I1M2013: Ejercicios de definiciones por recursión y comprensión (2)
En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se han comentado las soluciones de los ejercicios 6 a 17 de la 10ª relación y los de la 11ª. En ambas relaciones se proponen ejercicios con dos definiciones (una por recursión y otra por comprensión) y la comprobación de la equivalencia de las dos definiciones con QuickCheck.
Los ejercicios 6 a 17 de la relación 10 y soluciones se muestran a continuación
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- esDigito :: Integer -> Integer -> Bool -- tal que (esDigito x n) se verifica si x es un dígito de n. Por -- ejemplo, -- esDigito 4 1041 == True -- esDigito 3 1041 == False -- --------------------------------------------------------------------- esDigito :: Integer -> Integer -> Bool esDigito x n = x `elem` digitosC n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- numeroDeDigitos :: Integer -> Integer -- tal que (numeroDeDigitos x) es el número de dígitos de x. Por ejemplo, -- numeroDeDigitos 34047 == 5 -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición: numeroDeDigitos :: Integer -> Int numeroDeDigitos x = length (digitosC x) -- 2ª definición: numeroDeDigitos2 :: Integer -> Int numeroDeDigitos2 x = length (show x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Definir, por recursión, la función -- listaNumeroR :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumeroR xs) es el número formado por los dígitos xs. Por -- ejemplo, -- listaNumeroR [5] == 5 -- listaNumeroR [1,3,4,7] == 1347 -- listaNumeroR [0,0,1] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- listaNumeroR :: [Integer] -> Integer listaNumeroR xs = listaNumeroR' (reverse xs) listaNumeroR' :: [Integer] -> Integer listaNumeroR' [x] = x listaNumeroR' (x:xs) = x + 10 * (listaNumeroR' xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Definir, por comprensión, la función -- listaNumeroC :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumeroC xs) es el número formado por los dígitos xs. Por -- ejemplo, -- listaNumeroC [5] == 5 -- listaNumeroC [1,3,4,7] == 1347 -- listaNumeroC [0,0,1] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- listaNumeroC :: [Integer] -> Integer listaNumeroC xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. Definir, por recursión, la función -- pegaNumerosR :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (pegaNumerosR x y) es el número resultante de "pegar" los -- números x e y. Por ejemplo, -- pegaNumerosR 12 987 == 12987 -- pegaNumerosR 1204 7 == 12047 -- pegaNumerosR 100 100 == 100100 -- --------------------------------------------------------------------- pegaNumerosR :: Integer -> Integer -> Integer pegaNumerosR x y | y < 10 = 10*x+y | otherwise = 10 * pegaNumerosR x (y `div` 10) + (y `mod` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Definir, sin usar recursión, la función -- pegaNumerosNR :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (pegaNumerosNR x y) es el número resultante de "pegar" los -- números x e y. Por ejemplo, -- pegaNumerosNR 12 987 == 12987 -- pegaNumerosNR 1204 7 == 12047 -- pegaNumerosNR 100 100 == 100100 -- --------------------------------------------------------------------- pegaNumerosNR :: Integer -> Integer -> Integer pegaNumerosNR x y = listaNumeroC (digitosC x ++ digitosC y) -- Otra definición es pegaNumerosNR2 :: Integer -> Integer -> Integer pegaNumerosNR2 x y = (x * (10^(numeroDeDigitos y))) + y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- pegaNumerosR y pegaNumerosNR son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_pegaNumeros :: Integer -> Integer -> Property prop_pegaNumeros x y = x >= 0 && y >= 0 ==> pegaNumerosR x y == pegaNumerosNR x y -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_pegaNumeros -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.1. Definir, por recursión, la función -- primerDigitoR :: Integer -> Integer -- tal que (primerDigitoR n) es el primer dígito de n. Por ejemplo, -- primerDigitoR 425 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- primerDigitoR :: Integer -> Integer primerDigitoR n | n < 10 = n | otherwise = primerDigitoR (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.2. Definir, sin usar recursión, la función -- primerDigitoNR :: Integer -> Integer -- tal que (primerDigitoNR n) es la primera digito de n. Por ejemplo, -- primerDigitoNR 425 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- primerDigitoNR :: Integer -> Integer primerDigitoNR n = head (digitosC n) -- Otra definició equivalente es primerDigitoNR2 :: Integer -> Integer primerDigitoNR2 n = n `div` 10^((numeroDeDigitos n)-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- primerDigitoR y primerDigitoNR son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_primerDigito :: Integer -> Property prop_primerDigito x = x >= 0 ==> primerDigitoR x == primerDigitoNR x -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_primerDigito -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- ultimoDigito :: Integer -> Integer -- tal que (ultimoDigito n) es el último dígito de n. Por ejemplo, -- ultimoDigito 425 == 5 -- --------------------------------------------------------------------- ultimoDigito :: Integer -> Integer ultimoDigito n = n `rem` 10 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.1. Definir la función -- inverso :: Integer -> Integer -- tal que (inverso n) es el número obtenido escribiendo los dígitos de n -- en orden inverso. Por ejemplo, -- inverso 42578 == 87524 -- inverso 203 == 302 -- --------------------------------------------------------------------- inverso :: Integer -> Integer inverso n = listaNumeroC (reverse (digitosC n)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.2. Definir, usando show y read, la función -- inverso' :: Integer -> Integer -- tal que (inverso' n) es el número obtenido escribiendo los dígitos de n -- en orden inverso'. Por ejemplo, -- inverso' 42578 == 87524 -- inverso' 203 == 302 -- --------------------------------------------------------------------- inverso' :: Integer -> Integer inverso' n = read (reverse (show n)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- inverso e inverso' son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_inverso :: Integer -> Property prop_inverso n = n >= 0 ==> inverso n == inverso' n -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_inverso -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- capicua :: Integer -> Bool -- tal que (capicua n) se verifica si los dígitos que n son las mismos -- de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Por ejemplo, -- capicua 1234 = False -- capicua 1221 = True -- capicua 4 = True -- --------------------------------------------------------------------- capicua :: Integer -> Bool capicua n = n == inverso n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. (Problema 16 del proyecto Euler) El problema se -- encuentra en http://goo.gl/4uWh y consiste en calcular la suma de los -- dígitos de 2^1000. Lo resolveremos mediante los distintos apartados de -- este ejercicio. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.1. Definir la función -- euler16 :: Integer -> Integer -- tal que (euler16 n) es la suma de los dígitos de 2^n. Por ejemplo, -- euler16 4 == 7 -- --------------------------------------------------------------------- euler16 :: Integer -> Integer euler16 n = sumaDigitosNR (2^n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.2. Calcular la suma de los dígitos de 2^1000. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- *Main> euler16 1000 -- 1366 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15.1. En el enunciado de uno de los problemas de las -- Olimpiadas matemáticas de Brasil se define el primitivo de un número -- como sigue: -- Dado un número natural N, multiplicamos todos sus dígitos, -- repetimos este procedimiento hasta que quede un solo dígito al -- cual llamamos primitivo de N. Por ejemplo para 327: 3x2x7 = 42 y -- 4x2 = 8. Por lo tanto, el primitivo de 327 es 8. -- -- Definir la función -- primitivo :: Integer -> Integer -- tal que (primitivo n) es el primitivo de n. Por ejemplo. -- primitivo 327 == 8 -- --------------------------------------------------------------------- primitivo :: Integer -> Integer primitivo n | n < 10 = n | otherwise = primitivo (producto n) -- (producto n) es el producto de las cifras de n. Por ejemplo, -- producto 327 == 42 producto :: Integer -> Integer producto n = product (digitosC n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15.2. Comprobar con QuickCheck si el primitivo de cualquier -- número natural n coincide con el se su inverso. En caso de que falle, -- añadir las mínimas condiciones para que se verifique. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_primitivo1 :: Integer -> Property prop_primitivo1 n = n >= 0 ==> primitivo n == primitivo (inverso n) -- La comprobación falla -- ghci> quickCheck prop_primitivo1 -- *** Failed! Falsifiable (after 19 tests): -- 10 -- En efecto, -- ghci> primitivo 10 -- 0 -- ghci> inverso 10 -- 1 -- ghci> primitivo 1 -- 1 -- Le añadimos la condición de que la última cifra se distinta de 0. prop_primitivo2 :: Integer -> Property prop_primitivo2 n = n >= 0 && n `rem` 10 /= 0 ==> primitivo n == primitivo (inverso n) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_primitivo2 -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.1. Dos números son equivalentes si la media de sus -- dígitos son iguales. Por ejemplo, 3205 y 41 son equivalentes ya que -- (3+2+0+5)/4 = (4+1)/2. Definir la función -- equivalentes :: Integer -> Integer -> Bool -- tal que (equivalentes x y) se verifica si los números x e y son -- equivalentes. Por ejemplo, -- equivalentes 3205 41 == True -- equivalentes 3205 25 == False -- --------------------------------------------------------------------- equivalentes :: Integer -> Integer -> Bool equivalentes x y = media (digitosC x) == media (digitosC y) -- (media xs) es la media de la lista xs. Por ejemplo, -- media [3,2,0,5] == 2.5 media :: [Integer] -> Float media xs = (fromIntegral (sum xs)) / (fromIntegral (length xs)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.2. Comprobar con QuickCheck que equivalentes cumple la -- propiedad reflexiva. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_equivalentesR :: Integer -> Property prop_equivalentesR x = x >= 0 ==> equivalentes x x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_equivalentesR -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.3. Comprobar con QuickCheck que equivalentes cumple la -- propiedad simétrica. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_equivalentesS :: Integer -> Integer -> Property prop_equivalentesS x y = x >= 0 && y >= 0 ==> equivalentes x y == equivalentes y x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_equivalentesS -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.4. Comprobar con QuickCheck que equivalentes cumple la -- propiedad transitiva. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_equivalentesT :: Integer -> Integer -> Integer -> Property prop_equivalentesT x y z = x >= 0 && y >= 0 && z >= 0 && equivalentes x y && equivalentes y z ==> equivalentes x z -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_equivalentesT -- *** Gave up! Passed only 2 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Un número x es especial si el número de ocurrencia de -- cada dígito d de x en x^2 es el doble del número de ocurrencia de d -- en x. Por ejemplo, 72576 es especial porque tiene un 2, un 5, un 6 y -- dos 7 y su cuadrado es 5267275776 que tiene exactamente dos 2, dos 5, -- dos 6 y cuatro 7. -- -- Definir la función -- especial :: Integer -> Bool -- tal que (especial x) se verifica si x es un número especial. Por -- ejemplo, -- especial 72576 == True -- especial 12 == False -- Calcular el menor número especial mayor que 72576. -- --------------------------------------------------------------------- especial :: Integer -> Bool especial x = sort (ys ++ ys) == sort (show (x^2)) where ys = show x -- El cálculo es -- ghci> head [x | x <- [72577..], especial x] -- 406512 |
Los ejercicios la relación 11 y soluciones se muestran a continuación
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por comprensión, la función -- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por -- ejemplo, -- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9] -- --------------------------------------------------------------------- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer] cuadradosC xs = [x^2 | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir, por recursión, la función -- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por -- ejemplo, -- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9] -- --------------------------------------------------------------------- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer] cuadradosR [] = [] cuadradosR (x:xs) = x^2 : cuadradosR xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir, por comprensión, la función -- imparesC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por -- ejemplo, -- imparesC [1,2,3] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- imparesC :: [Integer] -> [Integer] imparesC xs = [x | x <- xs, odd x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir, por recursión, la función -- imparesR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por -- ejemplo, -- imparesR [1,2,3] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- imparesR :: [Integer] -> [Integer] imparesR [] = [] imparesR (x:xs) | odd x = x : imparesR xs | otherwise = imparesR xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir, por comprensión, la función -- imparesCuadradosC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesCuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de los -- números impares de xs. Por ejemplo, -- imparesCuadradosC [1,2,3] == [1,9] -- --------------------------------------------------------------------- imparesCuadradosC :: [Integer] -> [Integer] imparesCuadradosC xs = [x^2 | x <- xs, odd x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función -- imparesCuadradosR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesCuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de los -- números impares de xs. Por ejemplo, -- imparesCuadradosR [1,2,3] == [1,9] -- --------------------------------------------------------------------- imparesCuadradosR :: [Integer] -> [Integer] imparesCuadradosR [] = [] imparesCuadradosR (x:xs) | odd x = x^2 : imparesCuadradosR xs | otherwise = imparesCuadradosR xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir, por comprensión, la función -- sumaCuadradosImparesC :: [Integer] -> Integer -- tal que (sumaCuadradosImparesC xs) es la suma de los cuadrados de los -- números impares de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaCuadradosImparesC [1,2,3] == 10 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosImparesC :: [Integer] -> Integer sumaCuadradosImparesC xs = sum [x^2 | x <- xs, odd x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir, por recursión, la función -- sumaCuadradosImparesR :: [Integer] -> Integer -- tal que (sumaCuadradosImparesR xs) es la suma de los cuadrados de los -- números impares de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaCuadradosImparesR [1,2,3] == 10 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosImparesR :: [Integer] -> Integer sumaCuadradosImparesR [] = 0 sumaCuadradosImparesR (x:xs) | odd x = x^2 + sumaCuadradosImparesR xs | otherwise = sumaCuadradosImparesR xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, usando funciones predefinidas, la función -- entreL :: Integer -> Integer -> [Integer] -- tal que (entreL m n) es la lista de los números entre m y n. Por -- ejemplo, -- entreL 2 5 == [2,3,4,5] -- --------------------------------------------------------------------- entreL :: Integer -> Integer -> [Integer] entreL m n = [m..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir, por recursión, la función -- entreR :: Integer -> Integer -> [Integer] -- tal que (entreR m n) es la lista de los números entre m y n. Por -- ejemplo, -- entreR 2 5 == [2,3,4,5] -- --------------------------------------------------------------------- entreR :: Integer -> Integer -> [Integer] entreR m n | m > n = [] | otherwise = m : entreR (m+1) n |