I1M2012: Operaciones con el TAD de los polinomios en Haskell (2)
En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha continuado la resolución de los ejercicios de la relación 24. El objetivo de esta relación es ampliar el conjunto de operaciones
sobre polinomios definidas utilizando las implementaciones del TAD de
polinomio estudiadas en el tema 21. Además, en algunos ejemplos de usan polinomios con coeficientes racionales. En Haskell, el número racional x/y se representa por x%y. El TAD de los números racionales está definido en el módulo Data.Ratio.
En los ejercicios se usan las siguientes librerías, estudiadas en el tema 21,
- PolRepTDA: Implementación de los polinomios mediante tipos de datos algebraicos.
- PolRepDispersa: Implementación de los polinomios mediante listas dispersas.
- PolRepDensa: Implementación de los polinomios mediante listas densas.
- PolOperaciones: Operaciones con el TAD de los polinomios.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
Haskell
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import PolOperaciones import Test.QuickCheck import Data.Ratio -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- creaPolDispersa :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a -- tal que (creaPolDispersa xs) es el polinomio cuya representación -- dispersa es xs. Por ejemplo, -- creaPolDispersa [7,0,0,4,0,3] == 7*x^5 + 4*x^2 + 3 -- --------------------------------------------------------------------- creaPolDispersa :: (Num a, Eq a) => [a] -> Polinomio a creaPolDispersa [] = polCero creaPolDispersa (x:xs) = consPol (length xs) x (creaPolDispersa xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- creaPolDensa :: (Num a, Eq a) => [(Int,a)] -> Polinomio a -- tal que (creaPolDensa xs) es el polinomio cuya representación -- densa es xs. Por ejemplo, -- creaPolDensa [(5,7),(4,2),(3,0)] == 7*x^5 + 2*x^4 -- --------------------------------------------------------------------- creaPolDensa :: (Num a, Eq a) => [(Int,a)] -> Polinomio a creaPolDensa [] = polCero creaPolDensa ((n,a):ps) = consPol n a (creaPolDensa ps) -- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. En el resto de la sucesión se usará en los ejemplos los -- los polinomios que se definen a continuación. -- --------------------------------------------------------------------- pol1, pol2, pol3 :: (Num a, Eq a) => Polinomio a pol1 = creaPolDensa [(5,1),(2,5),(1,4)] pol2 = creaPolDispersa [2,3] pol3 = creaPolDensa [(7,2),(4,5),(2,5)] pol4, pol5, pol6 :: Polinomio Rational pol4 = creaPolDensa [(4,3),(2,5),(0,3)] pol5 = creaPolDensa [(2,6),(1,2)] pol6 = creaPolDensa [(2,8),(1,14),(0,3)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- densa :: Num a => Polinomio a -> [(Int,a)] -- tal que (densa p) es la representación densa del polinomio p. Por -- ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- densa pol1 == [(5,1),(2,5),(1,4)] -- --------------------------------------------------------------------- densa :: Num a => Polinomio a -> [(Int,a)] densa p | esPolCero p = [] | otherwise = (grado p, coefLider p) : densa (restoPol p) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- densaAdispersa :: Num a => [(Int,a)] -> [a] -- tal que (densaAdispersa ps) es la representación dispersa del -- polinomio cuya representación densa es ps. Por ejemplo, -- densaAdispersa [(5,1),(2,5),(1,4)] == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- densaAdispersa :: Num a => [(Int,a)] -> [a] densaAdispersa [] = [] densaAdispersa [(n,a)] = a : replicate n 0 densaAdispersa ((n,a):(m,b):ps) = a : (replicate (n-m-1) 0) ++ densaAdispersa ((m,b):ps) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- dispersa :: Num a => Polinomio a -> [a] -- tal que (dispersa p) es la representación dispersa del polinomio -- p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- dispersa pol1 == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- dispersa :: Num a => Polinomio a -> [a] dispersa = densaAdispersa . densa -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- coeficiente :: Num a => Int -> Polinomio a -> a -- tal que (coeficiente k p) es el coeficiente del término de grado k -- del polinomio p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- coeficiente 2 pol1 == 5 -- coeficiente 3 pol1 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- coeficiente :: Num a => Int -> Polinomio a -> a coeficiente k p | k == n = coefLider p | k > grado (restoPol p) = 0 | otherwise = coeficiente k (restoPol p) where n = grado p -- Otra definición equivalente es coeficiente' :: Num a => Int -> Polinomio a -> a coeficiente' k p = busca k (densa p) where busca k ps = head ([a | (n,a) <- ps, n == k] ++ [0]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- coeficientes :: Num a => Polinomio a -> [a] -- tal que (coeficientes p) es la lista de los coeficientes del -- polinomio p. Por ejemplo, -- pol1 == x^5 + 5*x^2 + 4*x -- coeficientes pol1 == [1,0,0,5,4,0] -- --------------------------------------------------------------------- coeficientes :: Num a => Polinomio a -> [a] coeficientes p = [coeficiente k p | k <-[n,n-1..0]] where n = grado p -- Una definición equivalente es coeficientes' :: Num a => Polinomio a -> [a] coeficientes' = dispersa -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- potencia :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a -- tal que (potencia p n) es la potencia n-ésima del polinomio p. Por -- ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- potencia pol2 2 == 4*x^2 + 12*x + 9 -- potencia pol2 3 == 8*x^3 + 36*x^2 + 54*x + 27 -- --------------------------------------------------------------------- potencia :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a potencia p 0 = polUnidad potencia p n = multPol p (potencia p (n-1)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Mejorar la definición de potencia definiendo la función -- potenciaM :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a -- tal que (potenciaM p n) es la potencia n-ésima del polinomio p, -- utilizando las siguientes propiedades: -- * Si n es par, entonces x^n = (x^2)^(n/2) -- * Si n es impar, entonces x^n = x * (x^2)^((n-1)/2) -- Por ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- potenciaM pol2 2 == 4*x^2 + 12*x + 9 -- potenciaM pol2 3 == 8*x^3 + 36*x^2 + 54*x + 27 -- --------------------------------------------------------------------- potenciaM :: (Num a, Eq a) => Polinomio a -> Int -> Polinomio a potenciaM p 0 = polUnidad potenciaM p n | even n = potenciaM (multPol p p) (n `div` 2) | otherwise = multPol p (potenciaM (multPol p p) ((n-1) `div` 2)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir la función -- integral :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (integral p) es la integral del polinomio p cuyos coefientes -- son números racionales. Por ejemplo, -- ghci> pol3 -- 2*x^7 + 5*x^4 + 5*x^2 -- ghci> integral pol3 -- 0.25*x^8 + x^5 + 1.6666666666666667*x^3 -- ghci> integral pol3 :: Polinomio Rational -- 1 % 4*x^8 + x^5 + 5 % 3*x^3 -- --------------------------------------------------------------------- integral :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a integral p | esPolCero p = polCero | otherwise = consPol (n+1) (b / (fromIntegral (n+1))) (integral r) where n = grado p b = coefLider p r = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Definir la función -- integralDef :: (Fractional t, Eq t) => Polinomio t -> t -> t -> t -- tal que (integralDef p a b) es la integral definida del polinomio p -- cuyos coefientes son números racionales. Por ejemplo, -- ghci> integralDef pol3 0 1 -- 2.916666666666667 -- ghci> integralDef pol3 0 1 :: Rational -- 35 % 12 -- --------------------------------------------------------------------- integralDef :: (Fractional t, Eq t) => Polinomio t -> t -> t -> t integralDef p a b = (valor q b) - (valor q a) where q = integral p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- multEscalar :: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (multEscalar c p) es el polinomio obtenido multiplicando el -- número c por el polinomio p. Por ejemplo, -- pol2 == 2*x + 3 -- multEscalar 4 pol2 == 8*x + 12 -- multEscalar (1%4) pol2 == 1 % 2*x + 3 % 4 -- --------------------------------------------------------------------- multEscalar :: (Num a, Eq a) => a -> Polinomio a -> Polinomio a multEscalar c p | esPolCero p = polCero | otherwise = consPol n (c*b) (multEscalar c r) where n = grado p b = coefLider p r = restoPol p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- cociente:: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (cociente p q) es el cociente de la división de p entre -- q. Por ejemplo, -- pol4 == 3 % 1*x^4 + 5 % 1*x^2 + 3 % 1 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- cociente pol4 pol5 == 1 % 2*x^2 + (-1) % 6*x + 8 % 9 -- --------------------------------------------------------------------- cociente:: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a cociente p q | n2 == 0 = multEscalar (1/a2) p | n1 < n2 = polCero | otherwise = consPol n' a' (cociente p' q) where n1 = grado p a1 = coefLider p n2 = grado q a2 = coefLider q n' = n1-n2 a' = a1/a2 p' = restaPol p (multPorTerm (creaTermino n' a') q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- resto:: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a -- tal que (resto p q) es el resto de la división de p entre q. Por -- ejemplo, -- pol4 == 3 % 1*x^4 + 5 % 1*x^2 + 3 % 1 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- resto pol4 pol5 == (-16) % 9*x + 3 % 1 -- --------------------------------------------------------------------- resto :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Polinomio a resto p q = restaPol p (multPol (cociente p q) q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. Definir la función -- divisiblePol :: (Fractional a, Eq a) => -- Polinomio a -> Polinomio a -> Bool -- tal que (divisiblePol p q) se verifica si el polinomio p es divisible -- por el polinomio q. Por ejemplo, -- pol6 == 8 % 1*x^2 + 14 % 1*x + 3 % 1 -- pol2 == 2*x + 3 -- pol5 == 6 % 1*x^2 + 2 % 1*x -- divisiblePol pol6 pol2 == True -- divisiblePol pol6 pol5 == False -- --------------------------------------------------------------------- divisiblePol :: (Fractional a, Eq a) => Polinomio a -> Polinomio a -> Bool divisiblePol p q = esPolCero (resto p q) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. El método de Horner para calcular el valor de un -- polinomio se basa en representarlo de una forma forma alernativa. Por -- ejemplo, para calcular el valor de -- a*x^5 + b*x^4 + c*x^3 + d*x^2 + e*x + f -- se representa como -- ((((a * x + b) * x + c) * x + d) * x + e) * x + f -- y se evalúa de dentro hacia afuera. -- -- Definir la función -- horner :: Num a => Polinomio a -> a -> a -- tal que (horner p x) es el valor del polinomio p al sustituir su -- variable por el número x. Por ejemplo, -- horner pol1 0 == 0 -- horner pol1 1 == 10 -- horner pol1 1.5 == 24.84375 -- horner pol1 (3%2) == 795 % 32 -- --------------------------------------------------------------------- horner :: Num a => Polinomio a -> a -> a horner p x = hornerAux (coeficientes p) 0 where hornerAux [] v = v hornerAux (a:as) v = hornerAux as (a+v*x) -- Una defininición equivalente por plegado es horner' :: Num a => Polinomio a -> a -> a horner' p x = (foldr (\a b -> a + b*x) 0) (coeficientes p) |