I1M2013: Examen de la 1ª convocatoria
Hoy se ha realizado el examen de la 1ª convocatoria del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas). A continuación se muestran los ejercicios y sus soluciones.
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-- Informática: Examen de la 1ª convocatoria (4 de julio de 2014) -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- § Librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Data.Array -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. [2 puntos] Una lista de longitud n > 0 es completa si el -- valor absoluto de las diferencias de sus elementos consecutivos toma -- todos los valores entre 1 y n-1 (sólo una vez). Por ejemplo, -- [4,1,2,4] es completa porque los valores absolutos de las diferencias -- de sus elementos consecutivos es [3,1,2]. -- -- Definir la función -- esCompleta :: [Int] -> Bool -- tal que (esCompleta xs) se verifica si xs es completa. Por ejemplo, -- esCompleta [4,1,2,4] == True -- esCompleta [6] == True -- esCompleta [6,7] == True -- esCompleta [6,8] == False -- esCompleta [6,7,9] == True -- esCompleta [8,7,5] == True -- --------------------------------------------------------------------- esCompleta :: [Int] -> Bool esCompleta xs = sort [abs (x-y) | (x,y) <- zip xs (tail xs)] == [1..length xs - 1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- unionG :: Ord a => [[a]] -> [a] -- tal que (unionG xss) es la unión de xss cuyos elementos son listas -- estrictamente crecientes (posiblemente infinitas). Por ejemplo, -- ghci> take 10 (unionG [[2,4..],[3,6..],[5,10..]]) -- [2,3,4,5,6,8,9,10,12,14] -- ghci> take 10 (unionG [[2,5..],[3,8..],[4,10..],[16..]]) -- [2,3,4,5,8,10,11,13,14,16] -- ghci> unionG [[3,8],[4,10],[2,5],[16]] -- [2,3,4,5,8,10,16] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición (por recursión) -- ============================= unionG1 :: Ord a => [[a]] -> [a] unionG1 [] = [] unionG1 [xs] = xs unionG1 (xs:ys:zss) = xs `unionB` unionG1 (ys:zss) unionB :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] unionB [] ys = ys unionB xs [] = xs unionB (x:xs) (y:ys) | x < y = x : unionB xs (y:ys) | x > y = y : unionB (x:xs) ys | otherwise = x : unionB xs ys -- 2ª definición (por plegado) -- =========================== unionG2 :: Ord a => [[a]] -> [a] unionG2 = foldr unionB [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. [2 puntos] Definir la función -- noEsSuma :: [Integer] -> Integer -- tal que (noEsSuma xs) es el menor entero positivo que no se puede -- expresar como suma de elementos de la lista creciente de números -- positivos xs (ningún elemento se puede usar más de una vez). Por -- ejemplo, -- noEsSuma [1,2,3,8] == 7 -- noEsSuma (1:[2,4..10]) == 32 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución -- =========== noEsSuma1 :: [Integer] -> Integer noEsSuma1 xs = head [n | n <- [1..], n `notElem` sumas1 xs] -- (sumas1 xs) es la lista de las sumas con los elementos de xs, donde -- cada elemento se puede sumar como máximo una vez. Por ejemplo, -- sumas1 [3,8] == [11,3,8,0] -- sumas1 [3,8,17] == [28,11,20,3,25,8,17,0] -- sumas1 [1,2,3,8] == [14,6,11,3,12,4,9,1,13,5,10,2,11,3,8,0] sumas1 :: [Integer] -> [Integer] sumas1 [] = [0] sumas1 (x:xs) = [x+y | y <- ys] ++ ys where ys = sumas1 xs -- 2ª solución -- =========== noEsSuma2 :: [Integer] -> Integer noEsSuma2 xs = head [n | n <- [1..], not (esSuma n xs)] esSuma :: Integer -> [Integer] -> Bool esSuma n [] = n == 0 esSuma n (x:xs) | n < x = False | n == x = True | otherwise = esSuma (n-x) xs || esSuma n xs -- 3ª solución -- =========== noEsSuma3 :: [Integer] -> Integer noEsSuma3 xs = aux xs 0 where aux [] n = n+1 aux (x:xs) n | x <= n+1 = aux xs (n+x) | otherwise = n+1 -- Comparaciones de eficiencia -- =========================== -- Las comparaciones son -- ghci> noEsSuma1 ([1..10]++[12..20]) -- 200 -- (8.28 secs, 946961604 bytes) -- ghci> noEsSuma2 ([1..10]++[12..20]) -- 200 -- (2.52 secs, 204156056 bytes) -- ghci> noEsSuma3 ([1..10]++[12..20]) -- 200 -- (0.01 secs, 520348 bytes) -- -- ghci> noEsSuma2 (1:[2,4..30]) -- 242 -- (4.97 secs, 399205788 bytes) -- ghci> noEsSuma3 (1:[2,4..30]) -- 242 -- (0.01 secs, 514340 bytes) -- -- ghci> noEsSuma3 (1:[2,4..2014]) -- 1015058 -- (0.01 secs, 1063600 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. [2 puntos] Los divisores medios de un número son los que -- ocupan la posición media entre los divisores de n, ordenados de menor -- a mayor. Por ejemplo, los divisores de 60 son -- [1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60] y sus divisores medios son 6 y 10. -- -- El árbol de factorización de un número compuesto n se construye de la -- siguiente manera: -- * la raíz es el número n, -- * la rama izquierda es el árbol de factorización de su divisor -- medio menor y -- * la rama derecha es el árbol de factorización de su divisor -- medio mayor -- Si el número es primo, su árbol de factorización sólo tiene una hoja -- con dicho número. Por ejemplo, el árbol de factorización de 60 es -- 60 -- / \ -- 6 10 -- / \ / \ -- 2 3 2 5 -- -- Los árboles se representarán por -- data Arbol = H Int -- | N Int Arbol Arbol -- deriving Show -- -- Definir la función -- arbolFactorizacion :: Int -> Arbol -- tal que (arbolFactorizacion n) es el árbol de factorización de n. Por -- ejemplo, -- ghci> arbolFactorizacion 60 -- N 60 (N 6 (H 2) (H 3)) (N 10 (H 2) (H 5)) -- ghci> arbolFactorizacion 45 -- N 45 (H 5) (N 9 (H 3) (H 3)) -- ghci> arbolFactorizacion 7 -- H 7 -- ghci> arbolFactorizacion 14 -- N 14 (H 2) (H 7) -- ghci> arbolFactorizacion 28 -- N 28 (N 4 (H 2) (H 2)) (H 7) -- ghci> arbolFactorizacion 84 -- N 84 (H 7) (N 12 (H 3) (N 4 (H 2) (H 2))) -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol = H Int | N Int Arbol Arbol deriving Show -- 1ª definición -- ============= arbolFactorizacion :: Int -> Arbol arbolFactorizacion n | esPrimo n = H n | otherwise = N n (arbolFactorizacion x) (arbolFactorizacion y) where (x,y) = divisoresMedio n -- (esPrimo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- esPrimo 7 == True -- esPrimo 9 == False esPrimo :: Int -> Bool esPrimo n = divisores n == [1,n] -- (divisoresMedio n) es el par formado por los divisores medios de -- n. Por ejemplo, -- divisoresMedio 30 == (5,6) -- divisoresMedio 7 == (1,7) divisoresMedio :: Int -> (Int,Int) divisoresMedio n = (n `div` x,x) where xs = divisores n x = xs !! (length xs `div` 2) -- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo, -- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30] divisores :: Int -> [Int] divisores n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0] -- 2ª definición -- ============= arbolFactorizacion2 :: Int -> Arbol arbolFactorizacion2 n | x == 1 = H n | otherwise = N n (arbolFactorizacion x) (arbolFactorizacion y) where (x,y) = divisoresMedio n -- (divisoresMedio2 n) es el par formado por los divisores medios de -- n. Por ejemplo, -- divisoresMedio2 30 == (5,6) -- divisoresMedio2 7 == (1,7) divisoresMedio2 :: Int -> (Int,Int) divisoresMedio2 n = (n `div` x,x) where m = ceiling (sqrt (fromIntegral n)) x = head [y | y <- [m..n], n `rem` y == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. [2 puntos] El triángulo de Pascal es un triángulo de -- números -- 1 -- 1 1 -- 1 2 1 -- 1 3 3 1 -- 1 4 6 4 1 -- 1 5 10 10 5 1 -- ............... -- construido de la siguiente forma -- * la primera fila está formada por el número 1; -- * las filas siguientes se construyen sumando los números adyacentes -- de la fila superior y añadiendo un 1 al principio y al final de la -- fila. -- -- La matriz de Pascal es la matriz cuyas filas son los elementos de la -- correspondiente fila del triángulo de Pascal completadas con -- ceros. Por ejemplo, la matriz de Pascal de orden 6 es -- |1 0 0 0 0 0| -- |1 1 0 0 0 0| -- |1 2 1 0 0 0| -- |1 3 3 1 0 0| -- |1 4 6 4 1 0| -- |1 5 10 10 5 1| -- -- Las matrices se definen mediante el tipo -- type Matriz = Array (Int,Int) Int -- -- Definir la función -- matrizPascal :: Int -> Matriz -- tal que (matrizPascal n) es la matriz de Pascal de orden n. Por -- ejemplo, -- ghci> matrizPascal 5 -- array ((1,1),(5,5)) -- [((1,1),1),((1,2),0),((1,3),0),((1,4),0),((1,5),0), -- ((2,1),1),((2,2),1),((2,3),0),((2,4),0),((2,5),0), -- ((3,1),1),((3,2),2),((3,3),1),((3,4),0),((3,5),0), -- ((4,1),1),((4,2),3),((4,3),3),((4,4),1),((4,5),0), -- ((5,1),1),((5,2),4),((5,3),6),((5,4),4),((5,5),1)] -- --------------------------------------------------------------------- type Matriz = Array (Int,Int) Int -- 1ª solución -- =========== matrizPascal1 :: Int -> Matriz matrizPascal1 1 = array ((1,1),(1,1)) [((1,1),1)] matrizPascal1 n = array ((1,1),(n,n)) [((i,j), f i j) | i <- [1..n], j <- [1..n]] where f i j | i < n && j < n = p!(i,j) | i < n && j == n = 0 | j == 1 || j == n = 1 | otherwise = p!(i-1,j-1) + p!(i-1,j) p = matrizPascal2 (n-1) -- 2ª solución -- =========== matrizPascal2 :: Int -> Matriz matrizPascal2 n = listArray ((1,1),(n,n)) (concat xss) where yss = take n pascal xss = map (take n) (map (++ (repeat 0)) yss) pascal :: [[Int]] pascal = [1] : map f pascal where f xs = zipWith (+) (0:xs) (xs++[0]) -- 2ª solución -- =========== matrizPascal3 :: Int -> Matriz matrizPascal3 n = array ((1,1),(n,n)) [((i,j), f i j) | i <- [1..n], j <- [1..n]] where f i j | i >= j = comb (i-1) (j-1) | otherwise = 0 -- (comb n k) es el número de combinaciones (o coeficiente binomial) de -- n sobre k. Por ejemplo, comb :: Int -> Int -> Int comb n k = product [n,n-1..n-k+1] `div` product [1..k] |