I1M2013: Ejercicios de definiciones por recursión
En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se han comentado las soluciones de los ejercicios de la 7ª relación y los 3 primeros de la 8ª sobre definiciones por recursión
Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por -- recursión correspondientes al tema 6 cuyas transparencias se -- encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-13/temas/tema-6.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir por recursión la función -- potencia :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (potencia x n) es x elevado al número natural n. Por ejemplo, -- potencia 2 3 == 8 -- --------------------------------------------------------------------- potencia :: Integer -> Integer -> Integer potencia m 0 = 1 potencia m n = m*(potencia m (n-1)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir por recursión la función -- replicate' :: Int -> a -> [a] -- tal que (replicate' n x) es la lista formado por n copias del -- elemento x. Por ejemplo, -- replicate' 3 2 == [2,2,2] -- --------------------------------------------------------------------- replicate' :: Int -> a -> [a] replicate' 0 _ = [] replicate' n x = x : replicate' (n-1) x -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. El doble factorial de un número n se define por -- n!! = n*(n-2)* ... * 3 * 1, si n es impar -- n!! = n*(n-2)* ... * 4 * 2, si n es par -- 1!! = 1 -- 0!! = 1 -- Por ejemplo, -- 8!! = 8*6*4*2 = 384 -- 9!! = 9*7*5*3*1 = 945 -- Definir, por recursión, la función -- dobleFactorial :: Integer -> Integer -- tal que (dobleFactorial n) es el doble factorial de n. Por ejemplo, -- dobleFactorial 8 == 384 -- dobleFactorial 9 == 945 -- --------------------------------------------------------------------- dobleFactorial :: Integer -> Integer dobleFactorial 0 = 1 dobleFactorial 1 = 1 dobleFactorial n = n * dobleFactorial (n-2) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Dados dos números naturales, a y b, es posible -- calcular su máximo común divisor mediante el Algoritmo de -- Euclides. Este algoritmo se puede resumir en la siguiente fórmula: -- mcd(a,b) = a, si b = 0 -- = mcd (b, a módulo b), si b > 0 -- -- Definir la función -- mcd :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (mcd a b) es el máximo común divisor de a y b calculado -- mediante el algoritmo de Euclides. Por ejemplo, -- mcd 30 45 == 15 -- --------------------------------------------------------------------- mcd :: Integer -> Integer -> Integer mcd a 0 = a mcd a b = mcd b (a `mod` b) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. (Problema 5 del proyecto Euler) El problema se encuentra -- en http://goo.gl/L5bb y consiste en calcular el menor número -- divisible por los números del 1 al 20. Lo resolveremos mediante los -- distintos apartados de este ejercicio. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir por recursión la función -- menorDivisible :: Integer -> Integer -> Integer -- tal que (menorDivisible a b) es el menor número divisible por los -- números del a al b. Por ejemplo, -- menorDivisible 2 5 == 60 -- Indicación: Usar la función lcm tal que (lcm x y) es el mínimo común -- múltiplo de x e y. -- --------------------------------------------------------------------- menorDivisible :: Integer -> Integer -> Integer menorDivisible a b | a == b = a | otherwise = lcm a (menorDivisible (a+1) b) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir la constante -- euler5 :: Integer -- tal que euler5 es el menor número divisible por los números del 1 al -- 20 y calcular su valor. -- --------------------------------------------------------------------- euler5 :: Integer euler5 = menorDivisible 1 20 -- El cálculo es -- ghci> euler5 -- 232792560 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. En un templo hindú se encuentran tres varillas de -- platino. En una de ellas, hay 64 anillos de oro de distintos radios, -- colocados de mayor a menor. -- -- El trabajo de los monjes de ese templo consiste en pasarlos todos a -- la tercera varilla, usando la segunda como varilla auxiliar, con las -- siguientes condiciones: -- * En cada paso sólo se puede mover un anillo. -- * Nunca puede haber un anillo de mayor diámetro encima de uno de -- menor diámetro. -- La leyenda dice que cuando todos los anillos se encuentren en la -- tercera varilla, será el fin del mundo. -- -- Definir la función -- numPasosHanoi :: Integer -> Integer -- tal que (numPasosHanoi n) es el número de pasos necesarios para -- trasladar n anillos. Por ejemplo, -- numPasosHanoi 2 == 3 -- numPasosHanoi 7 == 127 -- numPasosHanoi 64 == 18446744073709551615 -- --------------------------------------------------------------------- -- Sean A, B y C las tres varillas. La estrategia recursiva es la -- siguiente: -- * Caso base (N=1): Se mueve el disco de A a C. -- * Caso inductivo (N=M+1): Se mueven M discos de A a C. Se mueve el disco -- de A a B. Se mueven M discos de C a B. -- Por tanto, numPasosHanoi :: Integer -> Integer numPasosHanoi 1 = 1 numPasosHanoi n = 1 + 2 * numPasosHanoi (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir por recursión la función -- and' :: [Bool] -> Bool -- tal que (and' xs) se verifica si todos los elementos de xs son -- verdadero. Por ejemplo, -- and' [1+2 < 4, 2:[3] == [2,3]] == True -- and' [1+2 < 3, 2:[3] == [2,3]] == False -- --------------------------------------------------------------------- and' :: [Bool] -> Bool and' [] = True and' (b:bs) = b && and' bs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir por recursión la función -- elem' :: Eq a => a -> [a] -> Bool -- tal que (elem' x xs) se verifica si x pertenece a la lista xs. Por -- ejemplo, -- elem' 3 [2,3,5] == True -- elem' 4 [2,3,5] == False -- --------------------------------------------------------------------- elem' :: Eq a => a -> [a] -> Bool elem' x [] = False elem' x (y:ys) | x == y = True | otherwise = elem' x ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir por recursión la función -- last' :: [a] -> a -- tal que (last xs) es el último elemento de xs. Por ejemplo, -- last' [2,3,5] => 5 -- --------------------------------------------------------------------- last' :: [a] -> a last' [x] = x last' (_:xs) = last' xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir por recursión la función -- concat' :: [[a]] -> [a] -- tal que (concat' xss) es la lista obtenida concatenando las listas de -- xss. Por ejemplo, -- concat' [[1..3],[5..7],[8..10]] == [1,2,3,5,6,7,8,9,10] -- --------------------------------------------------------------------- concat' :: [[a]] -> [a] concat' [] = [] concat' (xs:xss) = xs ++ concat' xss -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir por recursión la función -- selecciona :: [a] -> Int -> a -- tal que (selecciona xs n) es el n-ésimo elemento de xs. Por ejemplo, -- selecciona [2,3,5,7] 2 == 5 -- --------------------------------------------------------------------- selecciona :: [a] -> Int -> a selecciona (x:_) 0 = x selecciona (_:xs) n = selecciona xs (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir por recursión la función -- take' :: Int -> [a] -> [a] -- tal que (take' n xs) es la lista de los n primeros elementos de -- xs. Por ejemplo, -- take' 3 [4..12] => [4,5,6] -- --------------------------------------------------------------------- take' :: Int -> [a] -> [a] take' 0 _ = [] take' n [] = [] take' n (x:xs) = x : take' (n-1) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- refinada :: [Float] -> [Float] -- tal que (refinada xs) es la lista obtenida intercalando entre cada -- dos elementos consecutivos de xs su media aritmética. Por ejemplo, -- refinada [2,7,1,8] == [2.0,4.5,7.0,4.0,1.0,4.5,8.0] -- refinada [2] == [2.0] -- refinada [] == [] -- --------------------------------------------------------------------- refinada :: [Float] -> [Float] refinada (x:y:zs) = x : (x+y)/2 : refinada (y:zs) refinada xs = xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por -- recursión correspondientes al tema 6 cuyas transparencias se -- encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-13/temas/tema-6.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- duplicaPrimo :: [Int] -> [Int] -- tal que (duplicaPrimo xs) es la lista obtenida sustituyendo cada -- número primo de xs por su doble. Por ejemplo, -- duplicaPrimo [2,5,9,7,1,3] == [4,10,9,14,1,6] -- --------------------------------------------------------------------- duplicaPrimo :: [Int] -> [Int] duplicaPrimo [] = [] duplicaPrimo (x:xs) | primo x = (2*x) : duplicaPrimo xs | otherwise = x : duplicaPrimo xs -- (primo x) se verifica si x es primo. Por ejemplo, -- primo 7 == True -- primo 8 == False primo :: Int -> Bool primo x = divisores x == [1,x] -- (divisores x) es la lista de los divisores de x. Por ejemplo, -- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30] divisores :: Int -> [Int] divisores x = [y | y <- [1..x], rem x y == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir, por recursión, el predicado -- alMenos :: Int -> [Int] -> Bool -- tal que (alMenos k xs) se verifica si xs contiene, al menos, k -- números primos. Por ejemplo, -- alMenos 1 [1,3,7,10,14] == True -- alMenos 3 [1,3,7,10,14] == False -- --------------------------------------------------------------------- alMenos :: Int -> [Int] -> Bool alMenos 0 _ = True alMenos _ [] = False alMenos k (x:xs) | primo x = alMenos (k-1) xs | otherwise = alMenos k xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir, por recursión, la función -- ceros :: Int -> Int -- tal que (ceros n) es el número de ceros en los que termina el número -- n. Por ejemplo, -- ceros 3020000 == 4 -- --------------------------------------------------------------------- ceros :: Int -> Int ceros n | rem n 10 /= 0 = 0 | otherwise = 1 + ceros (div n 10) |