I1M2012: Sumas de factoriales que dan cuadrados perfectos

En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado la solución con Haskell de un problema propuesto en la revista Mathematics Magazine. Su enunciado es

Encontrar todos los enteros positivos m y n para los que se
cumpla que: .

Su traducción directa es

o, usando let,

donde

• (sumaFactoriales n) es la suma de los factoriales de 1 a n
  
  Haskell

  sumaFactoriales :: Integer -> Integer sumaFactoriales n = sum [factorial x | x <- [1..n]]

  1 2	sumaFactoriales :: Integer -> Integer sumaFactoriales n = sum [factorial x | x <- [1..n]]

• (factorial n) es el factorial de n.
  
  Haskell

  factorial :: Integer -> Integer factorial n = product [1..n]

  1 2	factorial :: Integer -> Integer factorial n = product [1..n]

• (esCuadrado x) se verifica si x es un cuadrado perfecto.
  
  Haskell

  esCuadrado :: Integer -> Bool esCuadrado x = x == y*y where y = floor (sqrt (fromIntegral x))

  1 2 3

  esCuadrado :: Integer -> Bool esCuadrado x = x == y*y     where y = floor (sqrt (fromIntegral x))

Con esta definición se encuentran las siguientes soluciones

Se observa que después de calcular las dos primeras sigue buscando por lo que hay que terminar el cálculo (con C-c C-c) sin encontrar más soluciones.

Que las dos primeras son soluciones se comprueba fácilmente:

• 
• .

Vamos a investigar porqué no hay más soluciones. Para ello, empezamos calculando las sumas de los factoriales

Se observa que, a partir de la cuarta, todas terminan en 3. Por otra parte, calculando los cuadrados de los dígitos

se observa que ninguno termina en 3; es decir, ningún cuadrado perfecto temina en 3.

Para terminar, nos falta demostrar la conjetura anterior (si n>3, entonces termina en 3). Para ello calculamos los primeros factoriales

Se observa que para n=4 termina en 3 (es 1+2+6+24=33) y que, para n>4, el último dígito de n! es 0 (que es fácil de demostrar ya que si n>4, entre los factores de n están el 2 y el 5).