I1M2012: Resolución de problemas matemáticos con Haskell
En las clases de ayer y de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la 12ª relación en la que se plantea la resolución de distintos problemas
matemáticos. En concreto,
- el problema de Ullman sobre la existencia de subconjunto del tamaño dado y con su suma acotada,
- las descomposiciones de un número como suma de dos cuadrados,
- el problema 145 del proyecto Euler,
- el grafo de una función sobre los elementos que cumplen una propiedad,
- los números semiperfectos,
- el carácter funcional de una relación y
- la identidad de Bezout.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- ullman :: (Num a, Ord a) => a -> Int -> [a] -> Bool -- tal que (ullman t k xs) se verifica si xs tiene un subconjunto con k -- elementos cuya suma sea menor que t. Por ejemplo, -- ullman 9 3 [1..10] == True -- ullman 5 3 [1..10] == False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución (corta y eficiente) ullman :: (Ord a, Num a) => a -> Int -> [a] -> Bool ullman t k xs = sum (take k (sort xs)) < t -- 2ª solución (larga e ineficiente) ullman2 :: (Num a, Ord a) => a -> Int -> [a] -> Bool ullman2 t k xs = [ys | ys <- subconjuntos xs, length ys == k, sum ys < t] /= [] -- (subconjuntos xs) es la lista de los subconjuntos de xs. Por -- ejemplo, -- subconjuntos "bc" == ["","c","b","bc"] -- subconjuntos "abc" == ["","c","b","bc","a","ac","ab","abc"] subconjuntos :: [a] -> [[a]] subconjuntos [] = [[]] subconjuntos (x:xs) = zss++[x:ys | ys <- zss] where zss = subconjuntos xs -- Los siguientes ejemplos muestran la diferencia en la eficencia: -- *Main> ullman 9 3 [1..20] -- True -- (0.02 secs, 528380 bytes) -- *Main> ullman2 9 3 [1..20] -- True -- (4.08 secs, 135267904 bytes) -- *Main> ullman 9 3 [1..100] -- True -- (0.02 secs, 526360 bytes) -- *Main> ullman2 9 3 [1..100] -- C-c C-cInterrupted. -- Agotado -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- sumasDe2Cuadrados :: Integer -> [(Integer, Integer)] -- tal que (sumasDe2Cuadrados n) es la lista de los pares de números -- tales que la suma de sus cuadrados es n y el primer elemento del par -- es mayor o igual que el segundo. Por ejemplo, -- sumasDe2Cuadrados 25 == [(5,0),(4,3)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Primera definición: sumasDe2Cuadrados_1 :: Integer -> [(Integer, Integer)] sumasDe2Cuadrados_1 n = [(x,y) | x <- [n,n-1..0], y <- [0..x], x*x+y*y == n] -- Segunda definición: sumasDe2Cuadrados_2 :: Integer -> [(Integer, Integer)] sumasDe2Cuadrados_2 n = [(x,y) | x <- [a,a-1..0], y <- [0..x], x*x+y*y == n] where a = ceiling (sqrt (fromIntegral n)) -- Tercera definición: sumasDe2Cuadrados_3 :: Integer -> [(Integer, Integer)] sumasDe2Cuadrados_3 n = aux (ceiling (sqrt (fromIntegral n))) 0 where aux x y | x < y = [] | x*x + y*y < n = aux x (y+1) | x*x + y*y == n = (x,y) : aux (x-1) (y+1) | otherwise = aux (x-1) y -- Comparación -- +----------+---------------+---------------+---------------+ -- | n | 1ª definición | 2ª definición | 3ª definición | -- +----------+---------------+---------------+---------------+ -- | 999 | 2.17 segs | 0.02 segs | 0.01 segs | -- | 48612265 | | 140.38 segs | 0.13 segs | -- +----------+---------------+---------------+---------------+ -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. (Basado en el problema 145 del Proyecto Euler). Se dice -- que un número n es reversible si su última cifra es distinta de 0 y -- la suma de n y el número obtenido escribiendo las cifras de n en -- orden inverso es un número que tiene todas sus cifras impares. Por -- ejemplo, 36 es reversible porque 36+63=99 tiene todas sus cifras -- impares, 409 es reversible porque 409+904=1313 tiene todas sus cifras -- impares, 243 no es reversible porque 243+342=585 no tiene todas sus -- cifras impares. -- Definir la función -- reversiblesMenores :: Int -> Int -- tal que (reversiblesMenores n) es la cantidad de números reversibles -- menores que n. Por ejemplo, -- reversiblesMenores 10 == 0 -- reversiblesMenores 100 == 20 -- reversiblesMenores 1000 == 120 -- --------------------------------------------------------------------- reversiblesMenores :: Int -> Int reversiblesMenores n = length [x | x <- [1..n-1], esReversible x] -- (esReversible n) se verifica si n es reversible; es decir, si su -- última cifra es distinta de 0 y la suma de n y el número obtenido -- escribiendo las cifras de n en orden inverso es un número que tiene -- todas sus cifras impares. Por ejemplo, -- esReversible 36 == True -- esReversible 409 == True esReversible :: Int -> Bool esReversible n = rem n 10 /= 0 && impares (cifras (n + (inverso n))) -- (impares xs) se verifica si xs es una lista de números impares. Por -- ejemplo, -- impares [3,5,1] == True -- impares [3,4,1] == False impares :: [Int] -> Bool impares xs = and [odd x | x <- xs] -- (inverso n) es el número obtenido escribiendo las cifras de n en -- orden inverso. Por ejemplo, -- inverso 3034 == 4303 inverso :: Int -> Int inverso n = read (reverse (show n)) -- (cifras n) es la lista de las cifras del número n. Por ejemplo, -- cifras 3034 == [3,0,3,4] cifras :: Int -> [Int] cifras n = [read [x] | x <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir, usando funciones de orden superior, la función -- grafoReducido :: Eq a => (a -> b) -> (a -> Bool) -> [a] -> [(a,b)] -- tal que (grafoReducido f p xs) es la lista (sin repeticiones) de los -- pares formados por los elementos de xs que verifican el predicado p -- y sus imágenes. Por ejemplo, -- grafoReducido (^2) even [1..9] == [(2,4),(4,16),(6,36),(8,64)] -- grafoReducido (+4) even (replicate 40 1) == [] -- grafoReducido (*5) even (replicate 40 2) == [(2,10)] -- --------------------------------------------------------------------- grafoReducido :: Eq a => (a -> b) -> (a -> Bool) -> [a] -> [(a,b)] grafoReducido f p xs = [(x,f x) | x <- nub xs, p x] -- ------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Un número natural n se denomina semiperfecto si es la -- suma de algunos de sus divisores propios. Por ejemplo, 18 es -- semiperfecto ya que sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y se cumple que -- 3+6+9=18. -- -- Definir la función -- esSemiPerfecto :: Int -> Bool -- tal que (esSemiPerfecto n) se verifica si n es semiperfecto. Por -- ejemplo, -- esSemiPerfecto 18 == True -- esSemiPerfecto 9 == False -- esSemiPerfecto 24 == True -- --------------------------------------------------------------------- esSemiPerfecto :: Int -> Bool esSemiPerfecto n = or [sum ys == n | ys <- subconjuntos (divisores n)] -- (divisores n) es la lista de los divisores propios de n. Por ejemplo, -- divisores 18 == [1,2,3,6,9] divisores :: Int -> [Int] divisores n = [x | x <- [1..n-1], mod n x == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir la constante primerSemiPerfecto tal que su -- valor es el primer número semiperfecto. -- --------------------------------------------------------------------- primerSemiPerfecto :: Int primerSemiPerfecto = head [n | n <- [1..], esSemiPerfecto n] -- La evaluación es -- *Main> primerSemiPerfecto -- 6 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Definir la función -- semiPerfecto :: Int -> Int -- tal que (semiPerfecto n) es el n-ésimo número semiperfecto. Por -- ejemplo, -- semiPerfecto 1 == 6 -- semiPerfecto 4 == 20 -- semiPerfecto 100 == 414 -- --------------------------------------------------------------------- semiPerfecto :: Int -> Int semiPerfecto n = semiPerfectos !! n -- semiPerfectos es la lista de los números semiPerfectos. Por ejemplo, -- take 4 semiPerfectos == [6,12,18,20] semiPerfectos = [n | n <- [1..], esSemiPerfecto n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Las relaciones finitas se pueden representar mediante -- listas de pares. Por ejemplo, -- r1, r2, r3 :: [(Int, Int)] -- r1 = [(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)] -- r2 = [(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)] -- r3 = [(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)] -- Definir la función -- esFuncion :: (Eq a, Eq b) => [(a,b)] -> Bool -- tal que (esFuncion r) se verifica si la relación r es una función (es -- decir, a cada elemento del dominio de la relación r le corresponde un -- único elemento). Por ejemplo, -- esFuncion r1 == False -- esFuncion r2 == True -- esFuncion r3 == True -- --------------------------------------------------------------------- r1, r2, r3 :: [(Int, Int)] r1 = [(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)] r2 = [(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)] r3 = [(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)] esFuncion :: (Eq a, Eq b) => [(a,b)] -> Bool esFuncion [] = True esFuncion ((x,y):r) = [y' | (x',y') <- r, x == x', y /= y'] == [] && esFuncion r -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. [La identidad de Bezout] Definir la función -- bezout :: Integer -> Integer -> (Integer, Integer) -- tal que (bezout a b) es un par de números x e y tal que a*x+b*y es el -- máximo común divisor de a y b. Por ejemplo, -- bezout 21 15 == (-2,3) -- Indicación: Se puede usar la función quotRem tal que (quotRem x y) es -- el par formado por el cociente y el resto de dividir x entre y. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplo de cálculo -- a b q r -- 36 21 1 15 (1) -- 21 15 1 6 (2) -- 15 6 2 3 (3) -- 6 3 2 0 -- 3 0 -- Por tanto, -- 3 = 15 - 6*2 [por (3)] -- = 15 - (21-15*1)*2 [por (2)] -- = 21*(-2) + 15*3 -- = 21*(-2)+ (36-21*1)*3 [por (1)] -- = 36*3 + 21*(-5) -- Sean p, r el cociente y el resto de a entre b, d el máximo común -- divisor de a y b y (x,y) el valor de (bezout b r) . Entonces, -- a = bp+r -- d = bx+ry -- ya que mcd(a,b) = mcd(b,r). Por tanto, -- d = bx + (a-bp)y -- = ay + b(x-qy) -- Luego, -- bezout a b = (y,x-qy) bezout :: Integer -> Integer -> (Integer, Integer) bezout _ 0 = (1,0) bezout _ 1 = (0,1) bezout a b = (y, x-q*y) where (q,r) = quotRem a b (x,y) = bezout b r -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Comprobar con QuickCheck que si a>0, b>0 y -- (x,y) es el valor de (bezout a b), entonces a*x+b*y es igual al -- máximo común divisor de a y b. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_Bezout :: Integer -> Integer -> Property prop_Bezout a b = a>0 && b>0 ==> a*x+b*y == gcd a b where (x,y) = bezout a b -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_Bezout -- OK, passed 100 tests. |