I1M2012: Problemas sobre el 2013 en Haskell
Para empezar el año, he elaborado una relación de ejercicios relacionados con el 2013 para resolverlos con Haskell.
A continuación se muestra los enunciados de los ejercicios
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. [Potencias de 2013] En los apartados de este ejercicio -- se resuelven problemas sobre potencias del 2013 como los siguientes: -- (a) ¿Cuál es el menor n, tal que n aparece en 2013^n en la posición -- n? -- (b) ¿Cuál es el menor n (mayor que 1), tal que dentro 2013^n aparece -- el 2013? ¿En qué posición aparece? -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir la función -- posiciones :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int] -- tal que (posiciones xs ys) es la lista de las posiciones que ocupa xs -- dentro de ys. Por ejemplo, -- posiciones "ac" "bacdacaec" == [2,5] -- --------------------------------------------------------------------- posiciones :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int] posiciones xs ys = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir la función -- posicionesEnPotencia :: Integer -> Integer -> [Int] -- tal que (posicionesEnPotencia n m) es la lista de las posiciones del -- número n en 2013^m. Por ejemplo, -- posicionesEnPotencia 1 1 == [3] -- posicionesEnPotencia 2 2 == [4] -- posicionesEnPotencia 3 3 == [] -- posicionesEnPotencia 4 4 == [3,11] -- posicionesEnPotencia 5 5 == [4,11] -- posicionesEnPotencia 6 6 == [1,2,5] -- posicionesEnPotencia 58 58 == [26,32,55,59,79] -- --------------------------------------------------------------------- posicionesEnPotencia :: Integer -> Integer -> [Int] posicionesEnPotencia n m = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir el ejercicio -- enPosicion :: Eq a => [a] -> [a] -> Int -> Bool -- tal que (enPosicion xs ys n) se verifica si xs está en ys en la -- posición n. Por ejemplo, -- enPosicion "ab" "cabdab" 2 == True -- enPosicion "ab" "cabdab" 5 == True -- enPosicion "ab" "cabdab" 4 == False -- --------------------------------------------------------------------- enPosicion :: Eq a => [a] -> [a] -> Int -> Bool enPosicion xs ys n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Definir el ejercicio -- enPosicionPotencia :: Integer -> Integer -> Int -> Bool -- tal que (enPosicionPotencia x y n) se verifica si x está en 2013^y en -- la posición n. Por ejemplo, -- enPosicionPotencia 4 4 3 == True -- enPosicionPotencia 4 4 5 == False -- --------------------------------------------------------------------- enPosicionPotencia :: Integer -> Integer -> Int -> Bool enPosicionPotencia x y n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.5. Calcular el menor n, tal que n aparece en la posición -- n de 2013^n. -- --------------------------------------------------------------------- menorFijo :: Integer menorFijo = undefined -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.6. Calcular el menor n (mayor que 1), tal que dentro -- 2013^n aparezca el 2013. ¿En qué posición aparece el 2013? -- --------------------------------------------------------------------- menorPotenciaConteniendo2013 :: Integer menorPotenciaConteniendo2013 = undefined -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. [2013 en factoriales] Con los apartados de este -- ejercicio se resuelve el siguiente problema: -- ¿Cuál es el primer factorial que tiene a "2013" dentro? -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir la función -- fact :: Int -> Int -- tal que (fact n) es el factorial de n. Por ejemplo, -- fact 5 == 120 -- fact 18 == 6402373705728000 -- --------------------------------------------------------------------- fact :: Integer -> Integer fact n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir la función -- enFactorial :: Int -> Bool -- tal que (enFactorial n) es el menor x tal que x ocurre dentro del -- factorial de x. Por ejemplo, -- enFactorial 20 == 5 -- enFactorial 23 == 18 -- --------------------------------------------------------------------- enFactorial :: Integer -> Integer enFactorial n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Calcular el menor n tal que 2013 ocurre dentro del -- factorial de n. ¿Qué posición ocupa? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. [2013 en potencias de 2] Con los apartados de este -- ejercicio se resuelve el siguiente problema -- ¿Cuál es la primer potencia de 2 que tiene "2013" dentro? ¿y las -- siguientes? -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir la función -- enPotenciaDeDos :: Integer -> [Integer] -- tal que (enPotenciaDeDos n) es la lista de los números x tales que n -- aparece dentro de 2^n. Por ejemplo, -- head (enPotenciaDeDos 21) == 18 -- 2^18 == 262144 -- --------------------------------------------------------------------- enPotenciaDeDos :: Integer -> [Integer] enPotenciaDeDos n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Calcular los 10 primeros números x tales que 2013 -- aparece dentro de 2^x. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. [Criba de Eratóstenes] En los siguientes ejercicios se -- usarán los números primos. Para ello usaremos el método de la criba -- de Eratóstenes definida en los distintos apartados de este ejercicio. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir la función -- elimina :: Integer -> [Integer] -> [Integer] -- tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando en la lista xs -- los múltiplos de n. Por ejemplo, -- elimina 3 [2,3,8,9,5,6,7] == [2,8,5,7] -- --------------------------------------------------------------------- -- Por comprensión: elimina :: Integer -> [Integer] -> [Integer] elimina n xs = [ x | x <- xs, x `mod` n /= 0 ] -- Por recursión: eliminaR :: Integer -> [Integer] -> [Integer] eliminaR n [] = [] eliminaR n (x:xs) | mod x n == 0 = eliminaR n xs | otherwise = x : eliminaR n xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir la función -- criba :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (criba xs) es la lista obtenida cribando la lista xs con el -- método de eliminación del ejercicio anterior. Por ejemplo, -- criba [2..20] == [2,3,5,7,11,13,17,19] -- take 10 (criba [2..]) == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- criba :: [Integer] -> [Integer] criba [] = [] criba (n:ns) = n : criba (elimina n ns) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.3. Definir la función -- primos :: [Integer] -- cuyo valor es la lista de los números primos. Por ejemplo, -- take 10 primos == [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29] -- --------------------------------------------------------------------- primos :: [Integer] primos = criba [2..] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.4. Definir la función -- esPrimo :: Integer -> Bool -- tal que (esPrimo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- esPrimo 7 == True -- esPrimo 9 == False -- --------------------------------------------------------------------- esPrimo :: Integer -> Bool esPrimo n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. [Números de Haga] Un número de Haga es un número natural -- n tal que la suma de n y sus divisores primos es igual que la de n+1 -- con los suyos. Por ejemplo, 14 es un número de Haga ya que 14=2*7, -- 15=3*5 y 14+2+7 = 23 = 15+3+5. -- -- En este ejercicio mostramos relaciones entre el 2013 y los números de -- Haga. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir la función -- factorizacion :: Integer -> [Integer] -- tal que (factorizacion n) es la descomposición de n en factores -- primos. Por ejemplo, -- factorizacion 300 == [2,2,3,5,5] -- --------------------------------------------------------------------- factorizacion :: Integer -> [Integer] factorizacion = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir la función -- nHaga :: Integer -> Bool -- tal que (nHaga n) que se verifique si n es un número de Haga. Por -- ejemplo, -- nHaga 14 == True -- nHaga 15 == False -- --------------------------------------------------------------------- nHaga :: Integer -> Bool nHaga n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Comprobar que 2013 es un número de Haga. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.4. Definir la función -- sucHaga :: [Integer] -- tal que sucHaga es la sucesión de los números de Haga. Por ejemplo, -- take 5 sucHaga == [7,14,63,80,224] -- --------------------------------------------------------------------- sucHaga :: [Integer] sucHaga = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.5. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de números -- de Haga? ¿cuál es el anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. [Números esfénicos] Un número es esfénico si se -- descompone como producto de 3 primos distintos. Por ejemplo, -- 30 es esfénico porque 30 = 2*3*5 -- 10 no es esfénico porque 10 = 2*5 -- 18 no es esfénico porque 18 = 2*3*3 -- En este ejercicio mostramos relaciones entre el 2013 y los números -- esfénicos. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Definir la función -- descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] -- tal que (descomposiciones n) es la lista de ternas (x,y,z) de números -- primos crecientes tales que x*y*z es igual a n. Por ejemplo, -- descomposiciones 30 == [(2,3,5)] -- descomposiciones 10 == [] -- descomposiciones 18 == [] -- --------------------------------------------------------------------- descomposiciones :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] descomposiciones n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir la función -- esfenico :: Integer -> Bool -- tal que (esfenico n) se verifica si n es un número esfenico. Por -- ejemplo, -- esfenico 30 == True -- esfenico 10 == False -- esfenico 18 == False -- --------------------------------------------------------------------- esfenico :: Integer -> Bool esfenico n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Comprobar que 2013 es un número esfénico. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.4. Definir la función -- esfenicos :: [Integer] -- tal que esfenicos es la sucesión de los números esfénicos. Por ejemplo, -- take 5 esfenicos == [30,42,66,70,78] -- --------------------------------------------------------------------- esfenicos :: [Integer] esfenicos = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.5. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de números -- esfénicos? ¿cuál es el anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. [Números biesfénicos] Un número n es biesfénico si -- n y n+1 son esfénicos. Definir la función -- biesfenico :: Integer -> Bool -- tal que (biesfenico n) se verifica si n es un número biesfénico. Por -- ejemplo, -- biesfenico 230 == True -- biesfenico 235 == False -- --------------------------------------------------------------------- biesfenico :: Integer -> Bool biesfenico n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Comprobar que 2013 es un número biesfénico. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.3. Definir la función -- biesfenicos :: [Integer] -- tal que biesfenicos es la sucesión de los números biesfénicos. Por -- ejemplo, -- take 5 biesfenicos == [230,285,429,434,609] -- --------------------------------------------------------------------- biesfenicos :: [Integer] biesfenicos = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.4. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de números -- triesfénicos? ¿cuál es el anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. [Números triesfénicos] Un número n es triesfénico si -- n, n+1 y n+2 son esfénicos. Definir la función -- triesfenico :: Integer -> Bool -- tal que (triesfenico n) se verifica si n es un número -- triesfénico. Por ejemplo, -- triesfenico 98 == True -- triesfenico 99 == False -- --------------------------------------------------------------------- triesfenico :: Integer -> Bool triesfenico n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Comprobar que 2013 es un número triesfénico. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.3. Definir la función -- triesfenicos :: [Integer] -- tal que triesfenicos es la sucesión de los números triesfénicos. Por -- ejemplo, -- take 2 triesfenicos == [1309,1885] -- --------------------------------------------------------------------- triesfenicos :: [Integer] triesfenicos = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.4. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de números -- triesfénicos? ¿cuál es el anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. [Sumas de esfénicos consecutivos] Definir la función -- sumaDeEsfenicos :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] -- tal que (sumaDeEsfenicos n) es la lista de las ternas de números -- esfénicos consecutivos cuya suma es n. Por ejemplo, -- sumaDeEsfenicos 138 == [(30,42,66)] -- --------------------------------------------------------------------- sumaDeEsfenicos :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] sumaDeEsfenicos n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Comprobar que 2013 se puede escribir como suma de -- tres números esfénicos consecutivos -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. [Números 2-Smith] Un número es 2-Smith si la suma de -- dígitos de sus factores primos es 2 veces la suma de sus dígitos. Por -- ejemplo, 32 es un número 2-Smith ya que sus factorización es -- 32=2*2*2*2*2 y 2+2+2+2+2 = 2*(3+2); 330 también los es ya qu su -- factorización es 330=2*3*5*11 y 2+3+5+(1+1)=2*(3+3+0). -- -- En este ejercicio mostramos relaciones entre el 2013 y los números -- 2-Smith. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.1. Definir la función -- digitos :: Integer -> [Integer] -- tal que (digitos n) es la lista de los dígitos de n. Por ejemplo, -- digitos 32527 == [3,2,5,2,7] -- --------------------------------------------------------------------- digitos :: Integer -> [Integer] digitos n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.2. Definir la función -- sumaDigitos :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDigitos n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo, -- sumaDigitos 32527 == 19 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDigitos :: Integer -> Integer sumaDigitos n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.3.. Definir la función -- es2Smith :: Integer -> Bool -- tal que (es2Smith n) se verifica si n es un número 2-Smith. Por -- ejemplo, -- es2Smith 32 == True -- es2Smith 33 == False -- --------------------------------------------------------------------- es2Smith :: Integer -> Bool es2Smith n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.4. Comprobar que 2013 es un número 2-Smith. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.5. Definir la función -- suc2Smith :: [Integer] -- tal que suc2Smith es la sucesión de los números 2-Smith. Por -- ejemplo, -- take 7 suc2Smith == [32,42,60,70,104,152,231] -- --------------------------------------------------------------------- suc2Smith :: [Integer] suc2Smith = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.6. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de números -- 2-Smith? ¿cuál es el anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- El cálculo es -- ghci> length [n | n <- takeWhile (<=2013) suc2Smith, esfenico n] -- 13 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.8. ¿Cuál es el primer número 2-Smith que es triesfénico? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. [Números de Murthy] Un número de Murthy es un número -- natural n tal que n es múltiplo de 3 construido con los dígitos 0, 1, -- 2 y 3. Por ejemplo, 1020 es un número de Murthy -- -- En este ejercicio mostramos relaciones entre el 2013 y los números -- de Murthy. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.1. Definir la función -- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool -- tal que (subconjunto xs ys) se verifica si xs es un subconjunto de -- xs. Por ejemplo, -- subconjunto [2,3,2,1] [1..4] == True -- subconjunto [2,3,2,6] [1..4] == False -- --------------------------------------------------------------------- subconjunto :: Eq a => [a] -> [a] -> Bool subconjunto xs ys = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.2. Definir la función -- nMurthy :: Integer -> Bool -- tal que (nMurthy n) se verifica si n es un número de Murthy. Por -- ejemplo, -- nMurthy 1020 == True -- nMurthy 1021 == False -- nMurthy 1050 == False -- --------------------------------------------------------------------- nMurthy :: Integer -> Bool nMurthy n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.3. Comprobar que 2013 es un número de Murthy -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.4. Definir la función -- sucMurthy :: [Integer] -- tal que sucMurthy es la sucesión de los números de Murthy. Por -- ejemplo, -- take 8 sucMurthy == [0,3,12,21,30,33,102,111] -- --------------------------------------------------------------------- sucMurthy :: [Integer] sucMurthy = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11.5. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de números -- de Murthy? ¿cuál es el anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. [Cuadrados en base 6] En este ejercicio mostramos -- relaciones entre el 2013 y los cuadrados escritos en base 6. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.1. Definir la función -- listaNumero :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumero xs) es el número formado por los dígitos xs (en -- orden inverso). Por ejemplo, -- listaNumero [5] == 5 -- listaNumero [7,4,3,1] == 1347 -- listaNumero [1,0,0] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- listaNumero :: [Integer] -> Integer listaNumero xs = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.2. Definir la función -- enBase6 :: Integer -> Integer -- tal que (enBase6 n) es el número n en base 6. Por ejemplo, -- enBase6 5 == 5 -- enBase6 6 == 10 -- enBase6 8 == 12 -- --------------------------------------------------------------------- enBase6 :: Integer -> Integer enBase6 n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.3. Definir la función -- cuadradosEnBase6 :: [Integer] -- cuadradosEnBase6 es la lista de los cuadrados escritos en base 6. Por -- ejemplo, -- take 9 cuadradosEnBase6 == [0,1,4,13,24,41,100,121,144] -- --------------------------------------------------------------------- cuadradosEnBase6 :: [Integer] cuadradosEnBase6 = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.4. Comprobar que 2013 es un cuadrado escrito en base 6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12.5. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de los -- cuadrados escritos en base 6? ¿cuál es el anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13 [Fibonacci a partir de 1 y 22]. La sucesión de Fibonacci -- a partir de 1 y 22 es -- 1, 22, 23, 45, 68, 113, 181, ... -- es decir, se empieza en 1 y 22 y se continúa sumando los dos -- anteriores. -- -- En este ejercicio mostramos relaciones entre el 2013 y la sucesión de -- Fibonacci a partir de 1 y 22. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.1. Definir la función -- fibonacci_1_22 :: Integer -> Integer -- tal que (fibonacci_1_22 n) es el n-esimo término de la sucesión de -- Fibonacci a partir de 1 y 22. Por ejemplo, -- fibonacci_1_22 5 == 68 -- --------------------------------------------------------------------- fibonacci_1_22 :: Integer -> Integer fibonacci_1_22 = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.2. Definir la función -- sucFib_1_22 :: [Integer] -- tal que (sucFib_1_22 n) es la sucesión de Fibonacci a partir de 1 y -- 22. Por ejemplo, -- take 9 sucFib_1_22 == [1,22,23,45,68,113,181,294,475] -- --------------------------------------------------------------------- sucFib_1_22 :: [Integer] sucFib_1_22 = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.3. Comprobar que 2013 es un término de la sucesión de -- Fibonacci a partir de 1 y 22 -- --------------------------------------------------------------------- -- La comprobación es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.4. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de los -- términos de la sucesión de Fibonacci que comienza con 1 y 22? ¿cuál -- es el anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- sumasDe3Primos :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] -- tal que (sumasDe3Primos n) es la lista de ternas de primos (x,y,z) -- tales que x+y+z es igual a n. Por ejemplo, -- sumasDe3Primos 11 == [(2,2,7),(3,3,5)] -- sumasDe3Primos 12 == [(2,3,7),(2,5,5)] -- ¿De cuántas maneras se puede expresar 2013 como suma de 3 primos? -- --------------------------------------------------------------------- sumasDe3Primos :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)] sumasDe3Primos n = undefined -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. [Dígitos distintos] Una propiedad del 2013 es que sus -- dígitos son distintos. -- -- En este ejercicio mostramos relaciones entre el 2013 y los años con -- dígitos distintos. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15.1. Definir la función -- distintos :: Eq a => [a] -> Bool -- tal que (distintos xs) se verifica si todos los elementos de xs son -- distintos. Por ejemplo, -- distintos [3,2,5,7] == True -- distintos [3,2,5,2] == False -- --------------------------------------------------------------------- distintos :: Eq a => [a] -> Bool distintos = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15.2. Definir la función -- digitosDistintos :: Integer -> Bool -- tal que (digitosDistintos n) se verifica si todos los dígitos de n -- son distintos. Por ejemplo, -- digitosDistintos 3257 == True -- digitosDistintos 3252 == False -- --------------------------------------------------------------------- digitosDistintos :: Integer -> Bool digitosDistintos n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15.3. Definir la función -- sucDigitosDistintos :: [Integer] -- tal que sucDigitosDistintos es la sucesión de los números con todos -- sus dígitos distintos. Por ejemplo, -- ghci> take 10 [n | n <- sucDigitosDistintos, n > 119] -- [120,123,124,125,126,127,128,129,130,132] -- --------------------------------------------------------------------- sucDigitosDistintos :: [Integer] sucDigitosDistintos = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15.4. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de los -- números con todos sus dígitos distintos? ¿cuál es el anterior? ¿y el -- siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. [Dígitos distintos] Una propiedad del 2013 es que sus -- dígitos son distintos y consecutivos (es decir la lista ordenada de -- sus dígitos es una lista de números consecutivos). -- -- En este ejercicio mostramos relaciones entre el 2013 y los años con -- dígitos distintos y consecutivos -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.1. Definir la función -- distintosConsecutivos :: [Integer] -> Bool -- tal que (distintosConsecutivos xs) se verifica si todos los elementos -- de xs son distintos y consecutivos. Por ejemplo, -- distintosConsecutivos [3,2,5,4] == True -- distintosConsecutivos [3,2,5,7] == False -- distintosConsecutivos [3,2,5,2] == False -- --------------------------------------------------------------------- distintosConsecutivos :: [Integer] -> Bool distintosConsecutivos xs = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.2. Definir la función -- digitosDistintosConsecutivos :: Integer -> Bool -- tal que (digitosDistintosConsecutivos n) se verifica si todos los -- dígitos de n son distintos y consecutivos. Por ejemplo, -- digitosDistintosConsecutivos 3254 == True -- digitosDistintosConsecutivos 3257 == False -- digitosDistintosConsecutivos 3252 == False -- --------------------------------------------------------------------- digitosDistintosConsecutivos :: Integer -> Bool digitosDistintosConsecutivos n = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.3. Definir la función -- sucDigitosDistintosConsecutivos :: [Integer] -- tal que sucDigitosDistintosConsecutivos es la sucesión de los números -- con todos sus dígitos distintosy consecutivos. Por ejemplo, -- ghci> take 10 [n | n <- sucDigitosDistintosConsecutivos, n > 119] -- [120,123,132,201,210,213,231,234,243,312] -- --------------------------------------------------------------------- sucDigitosDistintosConsecutivos :: [Integer] sucDigitosDistintosConsecutivos = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.4. ¿Qué posición ocupa el 2013 en la sucesión de los -- números con todos sus dígitos distintos y consecutivos? ¿cuál es el -- anterior? ¿y el siguiente? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. [Caracterizaciones de 2013] En este ejercicio se -- presentan caracterizaciones del 2013 basadas en los ejercicios -- anteriores. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.1. Definir la función -- pertenece :: Ord a => a -> [a] -> Bool -- tal que (pertenece x ys) se verifica si x pertenece a ys. Por -- ejemplo, -- pertenece 10 [0,2..] == True -- pertenece 11 [0,2..] == False -- --------------------------------------------------------------------- pertenece :: Ord a => a -> [a] -> Bool pertenece x ys = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.2. Definir la función -- interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (interseccion xs ys) es la intersección de xs e ys. Por -- ejemplo, -- interseccion [2..10] [0,2..] == [2,4,6,8,10] -- --------------------------------------------------------------------- interseccion :: Ord a => [a] -> [a] -> [a] interseccion xs ys = undefined -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.3. ¿Cuál es el primer número que Haga que es -- triesfénico? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.4. ¿Cuál es el primer número que Haga que es un número -- 2-Smith? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.5. ¿Cuál es el primer número que Haga que es un número -- de Murthy? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.6. ¿Cuál es el primer número que Haga que es un -- cuadradro escrito en base 6? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.7. ¿Cuál es el primer número triesfénico que es un -- número 2-Smith? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.8. ¿Cuál es el primer número triesfénico que es un -- número de Murthy? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.9. ¿Cuál es el primer número triesfénico que es un -- cuadrado escrito en base 6? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.10. ¿Cuál es el primer número triesfénico cuyos dígitos -- son distintos y consecutivos? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17.11. ¿Cuál es el primer número 2-Smith cuyos dígitos son -- distintos y consecutivos? -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- --------------------------------------------------------------------- -- § Referencias -- -- --------------------------------------------------------------------- -- * Potencias de 2013. -- En http://goo.gl/Ccdni y http://goo.gl/5baU6 -- * 2013 en factoriales. -- En http://goo.gl/cAepr -- * 2013 en potencias de 2. -- En http://goo.gl/xevTq -- * Números de Haga. -- En http://oeis.org/A020700 y http://goo.gl/5B9zG -- * Números esfénicos. -- En http://goo.gl/cSIYD http://oeis.org/A007304 y http://goo.gl/jw3ev -- * Números biesfénicos. -- En http://oeis.org/A215217 -- * Números triesfénicos. -- En http://oeis.org/A066509 y http://goo.gl/jw3ev -- * Números 2-Smith. -- En http://oeis.org/A104390 y http://goo.gl/jw3ev -- * Números de Murthy. -- En http://oeis.org/A061819 -- * Cuadrados en base 6. -- En http://oeis.org/A001741 -- * Sucesión de Fibonacci a partir de 1 y 22. -- En http://oeis.org/A022392 |