I1M2012: Ejercicios sobre matrices en Haskell (2)

En la clase hoy Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos continuando comentado las soluciones de los ejercicios sobre vectores y matrices en Haskell de la relación 26. Concretamente, de los ejercicios para

calcular la traspuesta de una matriz (ej. 14),
decidir si una matriz es cuadrada (ej. 15),
decidir si una matriz es simétrica (ej. 16),
calcular la diagonal principal de una matriz (ej. 17),
calcular la diagonal secundaria de una matriz (ej. 18) y
calcular la submatriz obtenida suprimiendo una fila y una columna (ej. 19).

Los ejercicios de la relación, junto con las soluciones de los 19 primeros, se muestran a continuación

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-- Introducción                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es hacer ejercicios sobre vectores y
-- matrices con el tipo de tablas de las tablas, definido en el módulo
-- Data.Array y explicado en el tema 18 cuyas transparencias se
-- encuentran en 
--    http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-18t.pdf
-- Además, en algunos ejemplos de usan matrices con números racionales.
-- En Haskell, el número racional x/y se representa por x%y. El TAD de
-- los números racionales está definido en el módulo Data.Ratio.
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.Array
import Data.Ratio

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Tipos de los vectores y de las matrices                            --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Los vectores son tablas cuyos índices son números naturales.
type Vector a = Array Int a
 
-- Las matrices son tablas cuyos índices son pares de números
-- naturales. 
type Matriz a = Array (Int,Int) a

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Operaciones básicas con matrices                                   --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    listaVector :: Num a => [a] -> Vector a
-- tal que (listaVector xs) es el vector correspondiente a la lista
-- xs. Por ejemplo, 
--    ghci> listaVector [3,2,5]
--    array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,5)]
-- ---------------------------------------------------------------------

listaVector :: Num a => [a] -> Vector a
listaVector xs = listArray (1,n) xs
    where n = length xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
--    listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a
-- tal que (listaMatriz xss) es la matriz cuyas filas son los elementos
-- de xss. Por ejemplo,
--    ghci> listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]
--    array ((1,1),(2,3)) [((1,1),1),((1,2),3),((1,3),5),
--                         ((2,1),2),((2,2),4),((2,3),7)]
-- ---------------------------------------------------------------------

listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a
listaMatriz xss = listArray ((1,1),(m,n)) (concat xss)
    where m = length xss
          n = length (head xss)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
--    numFilas :: Num a => Matriz a -> Int
-- tal que (numFilas m) es el número de filas de la matriz m. Por
-- ejemplo,
--    numFilas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  2
-- ---------------------------------------------------------------------

numFilas :: Num a => Matriz a -> Int
numFilas = fst . snd . bounds

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    numColumnas :: Num a => Matriz a -> Int
-- tal que (numColumnas m) es el número de columnas de la matriz
-- m. Por ejemplo,
--    numColumnas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  3
-- ---------------------------------------------------------------------

numColumnas:: Num a => Matriz a -> Int
numColumnas = snd . snd . bounds

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
--    dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int)
-- tal que (dimension m) es el número de columnas de la matriz m. Por
-- ejemplo, 
--    dimension (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  (2,3)
-- ---------------------------------------------------------------------

dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int)
dimension p = (numFilas p, numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    separa :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (separa n xs) es la lista obtenida separando los elementos de
-- xs en grupos de n elementos (salvo el último que puede tener menos de
-- n elementos). Por ejemplo, 
--    separa 3 [1..11]  ==  [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11]]
-- ---------------------------------------------------------------------

separa :: Int -> [a] -> [[a]]
separa _ [] = []
separa n xs = take n xs : separa n (drop n xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
--    matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]]
-- tal que (matrizLista x) es la lista de las filas de la matriz x. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let m = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> m
--    array ((1,1),(2,3)) [((1,1),5),((1,2),1),((1,3),0),
--                         ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6)]
--    ghci> matrizLista m
--    [[5,1,0],[3,2,6]]
-- ---------------------------------------------------------------------

matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]]
matrizLista p = separa (numColumnas p) (elems p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    vectorLista :: Num a => Vector a -> [a]
-- tal que (vectorLista x) es la lista de los elementos del vector
-- v. Por ejemplo, 
--    ghci> let v = listaVector [3,2,5]
--    ghci> v
--    array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,5)]
--    ghci> vectorLista v
--    [3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

vectorLista :: Num a => Vector a -> [a]
vectorLista = elems 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Suma de matrices                                                   --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir la función
--    sumaMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (sumaMatrices x y) es la suma de las matrices x e y. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let m1 = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> let m2 = listaMatriz [[4,6,3],[1,5,2]]
--    ghci> matrizLista (sumaMatrices m1 m2)
--    [[9,7,3],[4,7,8]]
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a
sumaMatrices p q = 
    array ((1,1),(m,n)) [((i,j),p!(i,j)+q!(i,j)) | 
                         i <- [1..m], j <- [1..n]]
    where (m,n) = dimension p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
--    filaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a
-- tal que (filaMat i p) es el vector correspondiente a la fila i-ésima
-- de la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]]
--    ghci> filaMat 2 p
--    array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,6)]
--    ghci> vectorLista (filaMat 2 p)
--    [3,2,6]
-- ---------------------------------------------------------------------

filaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a
filaMat i p = array (1,n) [(j,p!(i,j)) | j <- [1..n]]
    where n = numColumnas p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir la función
--    columnaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a
-- tal que (columnaMat j p) es el vector correspondiente a la columna
-- j-ésima de la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]]
--    ghci> columnaMat 2 p
--    array (1,3) [(1,1),(2,2),(3,5)]
--    ghci> vectorLista (columnaMat 2 p)
--    [1,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------

columnaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a
columnaMat j p = array (1,m) [(i,p!(i,j)) | i <- [1..m]]
    where m = numFilas p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Producto de matrices                                               --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    prodEscalar :: Num a => Vector a -> Vector a -> a
-- tal que (prodEscalar v1 v2) es el producto escalar de los vectores v1
-- y v2. Por ejemplo,
--    ghci> let v = listaVector [3,1,10]
--    ghci> prodEscalar v v
--    110
-- ---------------------------------------------------------------------

prodEscalar :: Num a => Vector a -> Vector a -> a
prodEscalar v1 v2 = 
    sum [i*j | (i,j) <- zip (elems v1) (elems v2)]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
--    prodMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (prodMatrices p q) es el producto de las matrices p y q. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,1],[2,4]]
--    ghci> prodMatrices p p
--    array ((1,1),(2,2)) [((1,1),11),((1,2),7),((2,1),14),((2,2),18)]
--    ghci> matrizLista (prodMatrices p p)
--    [[11,7],[14,18]]
--    ghci> let q = listaMatriz [[7],[5]]
--    ghci> prodMatrices p q
--    array ((1,1),(2,1)) [((1,1),26),((2,1),34)]
--    ghci> matrizLista (prodMatrices p q)
--    [[26],[34]]
-- ---------------------------------------------------------------------

prodMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a
prodMatrices p q = 
    array ((1,1),(m,n))
          [((i,j), prodEscalar (filaMat i p) (columnaMat j q)) |
           i <- [1..m], j <- [1..n]]
    where m = numFilas p
          n = numColumnas q

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Traspuestas y simétricas                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    traspuesta :: Num a => Matriz a -> Matriz a
-- tal que (traspuesta p) es la traspuesta de la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> traspuesta p
--    array ((1,1),(3,2)) [((1,1),5),((1,2),3),
--                         ((2,1),1),((2,2),2),
--                         ((3,1),0),((3,2),6)]
--    ghci> matrizLista (traspuesta p)
--    [[5,3],[1,2],[0,6]]
-- ---------------------------------------------------------------------

traspuesta :: Num a => Matriz a -> Matriz a
traspuesta p = 
    array ((1,1),(n,m))
          [((i,j), p!(j,i)) | i <- [1..n], j <- [1..m]]
    where (m,n) = dimension p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir la función
--    esCuadrada :: Num a => Matriz a -> Bool
-- tal que (esCuadrada p) se verifica si la matriz p es cuadrada. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> esCuadrada p
--    False
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1],[3,2]]
--    ghci> esCuadrada q
--    True
-- ---------------------------------------------------------------------

esCuadrada :: Num a => Matriz a -> Bool
esCuadrada x = numFilas x == numColumnas x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Bool
-- tal que (esSimetrica p) se verifica si la matriz p es simétrica. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,7,2]]
--    ghci> esSimetrica p
--    True
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,4,2]]
--    ghci> esSimetrica q
--    False
-- ---------------------------------------------------------------------    

esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Bool
esSimetrica x = x == traspuesta x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Diagonales de una matriz                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir la función
--    diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a
-- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> diagonalPral p
--    array (1,2) [(1,5),(2,2)]
--    ghci> vectorLista (diagonalPral p)
--    [5,2]
-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a
diagonalPral p = array (1,n) [(i,p!(i,i)) | i <- [1..n]]
    where n = min (numFilas p) (numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a
-- tal que (diagonalSec p) es la diagonal secundaria de la matriz p. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> diagonalSec p
--    array (1,2) [(1,1),(2,3)]
--    ghci> vectorLista (diagonalSec p)
--    [1,3]
--    ghci> let q = traspuesta p
--    ghci> matrizLista q
--    [[5,3],[1,2],[0,6]]
--    ghci> vectorLista (diagonalSec q)
--    [3,1]
-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a
diagonalSec p = array (1,n) [(i,p!(i,n+1-i)) | i <- [1..n]]
    where n = min (numFilas p) (numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Submatrices                                                        --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (submatriz i j p) es la matriz obtenida a partir de la p
-- eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> submatriz 2 3 p
--    array ((1,1),(2,2)) [((1,1),5),((1,2),1),((2,1),4),((2,2),6)]
--    ghci> matrizLista (submatriz 2 3 p)
--    [[5,1],[4,6]]
-- ---------------------------------------------------------------------

submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
submatriz i j p = 
    array ((1,1), (m-1,n -1))
          [((k,l), p ! f k l) | k <- [1..m-1], l <- [1.. n-1]]
    where (m,n) = dimension p
          f k l | k < i  && l < j  = (k,l)
                | k >= i && l < j  = (k+1,l)
                | k < i  && l >= j = (k,l+1)
                | otherwise        = (k+1,l+1)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformaciones elementales                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Definir la función
--    intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando
-- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> intercambiaFilas 1 3 p
--    array ((1,1),(3,3)) [((1,1),4),((1,2),6),((1,3),9),
--                         ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6),
--                         ((3,1),5),((3,2),1),((3,3),0)]
--    ghci> matrizLista (intercambiaFilas 1 3 p)
--    [[4,6,9],[3,2,6],[5,1,0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
intercambiaFilas k l p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Definir la función
--    intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida
-- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> matrizLista (intercambiaColumnas 1 3 p)
--    [[0,1,5],[6,2,3],[9,6,4]]
-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
intercambiaColumnas k l p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Definir la función
--    multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (multFilaPor k x p) es a matriz obtenida multiplicando la
-- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> matrizLista (multFilaPor 2 3 p)
--    [[5,1,0],[9,6,18],[4,6,9]]
-- ---------------------------------------------------------------------

multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a
multFilaPor k x p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Definir la función
--    sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l
-- a la fila k d la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> matrizLista (sumaFilaFila 2 3 p)
--    [[5,1,0],[7,8,15],[4,6,9]]
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
sumaFilaFila k l p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función
--    sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila
-- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> matrizLista (sumaFilaPor 2 3 10 p)
--    [[5,1,0],[43,62,96],[4,6,9]]
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a
sumaFilaPor k l x p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Triangularización de matrices                                      --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 25. Definir la función
--    buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                        Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int
-- tal que (buscaIndiceDesde p j i) es el menor índice k, mayor o igual
-- que i, tal que el elemento de la matriz p en la posición (k,j) es no
-- nulo. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> buscaIndiceDesde p 3 2
--    Just 2
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> buscaIndiceDesde q 3 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int
buscaIndiceDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 26. Definir la función
--    buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                        Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a
-- tal que (buscaPivoteDesde p j i) es el elemento de la matriz p en la
-- posición (k,j) donde k es (buscaIndiceDesde p j i). Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> buscaPivoteDesde p 3 2
--    Just 6
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> buscaPivoteDesde q 3 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a
buscaPivoteDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 27. Definir la función
--    anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                            Int -> Int -> Matriz a -> Bool
-- tal que (anuladaColumnaDesde j i p) se verifica si todos los
-- elementos de la columna j de la matriz p desde i+1 en adelante son
-- nulos. Por ejemplo,
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> anuladaColumnaDesde q 3 2
--    True
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> anuladaColumnaDesde p 3 2
--    False
-- ---------------------------------------------------------------------

anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool
anuladaColumnaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 28. Definir la función
--    anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
--                             Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
-- tal que (anulaEltoColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida a partir
-- de p anulando el primer elemento de la columna j por debajo de la
-- fila i usando el elemento de la posición (i,j). Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[2,3,1],[5,0,5],[8,6,9]] :: Matriz Double
--    ghci> matrizLista (anulaEltoColumnaDesde p 2 1)
--    [[2.0,3.0,1.0],[5.0,0.0,5.0],[4.0,0.0,7.0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
                         Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
anulaEltoColumnaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 29. Definir la función
--    anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
--                         Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
-- tal que (anulaColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida anulando
-- todos los elementos de la columna j de la matriz p por debajo del la
-- posición (i,j) (se supone que el elemnto p_(i,j) es no nulo). Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[2,2,1],[5,4,5],[10,8,9]] :: Matriz Double
--    ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 2 1)
--    [[2.0,2.0,1.0],[1.0,0.0,3.0],[2.0,0.0,5.0]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[4,5],[2,7%2],[6,10]] 
--    ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 1 1)
--    [[4 % 1,5 % 1],[0 % 1,1 % 1],[0 % 1,5 % 2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
                     Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
anulaColumnaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Algoritmo de Gauss para triangularizar matrices                    --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 30. Definir la función
--    elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                                Matriz a -> Int -> Int -> [a]
-- tal que (elementosNoNulosColDesde p j i) es la lista de los elementos
-- no nulos de la columna j a partir de la fila i. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2],[5,1],[0,4]]
--    ghci> elementosNoNulosColDesde p 1 2
--    [5]
-- ---------------------------------------------------------------------

elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> [a]
elementosNoNulosColDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 31. Definir la función
--    existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                            Matriz a -> Int -> Int -> Bool
-- tal que (existeColNoNulaDesde p j i) se verifica si la matriz p tiene
-- una columna a partir de la j tal que tiene algún elemento no nulo por
-- debajo de la j; es decir, si la submatriz de p obtenida eliminando
-- las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas es no nula. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]
--    ghci> existeColNoNulaDesde p 2 2
--    False
--    ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]
--    ghci> existeColNoNulaDesde q 2 2
-- ---------------------------------------------------------------------
  
existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool
existeColNoNulaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 32. Definir la función
--    menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                                 Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int
-- tal que (menorIndiceColNoNulaDesde p j i) es el índice de la primera
-- columna, a partir de la j, en el que la matriz p tiene un elemento no
-- nulo a partir de la fila i. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde p 2 2
--    Just 2
--    ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde q 2 2
--    Just 3
--    ghci> let r = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde r 2 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
                             Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int
menorIndiceColNoNulaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 33. Definir la función
--    gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => 
--                Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
-- tal que (gauss p) es la matriz que en el que las i-1 primeras filas y
-- las j-1 primeras columnas son las de p y las restantes están
-- triangularizadas por el método de Gauss; es decir,
--    1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.
--    2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1
--       primeras columnas es nulas, entonces p.
--    3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo
--    3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene
--         algún elemento no nulo a partir de la fila i,
--    3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'
--         de p,
--    3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de
--         p1 tiene un elemento no nulo,
--    3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de
--         la matriz p1 y
--    3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la
--         columna j de p2 por debajo de la fila i.
-- Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]]
--    ghci> matrizLista (gaussAux p 2 2)
--    [[1.0,2.0,3.0],[1.0,2.0,4.0],[2.0,0.0,1.0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
gaussAux p i j = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 34. Definir la función
--    gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a
-- tal que (gauss p) es la triangularización de la matriz p por el método
-- de Gauss. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> gauss p
--    array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0),
--                         ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0),
--                         ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)]
--    ghci> matrizLista (gauss p)
--    [[1.0,3.0,2.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[3.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> matrizLista (gauss p)
--    [[3.0,2.0,3.0],[0.0,1.3333333333333335,3.0],[0.0,0.0,1.0]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> matrizLista (gauss p)
--    [[3 % 1,2 % 1,3 % 1],[0 % 1,4 % 3,3 % 1],[0 % 1,0 % 1,1 % 1]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]]
--    ghci> matrizLista (gauss p)
--    [[1.0,3.0,0.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a
gauss p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Determinante                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 35. Definir la función
--    determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a
-- tal que (determinante p) es el determinante de la matriz p. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> determinante p
--    0.0
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]]
--    ghci> determinante p
--    2.0
-- ---------------------------------------------------------------------

determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a
determinante p = undefined

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es hacer ejercicios sobre vectores y

-- matrices con el tipo de tablas de las tablas, definido en el módulo

-- Data.Array y explicado en el tema 18 cuyas transparencias se

-- encuentran en

-- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-18t.pdf

-- Además, en algunos ejemplos de usan matrices con números racionales.

-- En Haskell, el número racional x/y se representa por x%y. El TAD de

-- los números racionales está definido en el módulo Data.Ratio.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.Array

import Data.Ratio

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Tipos de los vectores y de las matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Los vectores son tablas cuyos índices son números naturales.

type Vector a = Array Int a

-- Las matrices son tablas cuyos índices son pares de números

-- naturales.

type Matriz a = Array (Int,Int) a

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Operaciones básicas con matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- listaVector :: Num a => [a] -> Vector a

-- tal que (listaVector xs) es el vector correspondiente a la lista

-- xs. Por ejemplo,

-- ghci> listaVector [3,2,5]

-- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,5)]

-- ---------------------------------------------------------------------

listaVector :: Num a => [a] -> Vector a

listaVector xs = listArray (1,n) xs

where n = length xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a

-- tal que (listaMatriz xss) es la matriz cuyas filas son los elementos

-- de xss. Por ejemplo,

-- ghci> listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]

-- array ((1,1),(2,3)) [((1,1),1),((1,2),3),((1,3),5),

-- ((2,1),2),((2,2),4),((2,3),7)]

-- ---------------------------------------------------------------------

listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a

listaMatriz xss = listArray ((1,1),(m,n)) (concat xss)

where m = length xss

n = length (head xss)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir la función

-- numFilas :: Num a => Matriz a -> Int

-- tal que (numFilas m) es el número de filas de la matriz m. Por

-- ejemplo,

-- numFilas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 2

-- ---------------------------------------------------------------------

numFilas :: Num a => Matriz a -> Int

numFilas = fst . snd . bounds

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- numColumnas :: Num a => Matriz a -> Int

-- tal que (numColumnas m) es el número de columnas de la matriz

-- m. Por ejemplo,

-- numColumnas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 3

-- ---------------------------------------------------------------------

numColumnas:: Num a => Matriz a -> Int

numColumnas = snd . snd . bounds

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int)

-- tal que (dimension m) es el número de columnas de la matriz m. Por

-- ejemplo,

-- dimension (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == (2,3)

-- ---------------------------------------------------------------------

dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int)

dimension p = (numFilas p, numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir la función

-- separa :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (separa n xs) es la lista obtenida separando los elementos de

-- xs en grupos de n elementos (salvo el último que puede tener menos de

-- n elementos). Por ejemplo,

-- separa 3 [1..11] == [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11]]

-- ---------------------------------------------------------------------

separa :: Int -> [a] -> [[a]]

separa _ [] = []

separa n xs = take n xs : separa n (drop n xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]]

-- tal que (matrizLista x) es la lista de las filas de la matriz x. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let m = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> m

-- array ((1,1),(2,3)) [((1,1),5),((1,2),1),((1,3),0),

-- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6)]

-- ghci> matrizLista m

-- [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ---------------------------------------------------------------------

matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]]

matrizLista p = separa (numColumnas p) (elems p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- vectorLista :: Num a => Vector a -> [a]

-- tal que (vectorLista x) es la lista de los elementos del vector

-- v. Por ejemplo,

-- ghci> let v = listaVector [3,2,5]

-- ghci> v

-- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,5)]

-- ghci> vectorLista v

-- [3,2,5]

-- ---------------------------------------------------------------------

vectorLista :: Num a => Vector a -> [a]

vectorLista = elems

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Suma de matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir la función

-- sumaMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (sumaMatrices x y) es la suma de las matrices x e y. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let m1 = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> let m2 = listaMatriz [[4,6,3],[1,5,2]]

-- ghci> matrizLista (sumaMatrices m1 m2)

-- [[9,7,3],[4,7,8]]

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a

sumaMatrices p q =

array ((1,1),(m,n)) [((i,j),p!(i,j)+q!(i,j)) |

i <- [1..m], j <- [1..n]]

where (m,n) = dimension p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir la función

-- filaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a

-- tal que (filaMat i p) es el vector correspondiente a la fila i-ésima

-- de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]]

-- ghci> filaMat 2 p

-- array (1,3) [(1,3),(2,2),(3,6)]

-- ghci> vectorLista (filaMat 2 p)

-- [3,2,6]

-- ---------------------------------------------------------------------

filaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a

filaMat i p = array (1,n) [(j,p!(i,j)) | j <- [1..n]]

where n = numColumnas p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir la función

-- columnaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a

-- tal que (columnaMat j p) es el vector correspondiente a la columna

-- j-ésima de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,5,7]]

-- ghci> columnaMat 2 p

-- array (1,3) [(1,1),(2,2),(3,5)]

-- ghci> vectorLista (columnaMat 2 p)

-- [1,2,5]

-- ---------------------------------------------------------------------

columnaMat :: Num a => Int -> Matriz a -> Vector a

columnaMat j p = array (1,m) [(i,p!(i,j)) | i <- [1..m]]

where m = numFilas p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Producto de matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- prodEscalar :: Num a => Vector a -> Vector a -> a

-- tal que (prodEscalar v1 v2) es el producto escalar de los vectores v1

-- y v2. Por ejemplo,

-- ghci> let v = listaVector [3,1,10]

-- ghci> prodEscalar v v

-- 110

-- ---------------------------------------------------------------------

prodEscalar :: Num a => Vector a -> Vector a -> a

prodEscalar v1 v2 =

sum [i*j | (i,j) <- zip (elems v1) (elems v2)]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- prodMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (prodMatrices p q) es el producto de las matrices p y q. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,1],[2,4]]

-- ghci> prodMatrices p p

-- array ((1,1),(2,2)) [((1,1),11),((1,2),7),((2,1),14),((2,2),18)]

-- ghci> matrizLista (prodMatrices p p)

-- [[11,7],[14,18]]

-- ghci> let q = listaMatriz [[7],[5]]

-- ghci> prodMatrices p q

-- array ((1,1),(2,1)) [((1,1),26),((2,1),34)]

-- ghci> matrizLista (prodMatrices p q)

-- [[26],[34]]

-- ---------------------------------------------------------------------

prodMatrices:: Num a => Matriz a -> Matriz a -> Matriz a

prodMatrices p q =

array ((1,1),(m,n))

[((i,j), prodEscalar (filaMat i p) (columnaMat j q)) |

i <- [1..m], j <- [1..n]]

where m = numFilas p

n = numColumnas q

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Traspuestas y simétricas --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- traspuesta :: Num a => Matriz a -> Matriz a

-- tal que (traspuesta p) es la traspuesta de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> traspuesta p

-- array ((1,1),(3,2)) [((1,1),5),((1,2),3),

-- ((2,1),1),((2,2),2),

-- ((3,1),0),((3,2),6)]

-- ghci> matrizLista (traspuesta p)

-- [[5,3],[1,2],[0,6]]

-- ---------------------------------------------------------------------

traspuesta :: Num a => Matriz a -> Matriz a

traspuesta p =

array ((1,1),(n,m))

[((i,j), p!(j,i)) | i <- [1..n], j <- [1..m]]

where (m,n) = dimension p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir la función

-- esCuadrada :: Num a => Matriz a -> Bool

-- tal que (esCuadrada p) se verifica si la matriz p es cuadrada. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> esCuadrada p

-- False

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1],[3,2]]

-- ghci> esCuadrada q

-- True

-- ---------------------------------------------------------------------

esCuadrada :: Num a => Matriz a -> Bool

esCuadrada x = numFilas x == numColumnas x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Bool

-- tal que (esSimetrica p) se verifica si la matriz p es simétrica. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,7,2]]

-- ghci> esSimetrica p

-- True

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,3],[1,4,7],[3,4,2]]

-- ghci> esSimetrica q

-- False

-- ---------------------------------------------------------------------

esSimetrica :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Bool

esSimetrica x = x == traspuesta x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Diagonales de una matriz --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Definir la función

-- diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a

-- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> diagonalPral p

-- array (1,2) [(1,5),(2,2)]

-- ghci> vectorLista (diagonalPral p)

-- [5,2]

-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a

diagonalPral p = array (1,n) [(i,p!(i,i)) | i <- [1..n]]

where n = min (numFilas p) (numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a

-- tal que (diagonalSec p) es la diagonal secundaria de la matriz p. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> diagonalSec p

-- array (1,2) [(1,1),(2,3)]

-- ghci> vectorLista (diagonalSec p)

-- [1,3]

-- ghci> let q = traspuesta p

-- ghci> matrizLista q

-- [[5,3],[1,2],[0,6]]

-- ghci> vectorLista (diagonalSec q)

-- [3,1]

-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalSec :: Num a => Matriz a -> Vector a

diagonalSec p = array (1,n) [(i,p!(i,n+1-i)) | i <- [1..n]]

where n = min (numFilas p) (numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Submatrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (submatriz i j p) es la matriz obtenida a partir de la p

-- eliminando la fila i y la columna j. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> submatriz 2 3 p

-- array ((1,1),(2,2)) [((1,1),5),((1,2),1),((2,1),4),((2,2),6)]

-- ghci> matrizLista (submatriz 2 3 p)

-- [[5,1],[4,6]]

-- ---------------------------------------------------------------------

submatriz :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

submatriz i j p =

array ((1,1), (m-1,n -1))

[((k,l), p ! f k l) | k <- [1..m-1], l <- [1.. n-1]]

where (m,n) = dimension p

f k l | k < i && l < j = (k,l)

| k >= i && l < j = (k+1,l)

| k < i && l >= j = (k,l+1)

| otherwise = (k+1,l+1)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Transformaciones elementales --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Definir la función

-- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando

-- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> intercambiaFilas 1 3 p

-- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),4),((1,2),6),((1,3),9),

-- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6),

-- ((3,1),5),((3,2),1),((3,3),0)]

-- ghci> matrizLista (intercambiaFilas 1 3 p)

-- [[4,6,9],[3,2,6],[5,1,0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

intercambiaFilas k l p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Definir la función

-- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida

-- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> matrizLista (intercambiaColumnas 1 3 p)

-- [[0,1,5],[6,2,3],[9,6,4]]

-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

intercambiaColumnas k l p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Definir la función

-- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (multFilaPor k x p) es a matriz obtenida multiplicando la

-- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> matrizLista (multFilaPor 2 3 p)

-- [[5,1,0],[9,6,18],[4,6,9]]

-- ---------------------------------------------------------------------

multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a

multFilaPor k x p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. Definir la función

-- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l

-- a la fila k d la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> matrizLista (sumaFilaFila 2 3 p)

-- [[5,1,0],[7,8,15],[4,6,9]]

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

sumaFilaFila k l p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Definir la función

-- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila

-- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> matrizLista (sumaFilaPor 2 3 10 p)

-- [[5,1,0],[43,62,96],[4,6,9]]

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a

sumaFilaPor k l x p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Triangularización de matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 25. Definir la función

-- buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int

-- tal que (buscaIndiceDesde p j i) es el menor índice k, mayor o igual

-- que i, tal que el elemento de la matriz p en la posición (k,j) es no

-- nulo. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> buscaIndiceDesde p 3 2

-- Just 2

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> buscaIndiceDesde q 3 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int

buscaIndiceDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 26. Definir la función

-- buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a

-- tal que (buscaPivoteDesde p j i) es el elemento de la matriz p en la

-- posición (k,j) donde k es (buscaIndiceDesde p j i). Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> buscaPivoteDesde p 3 2

-- Just 6

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> buscaPivoteDesde q 3 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a

buscaPivoteDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 27. Definir la función

-- anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Int -> Int -> Matriz a -> Bool

-- tal que (anuladaColumnaDesde j i p) se verifica si todos los

-- elementos de la columna j de la matriz p desde i+1 en adelante son

-- nulos. Por ejemplo,

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> anuladaColumnaDesde q 3 2

-- True

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> anuladaColumnaDesde p 3 2

-- False

-- ---------------------------------------------------------------------

anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool

anuladaColumnaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 28. Definir la función

-- anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

-- tal que (anulaEltoColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida a partir

-- de p anulando el primer elemento de la columna j por debajo de la

-- fila i usando el elemento de la posición (i,j). Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[2,3,1],[5,0,5],[8,6,9]] :: Matriz Double

-- ghci> matrizLista (anulaEltoColumnaDesde p 2 1)

-- [[2.0,3.0,1.0],[5.0,0.0,5.0],[4.0,0.0,7.0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

anulaEltoColumnaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 29. Definir la función

-- anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

-- tal que (anulaColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida anulando

-- todos los elementos de la columna j de la matriz p por debajo del la

-- posición (i,j) (se supone que el elemnto p_(i,j) es no nulo). Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[2,2,1],[5,4,5],[10,8,9]] :: Matriz Double

-- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 2 1)

-- [[2.0,2.0,1.0],[1.0,0.0,3.0],[2.0,0.0,5.0]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[4,5],[2,7%2],[6,10]]

-- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 1 1)

-- [[4 % 1,5 % 1],[0 % 1,1 % 1],[0 % 1,5 % 2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

anulaColumnaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Algoritmo de Gauss para triangularizar matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 30. Definir la función

-- elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> [a]

-- tal que (elementosNoNulosColDesde p j i) es la lista de los elementos

-- no nulos de la columna j a partir de la fila i. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2],[5,1],[0,4]]

-- ghci> elementosNoNulosColDesde p 1 2

-- [5]

-- ---------------------------------------------------------------------

elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> [a]

elementosNoNulosColDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 31. Definir la función

-- existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Bool

-- tal que (existeColNoNulaDesde p j i) se verifica si la matriz p tiene

-- una columna a partir de la j tal que tiene algún elemento no nulo por

-- debajo de la j; es decir, si la submatriz de p obtenida eliminando

-- las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas es no nula. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]

-- ghci> existeColNoNulaDesde p 2 2

-- False

-- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]

-- ghci> existeColNoNulaDesde q 2 2

-- ---------------------------------------------------------------------

existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool

existeColNoNulaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 32. Definir la función

-- menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int

-- tal que (menorIndiceColNoNulaDesde p j i) es el índice de la primera

-- columna, a partir de la j, en el que la matriz p tiene un elemento no

-- nulo a partir de la fila i. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde p 2 2

-- Just 2

-- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde q 2 2

-- Just 3

-- ghci> let r = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde r 2 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int

menorIndiceColNoNulaDesde p j i = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 33. Definir la función

-- gaussAux :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

-- tal que (gauss p) es la matriz que en el que las i-1 primeras filas y

-- las j-1 primeras columnas son las de p y las restantes están

-- triangularizadas por el método de Gauss; es decir,

-- 1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.

-- 2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1

-- primeras columnas es nulas, entonces p.

-- 3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo

-- 3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene

-- algún elemento no nulo a partir de la fila i,

-- 3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'

-- de p,

-- 3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de

-- p1 tiene un elemento no nulo,

-- 3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de

-- la matriz p1 y

-- 3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la

-- columna j de p2 por debajo de la fila i.

-- Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]]

-- ghci> matrizLista (gaussAux p 2 2)

-- [[1.0,2.0,3.0],[1.0,2.0,4.0],[2.0,0.0,1.0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

gaussAux p i j = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 34. Definir la función

-- gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a

-- tal que (gauss p) es la triangularización de la matriz p por el método

-- de Gauss. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> gauss p

-- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0),

-- ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0),

-- ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)]

-- ghci> matrizLista (gauss p)

-- [[1.0,3.0,2.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[3.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> matrizLista (gauss p)

-- [[3.0,2.0,3.0],[0.0,1.3333333333333335,3.0],[0.0,0.0,1.0]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> matrizLista (gauss p)

-- [[3 % 1,2 % 1,3 % 1],[0 % 1,4 % 3,3 % 1],[0 % 1,0 % 1,1 % 1]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]]

-- ghci> matrizLista (gauss p)

-- [[1.0,3.0,0.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a

gauss p = undefined

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Determinante --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 35. Definir la función

-- determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a

-- tal que (determinante p) es el determinante de la matriz p. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> determinante p

-- 0.0

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]]

-- ghci> determinante p

-- 2.0

-- ---------------------------------------------------------------------

determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a

determinante p = undefined

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