I1M2013: Ejercicios de definiciones por comprensión (3)

En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se han comentado las soluciones de los ejercicios 15 a 19 de la 4ª relación sobre definiciones por comprensión.

Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación

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-- Ejercicio 15.1. Definir la función unitarios tal (unitarios n) es
-- la lista de números [n,nn, nnn, ....]. Por ejemplo. 
--    take 7 (unitarios 3) == [3,33,333,3333,33333,333333,3333333]
--    take 3 (unitarios 1) == [1,11,111]
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unitarios x = [x*(div (10^n-1) 9) | n <- [1 ..]]

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-- Ejercicio 15.2. Definir la función multiplosUnitarios tal que
-- (multiplosUnitarios x y n) es la lista de los n primeros múltiplos de
-- x cuyo único dígito es y. Por ejemplo,
--    multiplosUnitarios 7 1 2  == [111111,111111111111]
--    multiplosUnitarios 11 3 5 == [33,3333,333333,33333333,3333333333]
-- ---------------------------------------------------------------------

multiplosUnitarios x y n = take n [z | z <- unitarios y, mod z x == 0]

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-- Ejercicio 16. Definir la función primosEntre tal que (primosEntre x y)
-- es la lista de los número primos entre x e y (ambos inclusive). Por
-- ejemplo, 
--    primosEntre 11 44  ==  [11,13,17,19,23,29,31,37,41,43]
-- ---------------------------------------------------------------------

primosEntre x y = [n | n <- [x..y], primo n]

-- (primo x) se verifica si x es primo. Por ejemplo,
--    primo 30  == False
--    primo 31  == True  
primo n = factores n == [1, n]

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-- Ejercicio 17. Definir la función cortas tal que (cortas xs) es la
-- lista de las palabras más cortas (es decir, de menor longitud) de la
-- lista xs. Por ejemplo,
--    ghci> cortas ["hoy", "es", "un", "buen", "dia", "de", "sol"]
--    ["es","un","de"]
-- ---------------------------------------------------------------------

cortas xs = [x | x <- xs, length x == n]
    where n = minimum [length x | x <- xs]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Un entero positivo n es libre de cuadrado si no es
-- divisible por ningún m^2 > 1. Por ejemplo, 10 es libre de cuadrado
-- (porque 10 = 2*5) y 12 no lo es (ya que es divisible por 2^2). 
-- 
-- Definir la función libresDeCuadrado tal que (libresDeCuadrado n) es
-- la lista de los primeros n números libres de cuadrado. Por ejemplo,
--    libresDeCuadrado 15  ==  [1,2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19,21,22]
-- ---------------------------------------------------------------------

libresDeCuadrado n = 
    take n [n | n <- [1..], libreDeCuadrado n]

-- (libreDeCuadrado n) se verifica si n es libre de cuadrado. Por
-- ejemplo, 
--    libreDeCuadrado 10  ==  True
--    libreDeCuadrado 12  ==  False
libreDeCuadrado n =
    null [m | m <- [2..n], rem n (m^2) == 0]

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-- Ejercicio 19. Definir la función masOcurrentes tal que
-- (masOcurrentes xs) es la lista de los elementos de xs que ocurren el
-- máximo número de veces. Por ejemplo,
--    masOcurrentes [1,2,3,4,3,2,3,1,4] == [3,3,3]
--    masOcurrentes [1,2,3,4,5,2,3,1,4] == [1,2,3,4,2,3,1,4]
--    masOcurrentes "Salamanca"         == "aaaa"
-- ---------------------------------------------------------------------

masOcurrentes xs = [x | x <- xs, ocurrencias x xs == m]
    where m = maximum [ocurrencias x xs | x <-xs]

-- (ocurrencias x xs) es el número de ocurrencias de x en xs. Por
-- ejemplo, 
--    ocurrencias 1 [1,2,3,4,3,2,3,1,4]  ==  2
ocurrencias x xs = length [x' | x' <- xs, x == x']

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-- Ejercicio 15.1. Definir la función unitarios tal (unitarios n) es

-- la lista de números [n,nn, nnn, ....]. Por ejemplo.

-- take 7 (unitarios 3) == [3,33,333,3333,33333,333333,3333333]

-- take 3 (unitarios 1) == [1,11,111]

-- ---------------------------------------------------------------------

unitarios x = [x*(div (10^n-1) 9) | n <- [1 ..]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15.2. Definir la función multiplosUnitarios tal que

-- (multiplosUnitarios x y n) es la lista de los n primeros múltiplos de

-- x cuyo único dígito es y. Por ejemplo,

-- multiplosUnitarios 7 1 2 == [111111,111111111111]

-- multiplosUnitarios 11 3 5 == [33,3333,333333,33333333,3333333333]

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multiplosUnitarios x y n = take n [z | z <- unitarios y, mod z x == 0]

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-- Ejercicio 16. Definir la función primosEntre tal que (primosEntre x y)

-- es la lista de los número primos entre x e y (ambos inclusive). Por

-- ejemplo,

-- primosEntre 11 44 == [11,13,17,19,23,29,31,37,41,43]

-- ---------------------------------------------------------------------

primosEntre x y = [n | n <- [x..y], primo n]

-- (primo x) se verifica si x es primo. Por ejemplo,

-- primo 30 == False

-- primo 31 == True

primo n = factores n == [1, n]

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-- Ejercicio 17. Definir la función cortas tal que (cortas xs) es la

-- lista de las palabras más cortas (es decir, de menor longitud) de la

-- lista xs. Por ejemplo,

-- ghci> cortas ["hoy", "es", "un", "buen", "dia", "de", "sol"]

-- ["es","un","de"]

-- ---------------------------------------------------------------------

cortas xs = [x | x <- xs, length x == n]

where n = minimum [length x | x <- xs]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Un entero positivo n es libre de cuadrado si no es

-- divisible por ningún m^2 > 1. Por ejemplo, 10 es libre de cuadrado

-- (porque 10 = 2*5) y 12 no lo es (ya que es divisible por 2^2).

-- Definir la función libresDeCuadrado tal que (libresDeCuadrado n) es

-- la lista de los primeros n números libres de cuadrado. Por ejemplo,

-- libresDeCuadrado 15 == [1,2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19,21,22]

-- ---------------------------------------------------------------------

libresDeCuadrado n =

take n [n | n <- [1..], libreDeCuadrado n]

-- (libreDeCuadrado n) se verifica si n es libre de cuadrado. Por

-- ejemplo,

-- libreDeCuadrado 10 == True

-- libreDeCuadrado 12 == False

libreDeCuadrado n =

null [m | m <- [2..n], rem n (m^2) == 0]

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-- Ejercicio 19. Definir la función masOcurrentes tal que

-- (masOcurrentes xs) es la lista de los elementos de xs que ocurren el

-- máximo número de veces. Por ejemplo,

-- masOcurrentes [1,2,3,4,3,2,3,1,4] == [3,3,3]

-- masOcurrentes [1,2,3,4,5,2,3,1,4] == [1,2,3,4,2,3,1,4]

-- masOcurrentes "Salamanca" == "aaaa"

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masOcurrentes xs = [x | x <- xs, ocurrencias x xs == m]

where m = maximum [ocurrencias x xs | x <-xs]

-- (ocurrencias x xs) es el número de ocurrencias de x en xs. Por

-- ejemplo,

-- ocurrencias 1 [1,2,3,4,3,2,3,1,4] == 2

ocurrencias x xs = length [x' | x' <- xs, x == x']

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