I1M2014: Ejercicios de definiciones por comprensión
En la clase de hoy del curso de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los restantes ejercicios de la 3ª relación sobre definiciones por comprensión.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- § Ejercicios propuestos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. [Del problema 21 del Proyecto Euler]. Sea d(n) la suma -- de los divisores propios de n. Si d(a) = b y d(b) = a, siendo a ≠ b, -- decimos que a y b son un par de números amigos. Por ejemplo, los -- divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y -- 110; por tanto, d(220) = 284. Los divisores propios de 284 son 1, 2, -- 4, 71 y 142; por tanto, d(284) = 220. Luego, 220 y 284 son dos -- números amigos. -- -- Definir la función -- amigos :: Int -> Int -> Bool -- tal que (amigos a b) se verifica si a y b son números amigos. Por -- ejemplo, -- amigos 6 6 == False -- amigos 220 248 == False -- amigos 220 284 == True -- amigos 100 200 == False -- amigos 1184 1210 == True -- --------------------------------------------------------------------- amigos :: Int -> Int -> Bool amigos a b = a /= b && sumaDivisores a == b && sumaDivisores b == a where sumaDivisores n = sum [x | x <- [1..n-1], n `rem` x == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. (Problema 211 del proyecto Euler) Dado un entero -- positivo n, consideremos la suma de los cuadrados de sus divisores, -- Por ejemplo, -- f(10) = 1 + 4 + 25 + 100 = 130 -- f(42) = 1 + 4 + 9 + 36 + 49 + 196 + 441 + 1764 = 2500 -- Decimos que n es especial si f(n) es un cuadrado perfecto. En los -- ejemplos anteriores, 42 es especial y 10 no lo es. -- -- Definir la función -- especial:: Int -> Bool -- tal que (especial x) se verifica si x es un número es especial. Por -- ejemplo, -- especial 42 == True -- especial 10 == False -- Calcular todos los números especiales de tres cifras. -- --------------------------------------------------------------------- especial:: Int -> Bool especial n = esCuadrado (sum [x^2 | x <- divisores n]) -- (esCuadrado n) se verifica si n es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, -- esCuadrado 36 == True -- esCuadrado 40 == False esCuadrado :: Int -> Bool esCuadrado n = y^2 == n where y = floor (sqrt (fromIntegral n)) -- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo, -- divisores 36 == [1,2,3,4,6,9,12,18,36] divisores :: Int -> [Int] divisores n = [x | x <- [1..n], rem n x == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. La multiplicidad de x en y es la mayor potencia de x -- que divide a y. Por ejemplo, la multiplicidad de 2 en 40 es 3 porque -- 40 es divisible por 2^3 y no lo es por 2^4. Además, la multiplicidad -- de 1 en cualquier número se supone igual a 1. -- -- Definir la función -- multiplicidad :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (multiplicidad x y) es la -- multiplicidad de x en y. Por ejemplo, -- multiplicidad 2 40 == 3 -- multiplicidad 5 40 == 1 -- multiplicidad 3 40 == 0 -- multiplicidad 1 40 == 1 -- --------------------------------------------------------------------- multiplicidad :: Integer -> Integer -> Integer multiplicidad 1 _ = 1 multiplicidad x y = head [n | n <- [0..], y `rem` (x^(n+1)) /= 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.1. Sea t una lista de pares de la forma -- (nombre, [(asig_1, nota_1),...,(asig_k, nota.k)]) -- Por ejemplo, -- t1 = [("Ana",[("Alg",1),("Cal",3),("Inf",8),("Fis",2)]), -- ("Juan",[("Alg",5),("Cal",1),("Inf",2),("Fis",9)]), -- ("Alba",[("Alg",5),("Cal",6),("Inf",6),("Fis",5)]), -- ("Pedro",[("Alg",9),("Cal",5),("Inf",3),("Fis",1)])] -- Definir la función -- calificaciones :: [(String,[(String,Int)])] -> String -> [(String,Int)] -- tal que (calificaciones t p) es la lista de las calificaciones de la -- persona p en la lista t. Por ejemplo, -- ghci> calificaciones t1 "Pedro" -- [("Alg",9),("Cal",5),("Inf",3),("Fis",1)] -- --------------------------------------------------------------------- t1 :: [(String,[(String,Int)])] t1 = [("Ana",[("Alg",1),("Cal",3),("Inf",8),("Fis",2)]), ("Juan",[("Alg",5),("Cal",1),("Inf",2),("Fis",9)]), ("Alba",[("Alg",5),("Cal",6),("Inf",6),("Fis",5)]), ("Pedro",[("Alg",9),("Cal",5),("Inf",3),("Fis",1)])] calificaciones :: [(String,[(String,Int)])] -> String -> [(String,Int)] calificaciones t p = head [xs | (x,xs) <- t, x == p] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.2. Definir la función -- todasAprobadas :: [(String,[(String,Int)])] -> String -> Bool -- tal que (todasAprobadas t p) se cumple si en la lista t, p tiene -- todas las asignaturas aprobadas. Por ejemplo, -- todasAprobadas t1 "Alba" == True -- todasAprobadas t1 "Pedro" == False -- --------------------------------------------------------------------- todasAprobadas :: [(String,[(String,Int)])] -> String -> Bool todasAprobadas t p = and [n >= 5 | (_,n) <- calificaciones t p] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.3. Definir la función -- aprobados :: [(String,[(String,Int)])] -> [String] -- tal que (aprobados t) es la lista de los alumnos de la lista de notas -- t que han aprobado todas las asignaturas.Por ejemplo, -- ghci> aprobados t1 == ["Alba"] -- --------------------------------------------------------------------- aprobados :: [(String,[(String,Int)])] -> [String] aprobados t = [p | (p,_) <- t, todasAprobadas t p] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Un número n es de Angelini si n y 2n tienen algún -- dígito común. Por ejemplo, 2014 es un número de Angelini ya que 2014 -- y su doble (4028) comparten los dígitos 4 y 0. -- -- Definir la función -- angelini :: Integer -> Bool -- tal que (angelini n) se verifica si n es un número de Angelini. Por -- ejemplo, -- angelini 2014 == True -- angelini 2067 == False -- --------------------------------------------------------------------- angelini :: Integer -> Bool angelini n = not (null [x | x <- show n, x `elem` show (2*n)]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18.1. Definir la función -- unitarios :: Integer -> [Integer] -- tal (unitarios n) es la lista de números [n,nn, nnn, ....]. Por -- ejemplo. -- take 7 (unitarios 3) == [3,33,333,3333,33333,333333,3333333] -- take 3 (unitarios 1) == [1,11,111] -- --------------------------------------------------------------------- unitarios :: Integer -> [Integer] unitarios x = [x*(div (10^n-1) 9) | n <- [1 ..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18.2. Definir la función -- multiplosUnitarios :: Integer -> Integer -> Int -> [Integer] -- tal que (multiplosUnitarios x y n) es la lista de los n primeros -- múltiplos de x cuyo único dígito es y. Por ejemplo, -- multiplosUnitarios 7 1 2 == [111111,111111111111] -- multiplosUnitarios 11 3 5 == [33,3333,333333,33333333,3333333333] -- --------------------------------------------------------------------- multiplosUnitarios :: Integer -> Integer -> Int -> [Integer] multiplosUnitarios x y n = take n [z | z <- unitarios y, mod z x == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- masOcurrentes :: Eq a => [a] -> [a] -- tal que (masOcurrentes xs) es la lista de los elementos de xs que -- ocurren el máximo número de veces. Por ejemplo, -- masOcurrentes [1,2,3,4,3,2,3,1,4] == [3,3,3] -- masOcurrentes [1,2,3,4,5,2,3,1,4] == [1,2,3,4,2,3,1,4] -- masOcurrentes "Salamanca" == "aaaa" -- --------------------------------------------------------------------- masOcurrentes :: Eq a => [a] -> [a] masOcurrentes xs = [x | x <- xs, ocurrencias x xs == m] where m = maximum [ocurrencias x xs | x <-xs] -- (ocurrencias x xs) es el número de ocurrencias de x en xs. Por -- ejemplo, -- ocurrencias 1 [1,2,3,4,3,2,3,1,4] == 2 ocurrencias x xs = length [x' | x' <- xs, x == x'] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. La suma de la serie -- 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... -- es pi^2/6. Por tanto, pi se puede aproximar mediante la raíz cuadrada -- de 6 por la suma de la serie. -- -- Definir la función aproximaPi tal que (aproximaPi n) es la aproximación -- de pi obtenida mediante n términos de la serie. Por ejemplo, -- aproximaPi 4 == 2.9226129861250305 -- aproximaPi 1000 == 3.1406380562059946 -- --------------------------------------------------------------------- aproximaPi n = sqrt (6 * sum [1/x^2 | x <- [1..n]]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Una representación de 20 en base 2 es [0,0,1,0,1] pues -- 20 = 1*2^2 + 1*2^4. Y una representación de 46 en base 3 es [1,0,2,1] -- pues 46 = 1*3^0 + 0*3^1 + 2*3^2 + 1*3^3. -- -- Definir la función -- deBaseABase10 :: Int -> [Int] -> Int -- tal que (deBaseABase10 b xs) es el número n tal que su representación -- en base b es xs. Por ejemplo, -- deBaseABase10 2 [0,0,1,0,1] == 20 -- deBaseABase10 2 [1,1,0,1] == 11 -- deBaseABase10 3 [1,0,2,1] == 46 -- deBaseABase10 5 [0,2,1,3,1,4,1] == 29160 -- --------------------------------------------------------------------- deBaseABase10 :: Int -> [Int] -> Int deBaseABase10 b xs = sum [y*b^n | (y,n) <- zip xs [0..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22.1. Definir la función -- conPos :: [a] -> [(a,Int)] -- tal que (conPos xs) es la lista obtenida a partir de xs especificando -- las posiciones de sus elementos. Por ejemplo, -- conPos [1,5,0,7] == [(1,0),(5,1),(0,2),(7,3)] -- --------------------------------------------------------------------- conPos :: [a] -> [(a,Int)] conPos xs = zip xs [0..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22.2. Definir la -- pares :: [a] -> [a] -- tal que (pares cs) es la cadena formada por los caracteres en -- posición par de cs. Por ejemplo, -- pares "el cielo sobre berlin" == "e il or eln" -- --------------------------------------------------------------------- pares :: [a] -> [a] pares cs = [c | (c,n) <- conPos cs, even n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Dos listas xs, ys de la misma longitud son -- perpendiculares si el producto escalar de ambas es 0, donde el -- producto escalar de dos listas de enteros xs e ys viene -- dado por la suma de los productos de los elementos correspondientes. -- -- Definir la función -- perpendiculares :: (Num a, Eq a) => [a] -> [[a]] -> [[a]] -- tal que (perpendiculares xs yss) es la lista de los elementos de yss -- que son perpendiculares a xs. Por ejemplo, -- ghci> perpendiculares [1,0,1] [[0,1,0], [2,3,1], [-1,7,1],[3,1,0]] -- [[0,1,0],[-1,7,1]] -- --------------------------------------------------------------------- perpendiculares :: (Num a, Eq a) => [a] -> [[a]] -> [[a]] perpendiculares xs yss = [ys | ys <- yss, productoEscalar xs ys == 0] productoEscalar :: Num a => [a] -> [a] -> a productoEscalar xs ys = sum [x*y | (x,y) <- zip xs ys] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Dada una lista de números enteros, definiremos el -- mayor salto como el mayor valor de las diferencias (en valor -- absoluto) entre números consecutivos de la lista. Por ejemplo, dada -- la lista [2,5,-3] las distancias son -- 3 (valor absoluto de la resta 2 - 5) y -- 8 (valor absoluto de la resta de 5 y (-3)) -- Por tanto, su mayor salto es 8. No está definido el mayor salto para -- listas con menos de 2 elementos -- -- Definir la función -- mayorSalto :: [Integer] -> Integer -- tal que (mayorSalto xs) es el mayor salto de la lista xs. Por -- ejemplo, -- mayorSalto [1,5] == 4 -- mayorSalto [10,-10,1,4,20,-2] == 22 -- --------------------------------------------------------------------- mayorSalto :: [Integer] -> Integer mayorSalto xs = maximum [abs (x-y) | (x,y) <- zip xs (tail xs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir la función -- longCamino :: [(Float,Float)] -> Float -- tal que (longCamino xs) es la longitud del camino determinado por los -- puntos del plano listados en xs. Por ejemplo, -- longCamino [(0,0),(1,0),(2,1),(2,0)] == 3.4142137 -- --------------------------------------------------------------------- longCamino :: [(Float,Float)] -> Float longCamino xs = sum [sqrt ((a-c)^2+(b-d)^2)| ((a,b),(c,d)) <- zip xs (tail xs)] longCamino2 xs = sum [sqrt ((a-c)^2+(b-d)^2)| ((a,b),(c,d)) <- zip xs (tail xs)] longCamino3 :: [(Double,Double)] -> Double longCamino3 xs = sum [sqrt ((a-c)^2+(b-d)^2)| ((a,b),(c,d)) <- zip xs (tail xs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 26. Definir la función -- numerosConsecutivos :: (Num a, Eq a) => [a] -> Int -- tal que (numeroConsecutivosC xs) es la cantidad de números -- consecutivos (es decir, números que son iguales a su predecesor en la -- lista más uno) que aparecen en la lista xs. Por ejemplo, -- numerosConsecutivos [] == 0 -- numerosConsecutivos [5,6,9] == 1 -- numerosConsecutivos [5,6,9,2,3,4] == 3 -- --------------------------------------------------------------------- numerosConsecutivos :: (Num a, Eq a) => [a] -> Int numerosConsecutivos xs = length [x | (x,y) <- zip xs (tail xs), y == x+1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 27. Definir la función -- sumaEquidistantes :: Num a => [a] -> [a] -- tal que (sumaEquidistantes xs) es la lista sumando el primer elemento -- de xs con el último, el segundo con el penúltimo y así -- sucesivamente. Por ejemplo, -- sumaEquidistantes [6,5,3,1] == [7,8] -- sumaEquidistantes [6,5,3] == [9,10] -- sumaEquidistantes [3,2,3,2] == [5,5] -- sumaEquidistantes [6,5,3,1,2,0,4,7,8,9] == [15,13,10,5,2] -- --------------------------------------------------------------------- sumaEquidistantes :: Num a => [a] -> [a] sumaEquidistantes xs = take n [x+y | (x,y) <- zip xs (reverse xs)] where m = length xs n | even m = m `div` 2 | otherwise = 1 + (m `div` 2) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 28. La distancia entre dos números es el valor absoluto de -- su diferencia. Por ejemplo, la distancia entre 2 y 5 es 3. -- -- Definir la función -- cercanos :: [Int] -> [Int] -> [(Int,Int)] -- tal que (cercanos xs ys) es la lista de pares de elementos de xs e ys -- cuya distancia es mínima. Por ejemplo, -- cercanos [3,7,2,1] [5,11,9] == [(3,5),(7,5),(7,9)] -- --------------------------------------------------------------------- cercanos :: [Int] -> [Int] -> [(Int,Int)] cercanos xs ys = [(x,y) | (x,y) <- pares, abs (x-y) == m] where pares = [(x,y) | x <- xs, y <- ys] m = minimum [abs (x-y) | (x,y) <- pares] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 29. [De la IMO 1996]. Una sucesión [a(0),a(1),...,a(n)] -- se denomina cuadrática si para cada i ∈ {1, 2,..., n} se cumple que -- |a(i) − a(i−1)| = i^2 . -- -- Definir la función -- esCuadratica :: [Int] -> Bool -- tal que (esCuadratica xs) se verifica si xs cuadrática. Por ejemplo, -- esCuadratica [2,1,-3,6] == True -- esCuadratica [2,1,3,5] == False -- esCuadratica [3,4,8,17,33,58,94,45,-19,-100] == True -- --------------------------------------------------------------------- esCuadratica :: [Int] -> Bool esCuadratica xs = and [abs (y-x) == i^2 | ((x,y),i) <- zip (adyacentes xs) [1..]] adyacentes xs = zip xs (tail xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 30.1. Definir las funciones -- ultima, primera :: Int -> Int -- tales que -- * (ultima n) es la última cifra del número natural n y -- * (primera n) es la primera cifra del número natural n. -- Por ejemplo, -- ultima 711 = 1 -- primera 711 = 7 -- --------------------------------------------------------------------- ultima, primera :: Int -> Int ultima n = n `rem` 10 primera n = read [head (show n)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 30.2. Definir la función -- encadenadoC :: [Int] -> Bool -- tal que (encadenadoC xs) se verifica si xs es una lista de enteros -- positivos encadenados (es decir, la última cifra de cada número -- coincide con la primera del siguiente en la lista). Por ejemplo, -- encadenadoC [711,1024,413,367] == True -- encadenadoC [711,1024,213,367] == False -- --------------------------------------------------------------------- encadenadoC :: [Int] -> Bool encadenadoC xs = and [ultima x == primera y | (x,y) <- zip xs (tail xs)] |