I1M2012: Ejercicios de definiciones por comprensión (3)

En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se han comentado las soluciones de los ejercicios 7 a 10 de la 4ª relación sobre definiciones por comprensión.

Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación

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-- Ejercicio 7. Definir la función 
--    circulo :: Int -> Int
-- tal que (circulo n) es el la cantidad de pares de números naturales
-- (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n. Por ejemplo,
--    circulo 3  ==  9
--    circulo 4  ==  15
--    circulo 5  ==  22
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circulo :: Int -> Int
circulo n = length [(x,y) | x <- [0..n], y <- [0..n], x^2+y^2 < n^2]

-- La eficiencia puede mejorarse con
circulo' :: Int -> Int
circulo' n = length [(x,y) | x <- [0..m], y <- [0..m], x^2+y^2 < n^2]
    where m = raizCuadradaEntera n

-- (raizCuadradaEntera n) es la parte entera de la raíz cuadrada de
-- n. Por ejemplo,
--    raizCuadradaEntera 17  ==  4 
raizCuadradaEntera :: Int -> Int
raizCuadradaEntera n = truncate (sqrt (fromIntegral n))

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-- Ejercicio 8.1. Definir la función aproxE tal que (aproXE n) es la
-- lista cuyos elementos son los términos de la sucesión (1+1/m)**m
-- desde 1 hasta n. Por ejemplo, 
--    aproxE 1 == [2.0]
--    aproxE 4 == [2.0,2.25,2.37037037037037,2.44140625]
-- ---------------------------------------------------------------------

aproxE n = [(1+1/m)**m | m <- [1..n]]

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-- Ejercicio 8.2. ¿Cuál es el límite de la sucesión (1+1/m)**m ?
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El límite de la sucesión es el número e. 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.3. Definir la función errorE tal que (errorE x) es el
-- menor número de términos de la sucesión (1+1/m)**m necesarios para
-- obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,
--    errorAproxE 0.1    ==  13.0
--    errorAproxE 0.01   ==  135.0
--    errorAproxE 0.001  ==  1359.0
-- Indicación: En Haskell, e se calcula como (exp 1).
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errorAproxE x = head [m | m <- [1..], abs((exp 1) - (1+1/m)**m) < x]

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-- Ejercicio 9.1. Definir la función aproxLimSeno tal que 
-- (aproxLimSeno n) es la lista cuyos elementos son los términos de la
-- sucesión  
--    sen(1/m) 
--    --------
--      1/m 
-- desde 1 hasta n. Por ejemplo,
--    aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965]
--    aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406]
-- ---------------------------------------------------------------------

aproxLimSeno n = [sin(1/m)/(1/m) | m <- [1..n]] 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. ¿Cuál es el límite de la sucesión sen(1/m)/(1/m) ?
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El límite es 1.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.3. Definir la función errorLimSeno tal que 
-- (errorLimSeno x) es el menor número de términos de la sucesión 
-- sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor
-- que x. Por ejemplo, 
--    errorLimSeno 0.1     ==   2.0
--    errorLimSeno 0.01    ==   5.0
--    errorLimSeno 0.001   ==  13.0
--    errorLimSeno 0.0001  ==  41.0
-- ---------------------------------------------------------------------

errorLimSeno x = head [m | m <- [1..], abs(1 - sin(1/m)/(1/m)) < x]

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-- Ejercicio 10.1. Definir la función calculaPi tal que (calculaPi n) es
-- la aproximación del número pi calculada mediante la expresión
--    4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))
-- Por ejemplo,
--    calculaPi 3    ==  2.8952380952380956
--    calculaPi 300  ==  3.1449149035588526
-- ---------------------------------------------------------------------

calculaPi n = 4 * sum [(-1)**x/(2*x+1) | x <- [0..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10.2. Definir la función errorPi tal que 
-- (errorPi x) es el menor número de términos de la serie
--    4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))
-- necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,
--    errorPi 0.1    ==    9.0
--    errorPi 0.01   ==   99.0
--    errorPi 0.001  ==  999.0
-- ---------------------------------------------------------------------

errorPi x = head [n | n <- [1..], abs (pi - (calculaPi n)) < x]

100

101

102

103

104

105

106

107

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-- Ejercicio 7. Definir la función

-- circulo :: Int -> Int

-- tal que (circulo n) es el la cantidad de pares de números naturales

-- (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n. Por ejemplo,

-- circulo 3 == 9

-- circulo 4 == 15

-- circulo 5 == 22

-- ---------------------------------------------------------------------

circulo :: Int -> Int

circulo n = length [(x,y) | x <- [0..n], y <- [0..n], x^2+y^2 < n^2]

-- La eficiencia puede mejorarse con

circulo' :: Int -> Int

circulo' n = length [(x,y) | x <- [0..m], y <- [0..m], x^2+y^2 < n^2]

where m = raizCuadradaEntera n

-- (raizCuadradaEntera n) es la parte entera de la raíz cuadrada de

-- n. Por ejemplo,

-- raizCuadradaEntera 17 == 4

raizCuadradaEntera :: Int -> Int

raizCuadradaEntera n = truncate (sqrt (fromIntegral n))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.1. Definir la función aproxE tal que (aproXE n) es la

-- lista cuyos elementos son los términos de la sucesión (1+1/m)**m

-- desde 1 hasta n. Por ejemplo,

-- aproxE 1 == [2.0]

-- aproxE 4 == [2.0,2.25,2.37037037037037,2.44140625]

-- ---------------------------------------------------------------------

aproxE n = [(1+1/m)**m | m <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.2. ¿Cuál es el límite de la sucesión (1+1/m)**m ?

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El límite de la sucesión es el número e.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8.3. Definir la función errorE tal que (errorE x) es el

-- menor número de términos de la sucesión (1+1/m)**m necesarios para

-- obtener su límite con un error menor que x. Por ejemplo,

-- errorAproxE 0.1 == 13.0

-- errorAproxE 0.01 == 135.0

-- errorAproxE 0.001 == 1359.0

-- Indicación: En Haskell, e se calcula como (exp 1).

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errorAproxE x = head [m | m <- [1..], abs((exp 1) - (1+1/m)**m) < x]

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-- Ejercicio 9.1. Definir la función aproxLimSeno tal que

-- (aproxLimSeno n) es la lista cuyos elementos son los términos de la

-- sucesión

-- sen(1/m)

-- --------

-- 1/m

-- desde 1 hasta n. Por ejemplo,

-- aproxLimSeno 1 == [0.8414709848078965]

-- aproxLimSeno 2 == [0.8414709848078965,0.958851077208406]

-- ---------------------------------------------------------------------

aproxLimSeno n = [sin(1/m)/(1/m) | m <- [1..n]]

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-- Ejercicio 9.2. ¿Cuál es el límite de la sucesión sen(1/m)/(1/m) ?

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El límite es 1.

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-- Ejercicio 9.3. Definir la función errorLimSeno tal que

-- (errorLimSeno x) es el menor número de términos de la sucesión

-- sen(1/m)/(1/m) necesarios para obtener su límite con un error menor

-- que x. Por ejemplo,

-- errorLimSeno 0.1 == 2.0

-- errorLimSeno 0.01 == 5.0

-- errorLimSeno 0.001 == 13.0

-- errorLimSeno 0.0001 == 41.0

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errorLimSeno x = head [m | m <- [1..], abs(1 - sin(1/m)/(1/m)) < x]

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-- Ejercicio 10.1. Definir la función calculaPi tal que (calculaPi n) es

-- la aproximación del número pi calculada mediante la expresión

-- 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))

-- Por ejemplo,

-- calculaPi 3 == 2.8952380952380956

-- calculaPi 300 == 3.1449149035588526

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calculaPi n = 4 * sum [(-1)**x/(2*x+1) | x <- [0..n]]

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-- Ejercicio 10.2. Definir la función errorPi tal que

-- (errorPi x) es el menor número de términos de la serie

-- 4*(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...+ (-1)**n/(2*n+1))

-- necesarios para obtener pi con un error menor que x. Por ejemplo,

-- errorPi 0.1 == 9.0

-- errorPi 0.01 == 99.0

-- errorPi 0.001 == 999.0

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errorPi x = head [n | n <- [1..], abs (pi - (calculaPi n)) < x]

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