I1M2012: Funciones de orden superior (4)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentando las soluciones de los ejercicios de la relación 15 (de funciones de orden superior).
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Esta relación tiene contiene ejercicios con funciones de orden -- superior y definiciones por plegado correspondientes al tema 7 cuyas -- transparencias se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-7.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Data.List import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, mediante recursión, la función -- inversaR :: [a] -> [a] -- tal que (inversaR xs) es la inversa de la lista xs. Por ejemplo, -- inversaR [3,5,2,4,7] == [7,4,2,5,3] -- --------------------------------------------------------------------- inversaR :: [a] -> [a] inversaR [] = [] inversaR (x:xs) = (inversaR xs) ++ [x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir, mediante plegado, la función -- inversaP :: [a] -> [a] -- tal que (inversaP xs) es la inversa de la lista xs. Por ejemplo, -- inversaP [3,5,2,4,7] == [7,4,2,5,3] -- --------------------------------------------------------------------- inversaP :: [a] -> [a] inversaP = foldr f [] where f x y = y ++ [x] -- La definición anterior puede simplificarse a inversaP2 :: [a] -> [a] inversaP2 = foldr f [] where f x = (++ [x]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir, por recursión con acumulador, la función -- inversaR' :: [a] -> [a] -- tal que (inversaR' xs) es la inversa de la lista xs. Por ejemplo, -- inversaR' [3,5,2,4,7] == [7,4,2,5,3] -- --------------------------------------------------------------------- inversaR' :: [a] -> [a] inversaR' xs = inversaAux [] xs where inversaAux ys [] = ys inversaAux ys (x:xs) = inversaAux (x:ys) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. La función de plegado foldl está definida por -- foldl :: (a -> b -> a) -> a -> [b] -> a -- foldl f ys xs = aux ys xs -- where aux ys [] = ys -- aux ys (x:xs) = aux (f ys x) xs -- Definir, mediante plegado con foldl, la función -- inversaP' :: [a] -> [a] -- tal que (inversaP' xs) es la inversa de la lista xs. Por ejemplo, -- inversaP' [3,5,2,4,7] == [7,4,2,5,3] -- --------------------------------------------------------------------- inversaP' :: [a] -> [a] inversaP' = foldl f [] where f ys x = x:ys -- La definición anterior puede simplificarse lambda: inversaP'2 :: [a] -> [a] inversaP'2= foldl (\ys x -> x:ys) [] -- La definición puede simplificarse usando flip: inversaP'3 :: [a] -> [a] inversaP'3 = foldl (flip(:)) [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.5. Comprobar con QuickCheck que las funciones reverse, -- inversaP e inversaP' son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_inversa :: Eq a => [a] -> Bool prop_inversa xs = inversaP xs == ys && inversaP' xs == ys where ys = reverse xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_inversa -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.6. Comparar la eficiencia de inversaP e inversaP' -- calculando el tiempo y el espacio que usado en evaluar las siguientes -- expresiones: -- head (inversaP [1..100000]) -- head (inversaP' [1..100000]) -- --------------------------------------------------------------------- -- La sesión es -- ghci> :set +s -- ghci> head (inversaP [1..100000]) -- 100000 -- (0.41 secs, 20882460 bytes) -- ghci> head (inversaP' [1..100000]) -- 1 -- (0.00 secs, 525148 bytes) -- ghci> :unset +s -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir, por recursión con acumulador, la función -- dec2entR :: [Int] -> Int -- tal que (dec2entR xs) es el entero correspondiente a la expresión -- decimal xs. Por ejemplo, -- dec2entR [2,3,4,5] == 2345 -- --------------------------------------------------------------------- dec2entR :: [Int] -> Int dec2entR xs = dec2entR' 0 xs where dec2entR' a [] = a dec2entR' a (x:xs) = dec2entR' (10*a+x) xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir, por plegado con foldl, la función -- dec2entP :: [Int] -> Int -- tal que (dec2entP xs) es el entero correspondiente a la expresión -- decimal xs. Por ejemplo, -- dec2entP [2,3,4,5] == 2345 -- --------------------------------------------------------------------- dec2entP :: [Int] -> Int dec2entP = foldl f 0 where f a x = 10*a+x -- La definición puede simplificarse usando lambda: dec2entP' :: [Int] -> Int dec2entP' = foldl (\a x -> 10*a+x) 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir por recursión la función -- sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b -- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la -- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaR (*2) [3,5,10] == 36 -- sumaR (/10) [3,5,10] == 1.8 -- --------------------------------------------------------------------- sumaR :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b sumaR f [] = 0 sumaR f (x:xs) = f x + sumaR f xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir por plegado la función -- sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b -- tal que (suma f xs) es la suma de los valores obtenido aplicando la -- función f a lo elementos de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaP (*2) [3,5,10] == 36 -- sumaP (/10) [3,5,10] == 1.8 -- --------------------------------------------------------------------- sumaP :: Num b => (a -> b) -> [a] -> b sumaP f = foldr (\x y -> (f x) + y) 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Redefinir, por recursión, la función map. Por ejemplo, -- mapR (+2) [1,7,3] == [3,9,5] -- --------------------------------------------------------------------- mapR :: (a -> b) -> [a] -> [b] mapR f [] = [] mapR f (x:xs) = f x : mapR f xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Redefinir, usando foldr, la función map. Por ejemplo, -- mapP (+2) [1,7,3] == [3,9,5] -- --------------------------------------------------------------------- mapP :: (a -> b) -> [a] -> [b] mapP f = foldr g [] where g x xs = f x : xs -- La definición por plegado usando lambda es mapP1 :: (a -> b) -> [a] -> [b] mapP1 f = foldr (\x y -> f x:y) [] -- Otra definición es mapP2 :: (a -> b) -> [a] -> [b] mapP2 f = foldr ((:) . f) [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Redefinir, usando foldr, la función filter. Por -- ejemplo, -- filterR (<4) [1,7,3,2] => [1,3,2] -- --------------------------------------------------------------------- filterR :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] filterR p [] = [] filterR p (x:xs) | p x = x : filterR p xs | otherwise = filterR p xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Redefinir, usando foldr, la función filter. Por -- ejemplo, -- filterP (<4) [1,7,3,2] => [1,3,2] -- --------------------------------------------------------------------- filterP :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] filterP p = foldr g [] where g x y | p x = x:y | otherwise = y -- La definición por plegado y lambda es filterP1 :: (a -> Bool) -> [a] -> [a] filterP1 p = foldr (\x y -> if (p x) then (x:y) else y) [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Definir, mediante recursión, la función -- sumllR :: Num a => [[a]] -> a -- tal que (sumllR xss) es la suma de las sumas de las listas de xss. -- Por ejemplo, -- sumllR [[1,3],[2,5]] == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumllR :: Num a => [[a]] -> a sumllR [] = 0 sumllR (xs:xss) = sum xs + sumllR xss -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir, mediante plegado, la función -- sumllP :: Num a => [[a]] -> a -- tal que (sumllP xss) es la suma de las sumas de las listas de xss. Por -- ejemplo, -- sumllP [[1,3],[2,5]] == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumllP :: Num a => [[a]] -> a sumllP = foldr f 0 where f xs n = sum xs + n -- La definición anterior puede simplificarse usando lambda sumllP' :: Num a => [[a]] -> a sumllP' = foldr (\xs n -> sum xs + n) 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Definir, mediante recursión con acumulador, la función -- sumllA :: Num a => [[a]] -> a -- tal que (sumllA xss) es la suma de las sumas de las listas de xss. Por -- ejemplo, -- sumllA [[1,3],[2,5]] == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumllA :: Num a => [[a]] -> a sumllA xs = aux 0 xs where aux a [] = a aux a (xs:xss) = aux (a + sum xs) xss -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.4. Definir, mediante plegado con foldl, la función -- sumllAP :: Num a => [[a]] -> a -- tal que (sumllAP xss) es la suma de las sumas de las listas de xss. Por -- ejemplo, -- sumllAP [[1,3],[2,5]] == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumllAP :: Num a => [[a]] -> a sumllAP = foldl (\a xs -> a + sum xs) 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. Definir, mediante recursión, la función -- borraR :: Eq a => a -> a -> [a] -- tal que (borraR y xs) es la lista obtenida borrando las ocurrencias de -- y en xs. Por ejemplo, -- borraR 5 [2,3,5,6] == [2,3,6] -- borraR 5 [2,3,5,6,5] == [2,3,6] -- borraR 7 [2,3,5,6,5] == [2,3,5,6,5] -- --------------------------------------------------------------------- borraR :: Eq a => a -> [a] -> [a] borraR z [] = [] borraR z (x:xs) | z == x = borraR z xs | otherwise = x : borraR z xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Definir, mediante plegado, la función -- borraP :: Eq a => a -> a -> [a] -- tal que (borraP y xs) es la lista obtenida borrando las ocurrencias de -- y en xs. Por ejemplo, -- borraP 5 [2,3,5,6] == [2,3,6] -- borraP 5 [2,3,5,6,5] == [2,3,6] -- borraP 7 [2,3,5,6,5] == [2,3,5,6,5] -- --------------------------------------------------------------------- borraP :: Eq a => a -> [a] -> [a] borraP z = foldr f [] where f x y | z == x = y | otherwise = x:y -- La definición por plegado con lambda es es borraP' :: Eq a => a -> [a] -> [a] borraP' z = foldr (\x y -> if z==x then y else x:y) [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Definir, mediante recursión, la función -- diferenciaR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (diferenciaR xs ys) es la diferencia del conjunto xs e ys; es -- decir el conjunto de los elementos de xs que no pertenecen a ys. Por -- ejemplo, -- diferenciaR [2,3,5,6] [5,2,7] == [3,6] -- --------------------------------------------------------------------- diferenciaR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferenciaR xs ys = aux xs xs ys where aux a xs [] = a aux a xs (y:ys) = aux (borraR y a) xs ys -- La definición, para aproximarse al patrón foldr, se puede escribir como diferenciaR' :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferenciaR' xs ys = aux xs xs ys where aux a xs [] = a aux a xs (y:ys) = aux (flip borraR a y) xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Definir, mediante plegado con foldl, la función -- diferenciaP :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (diferenciaP xs ys) es la diferencia del conjunto xs e ys; es -- decir el conjunto de los elementos de xs que no pertenecen a ys. Por -- ejemplo, -- diferenciaP [2,3,5,6] [5,2,7] == [3,6] -- --------------------------------------------------------------------- diferenciaP :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferenciaP xs ys = foldl (flip borraR) xs ys -- La definición anterior puede simplificarse a diferenciaP' :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferenciaP' = foldl (flip borraR) -- ------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. Definir mediante plegado la función -- producto :: Num a => [a] -> a -- tal que (producto xs) es el producto de los elementos de la lista -- xs. Por ejemplo, -- producto [2,1,-3,4,5,-6] == 720 -- --------------------------------------------------------------------- producto :: Num a => [a] -> a producto = foldr (*) 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Definir mediante plegado la función -- productoPred :: Num a => (a -> Bool) -> [a] -> a -- tal que (productoPred p xs) es el producto de los elementos de la -- lista xs que verifican el predicado p. Por ejemplo, -- productoPred even [2,1,-3,4,-5,6] == 48 -- --------------------------------------------------------------------- productoPred :: Num a => (a -> Bool) -> [a] -> a productoPred p = foldr (\x y -> if p x then x*y else y) 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.3. Definir la función -- productoPos :: (Num a, Ord a) => [a] -> a -- tal que (productoPos xs) esel producto de los elementos estríctamente -- positivos de la lista xs. Por ejemplo, -- productoPos [2,1,-3,4,-5,6] == 48 -- --------------------------------------------------------------------- productoPos :: (Num a, Ord a) => [a] -> a productoPos = productoPred (>0) -- ------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.1. Se denomina cola de una lista xs a una sublista no -- vacía de xs formada por un elemento y los siguientes hasta el -- final. Por ejemplo, [3,4,5] es una cola de la lista [1,2,3,4,5]. -- -- Definir la función -- colas :: [a] -> [[a]] -- tal que (colas xs) es la lista de las colas de la lista xs. Por -- ejemplo, -- colas [] == [[]] -- colas [1,2] == [[1,2],[2],[]] -- colas [4,1,2,5] == [[4,1,2,5],[1,2,5],[2,5],[5],[]] -- --------------------------------------------------------------------- colas :: [a] -> [[a]] colas [] = [[]] colas (x:xs) = (x:xs) : colas xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.2. Comprobar con QuickCheck que las funciones colas y -- tails son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_colas :: [Int] -> Bool prop_colas xs = colas xs == tails xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_colas -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.3. Se denomina cabeza de una lista xs a una sublista no -- vacía de la formada por el primer elemento y los siguientes hasta uno -- dado. Por ejemplo, [1,2,3] es una cabeza de [1,2,3,4,5]. -- -- Definir, por recursión, la función -- cabezas :: [a] -> [[a]] -- tal que (cabezas xs) es la lista de las cabezas de la lista xs. Por -- ejemplo, -- cabezas [] == [[]] -- cabezas [1,4] == [[],[1],[1,4]] -- cabezas [1,4,5,2,3] == [[],[1],[1,4],[1,4,5],[1,4,5,2],[1,4,5,2,3]] -- --------------------------------------------------------------------- cabezas :: [a] -> [[a]] cabezas [] = [[]] cabezas (x:xs) = [] : [x:ys | ys <- cabezas xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.4. Definir, por plegado, la función -- cabezasP :: [a] -> [[a]] -- tal que (cabezasP xs) es la lista de las cabezas de la lista xs. Por -- ejemplo, -- cabezasP [] == [[]] -- cabezasP [1,4] == [[],[1],[1,4]] -- cabezasP [1,4,5,2,3] == [[],[1],[1,4],[1,4,5],[1,4,5,2],[1,4,5,2,3]] -- --------------------------------------------------------------------- cabezasP :: [a] -> [[a]] cabezasP = foldr (\x y -> [x]:[x:ys | ys <- y]) [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.5. Definir, mediantes funciones de orden superior, la -- función -- cabezasS :: [a] -> [[a]] -- tal que (cabezasS xs) es la lista de las cabezas de la lista xs. Por -- ejemplo, -- cabezasS [] == [[]] -- cabezasS [1,4] == [[],[1],[1,4]] -- cabezasS [1,4,5,2,3] == [[],[1],[1,4],[1,4,5],[1,4,5,2],[1,4,5,2,3]] -- --------------------------------------------------------------------- cabezasS :: [a] -> [[a]] cabezasS xs = reverse (map reverse (colas (reverse xs))) -- La anterior definición puede escribirse sin argumentos como cabezasS' :: [a] -> [[a]] cabezasS' = reverse . map reverse . (colas . reverse) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.6. Comprobar con QuickCheck que las funciones cabezas y -- inits son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_cabezas :: [Int] -> Bool prop_cabezas xs = cabezas xs == inits xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_cabezas -- +++ OK, passed 100 tests. |