Eq a => Rel a -> Bool esEquivalencia r = reflexiva r && simetrica r && transitiva r -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- irreflexiva :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (irreflexiva r) se verifica si la relación r es irreflexiva; -- es decir, si ningún elemento de su universo está relacionado con -- él mismo. Por ejemplo, -- irreflexiva ([1,2,3],[(1,2),(2,1),(2,3)]) == True -- irreflexiva ([1,2,3],[(1,2),(2,1),(3,3)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- irreflexiva :: Eq a => Rel a -> Bool irreflexiva (xs,ps) = and [(x,x) `notElem` ps | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- antisimetrica :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (antisimetrica r) se verifica si la relación r es -- antisimétrica; es decir, si (x,y) e (y,x) están relacionado, entonces -- x=y. Por ejemplo, -- antisimetrica ([1,2],[(1,2)]) == True -- antisimetrica ([1,2],[(1,2),(2,1)]) == False -- antisimetrica ([1,2],[(1,1),(2,1)]) == True -- --------------------------------------------------------------------- antisimetrica :: Eq a => Rel a -> Bool antisimetrica (_,ps) = null [(x,y) | (x,y) <- ps, x /= y, (y,x) `elem` ps] -- Otra definición es antisimetrica2 :: Eq a => Rel a -> Bool antisimetrica2 (xs,ps) = and [((x,y) `elem` ps && (y,x) `elem` ps) --> (x == y) | x <- xs, y <- xs] where p --> q = not p || q -- Las dos definiciones son equivalentes prop_antisimetrica :: Rel Int -> Bool prop_antisimetrica r = antisimetrica r == antisimetrica2 r -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_antisimetrica -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- total :: Eq a => Rel a -> Bool -- tal que (total r) se verifica si la relación r es total; es decir, si -- para cualquier par x, y de elementos del universo de r, se tiene que -- x está relacionado con y ó y etá relacionado con x. Por ejemplo, -- total ([1,3],[(1,1),(3,1),(3,3)]) == True -- total ([1,3],[(1,1),(3,1)]) == False -- total ([1,3],[(1,1),(3,3)]) == False -- --------------------------------------------------------------------- total :: Eq a => Rel a -> Bool total (xs,ps) = and [(x,y) `elem` ps || (y,x) `elem` ps | x <- xs, y <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Comprobar con QuickCheck que las relaciones totales son -- reflexivas. -- --------------------------------------------------------------------- prop_total_reflexiva :: Rel Int -> Property prop_total_reflexiva r = total r ==> reflexiva r -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_total_reflexiva -- *** Gave up! Passed only 19 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- § Clausuras -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- clausuraReflexiva :: Eq a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraReflexiva r) es la clausura reflexiva de r; es -- decir, la menor relación reflexiva que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraReflexiva ([1,3],[(1,1),(3,1)]) -- ([1,3],[(1,1),(3,1),(3,3)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraReflexiva :: Eq a => Rel a -> Rel a clausuraReflexiva (xs,ps) = (xs, ps `union` [(x,x) | x <- xs]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Comprobar con QuickCheck que clausuraReflexiva es -- reflexiva. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraReflexiva :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraReflexiva r = reflexiva (clausuraReflexiva r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraRefl -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- clausuraSimetrica :: Eq a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraSimetrica r) es la clausura simétrica de r; es -- decir, la menor relación simétrica que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraSimetrica ([1,3,5],[(1,1),(3,1),(1,5)]) -- ([1,3,5],[(1,1),(3,1),(1,5),(1,3),(5,1)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraSimetrica :: Eq a => Rel a -> Rel a clausuraSimetrica (xs,ps) = (xs, ps `union` [(y,x) | (x,y) <- ps]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Comprobar con QuickCheck que clausuraSimetrica es -- simétrica. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraSimetrica :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraSimetrica r = simetrica (clausuraSimetrica r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraSimetrica -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- clausuraTransitiva :: Eq a => Rel a -> Rel a -- tal que (clausuraTransitiva r) es la clausura transitiva de r; es -- decir, la menor relación transitiva que contiene a r. Por ejemplo, -- ghci> clausuraTransitiva ([1..6],[(1,2),(2,5),(5,6)]) -- ([1,2,3,4,5,6],[(1,2),(2,5),(5,6),(1,5),(2,6),(1,6)]) -- --------------------------------------------------------------------- clausuraTransitiva :: Eq a => Rel a -> Rel a clausuraTransitiva (xs,ps) = (xs, aux ps) where aux xs | cerradoTr xs = xs | otherwise = aux (xs `union` (comp xs xs)) cerradoTr r = subconjunto (comp r r) r comp r s = [(x,z) | (x,y) <- r, (y1,z) <- s, y == y1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Comprobar con QuickCheck que clausuraTransitiva es -- transitiva. -- --------------------------------------------------------------------- prop_ClausuraTransitiva :: Rel Int -> Bool prop_ClausuraTransitiva r = transitiva (clausuraTransitiva r) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_ClausuraTransitiva -- +++ OK, passed 100 tests. |