I1M2012: Ejercicios con tipos de datos algebraicos en Haskell

En las clases de ayer y hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentando soluciones de los ejercicios sobre tipos de datos algebraicos en Haskell de la relaciones 18 y 19.

En la relación 18 se consideran abreviaturas y dos tipos de datos
algebraicos: los números naturales (para los que se define su
producto) y los árboles binarios, para los que se definen funciones
para calcular:

los puntos más cercanos,
la ocurrencia de un elemento en el árbol,
el número de hojas,
el carácter balanceado de un árbol y
el árbol balanceado correspondiente a una lista.

En la relación 19 se plantean ejercicios sobre árboles binarios. En
concreto, se definen funciones para calcular:

el número de hojas de un árbol,
el número de nodos de un árbol,
la profundidad de un árbol,
el recorrido preorden de un árbol,
el recorrido postorden de un árbol,
el recorrido preorden de forma iterativa,
la imagen especular de un árbol,
el subárbol de profundidad dada,
el árbol infinito generado con un elemento y
el árbol de profundidad dada cuyos nodos son iguales a un elemento.

Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación. Los de la relación 18 son

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Los puntos del plano se pueden representar por pares de
-- números como se indica a continuación  
--    type Punto = (Double,Double) 
-- Definir la función 
--    cercanos :: [Punto] -> [Punto] -> (Punto,Punto)
-- tal que (cercanos ps qs) es un par de puntos, el primero de ps y el
-- segundo de qs, que son los más cercanos (es decir, no hay otro par
-- (p',q') con p' en ps y q' en qs tales que la distancia entre p' y q'
-- sea menor que la que hay entre p y q). Por ejemplo,
--    cercanos [(2,5),(3,6)] [(4,3),(1,0),(7,9)] == ((2.0,5.0),(4.0,3.0))
-- ---------------------------------------------------------------------

type Punto = (Double,Double) 

cercanos :: [Punto] -> [Punto] -> (Punto,Punto)
cercanos ps qs = (p,q)
    where (d,p,q) = minimum [(distancia p q, p, q) | p <- ps, q <-qs]
          distancia (x,y) (u,v) = sqrt ((x-u)^2+(y-v)^2)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.1. En los diguientes ejercicios se usará el tipo
-- algebraico de datos de los números naturales definido por
--    data Nat = Cero | Suc Nat
--               deriving (Eq, Show)
-- Definir la función
--    suma :: Nat -> Nat -> Nat
-- tal que (suma m n) es la suma de los números naturales m y
-- n. Por ejemplo, 
--    ghci> suma (Suc (Suc Cero)) (Suc (Suc (Suc Cero)))
--    Suc (Suc (Suc (Suc (Suc Cero))))
-- ---------------------------------------------------------------------

data Nat = Cero | Suc Nat
           deriving (Eq, Show)

suma :: Nat -> Nat -> Nat
suma Cero    n = n
suma (Suc m) n = Suc (suma m n)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.2. Definir la función
--    producto :: Nat -> Nat -> Nat
-- tal que (producto m n) es el producto de los números naturales m y
-- n. Por ejemplo, 
--    ghci> producto (Suc (Suc Cero)) (Suc (Suc (Suc Cero)))
--    Suc (Suc (Suc (Suc (Suc (Suc Cero)))))
-- ---------------------------------------------------------------------

producto :: Nat -> Nat -> Nat
producto Cero _    = Cero
producto (Suc m) n = suma n (producto m n)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. En los apartados de este ejercicio se trabajará con
-- árboles binarios definidos como sigue
--    data Arbol = Hoja Int 
--               | Nodo Arbol Int Arbol
--               deriving (Show, Eq)
-- Por ejemplo, el árbol
--         5 
--        / \
--       /   \
--      3     7
--     / \   / \  
--    1   4 6   9  
-- se representa por
--    Nodo (Nodo (Hoja 1) 3 (Hoja 4)) 
--         5 
--         (Nodo (Hoja 6) 7 (Hoja 9))
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol = Hoja Int 
           | Nodo Arbol Int Arbol
           deriving (Show, Eq)

ejArbol :: Arbol
ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) 3 (Hoja 4)) 
               5 
               (Nodo (Hoja 6) 7 (Hoja 9))

-- --------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.1. Definir la función
--    ocurre :: Int -> Arbol -> Bool
-- tal que (ocurre x a) se verifica si x ocurre en el árbol a como valor
-- de un nodo o de una hoja. Por ejemplo,
--    ocurre  4 ejArbol  ==  True
--    ocurre 10 ejArbol  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

ocurre :: Int -> Arbol -> Bool
ocurre m (Hoja n)     = m == n
ocurre m (Nodo i n d) = m == n || ocurre m i || ocurre m d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.2. En el preludio está definido el tipo de datos
--    data Ordering = LT | EQ | GT
-- junto con la función
--    compare :: Ord a => a -> a -> Ordering
-- que decide si un valor en un tipo ordenado es menor (LT), igual (EQ)
-- o mayor (GT) que otro. 
-- 
-- Usando esta función, redefinir la función
--    ocurre :: Int -> Arbol -> Bool
-- del ejercicio anterior. 
-- ---------------------------------------------------------------------

ocurre' :: Int -> Arbol -> Bool
ocurre' m (Hoja n)     = m == n
ocurre' m (Nodo i n d) = case compare m n of
                           LT -> ocurre' m i
                           EQ -> True
                           GT -> ocurre' m d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. En los apartados de este ejercicio se trabajará con
-- árboles binarios definidos como sigue
--    type ArbolB = HojaB Int 
--                | NodoB ArbolB ArbolB 
--                deriving Show
-- Por ejemplo, el árbol
--         . 
--        / \
--       /   \
--      .     .
--     / \   / \  
--    1   4 6   9  
-- se representa por
--    NodoB (NodoB (HojaB 1) (HojaB 4)) 
--          (NodoB (HojaB 6) (HojaB 9))
-- ---------------------------------------------------------------------

data ArbolB = HojaB Int 
            | NodoB ArbolB ArbolB
            deriving Show

ejArbolB :: ArbolB
ejArbolB = NodoB (NodoB (HojaB 1) (HojaB 4)) 
                 (NodoB (HojaB 6) (HojaB 9))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. Definir la función 
--    nHojas :: ArbolB -> Int
-- tal que (nHojas a) es el número de hojas del árbol a. Por ejemplo,
--    nHojas (NodoB (HojaB 5) (NodoB (HojaB 3) (HojaB 7)))  ==  3
--    nHojas ejArbolB ==  4
-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: ArbolB -> Int
nHojas (HojaB _)     = 1
nHojas (NodoB a1 a2) = nHojas a1 + nHojas a2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Se dice que un árbol de este tipo es balanceado si es
-- una hoja o bien si para cada nodo se tiene que el número de hojas en
-- cada uno de sus subárboles difiere como máximo en uno y sus
-- subárboles son balanceados. Definir la función 
--    balanceado :: ArbolB -> BoolB
-- tal que (balanceado a) se verifica si a es un árbol balanceado. Por
-- ejemplo, 
--    balanceado ejArbolB
--    ==> True
--    balanceado (NodoB (HojaB 5) (NodoB (HojaB 3) (HojaB 7)))
--    ==> True
--    balanceado (NodoB (HojaB 5) (NodoB (HojaB 3) (NodoB (HojaB 5) (HojaB 7))))
--    ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
balanceado :: ArbolB -> Bool
balanceado (HojaB _)     = True
balanceado (NodoB a1 a2) = abs (nHojas a1 - nHojas a2) <= 1 &&
                           balanceado a1 &&
                           balanceado a2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función 
--    mitades :: [a] -> ([a],[a]) 
-- tal que (mitades xs) es un par de listas que se obtiene al dividir xs
-- en dos mitades cuya longitud difiere como máximo en uno. Por ejemplo,
--    mitades [2,3,5,1,4,7]    ==  ([2,3,5],[1,4,7])
--    mitades [2,3,5,1,4,7,9]  ==  ([2,3,5],[1,4,7,9])
-- ---------------------------------------------------------------------

mitades :: [a] -> ([a],[a])
mitades xs = splitAt (length xs `div` 2) xs

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Definir la función
--    arbolBalanceado :: [Int] -> ArbolB
-- tal que (arbolBalanceado xs) es el árbol balanceado correspondiente
-- a la lista xs. Por ejemplo,
--    ghci> arbolBalanceado [2,5,3]
--    NodoB (HojaB 2) (NodoB (HojaB 5) (HojaB 3))
--    ghci> arbolBalanceado [2,5,3,7]
--    NodoB (NodoB (HojaB 2) (HojaB 5)) (NodoB (HojaB 3) (HojaB 7))
-- ---------------------------------------------------------------------

arbolBalanceado :: [Int] -> ArbolB
arbolBalanceado [x] = HojaB x
arbolBalanceado xs  = NodoB (arbolBalanceado ys) (arbolBalanceado zs)
                      where (ys,zs) = mitades xs

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Los puntos del plano se pueden representar por pares de

-- números como se indica a continuación

-- type Punto = (Double,Double)

-- Definir la función

-- cercanos :: [Punto] -> [Punto] -> (Punto,Punto)

-- tal que (cercanos ps qs) es un par de puntos, el primero de ps y el

-- segundo de qs, que son los más cercanos (es decir, no hay otro par

-- (p',q') con p' en ps y q' en qs tales que la distancia entre p' y q'

-- sea menor que la que hay entre p y q). Por ejemplo,

-- cercanos [(2,5),(3,6)] [(4,3),(1,0),(7,9)] == ((2.0,5.0),(4.0,3.0))

-- ---------------------------------------------------------------------

type Punto = (Double,Double)

cercanos :: [Punto] -> [Punto] -> (Punto,Punto)

cercanos ps qs = (p,q)

where (d,p,q) = minimum [(distancia p q, p, q) | p <- ps, q <-qs]

distancia (x,y) (u,v) = sqrt ((x-u)^2+(y-v)^2)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.1. En los diguientes ejercicios se usará el tipo

-- algebraico de datos de los números naturales definido por

-- data Nat = Cero | Suc Nat

-- deriving (Eq, Show)

-- Definir la función

-- suma :: Nat -> Nat -> Nat

-- tal que (suma m n) es la suma de los números naturales m y

-- n. Por ejemplo,

-- ghci> suma (Suc (Suc Cero)) (Suc (Suc (Suc Cero)))

-- Suc (Suc (Suc (Suc (Suc Cero))))

-- ---------------------------------------------------------------------

data Nat = Cero | Suc Nat

deriving (Eq, Show)

suma :: Nat -> Nat -> Nat

suma Cero n = n

suma (Suc m) n = Suc (suma m n)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2.2. Definir la función

-- producto :: Nat -> Nat -> Nat

-- tal que (producto m n) es el producto de los números naturales m y

-- n. Por ejemplo,

-- ghci> producto (Suc (Suc Cero)) (Suc (Suc (Suc Cero)))

-- Suc (Suc (Suc (Suc (Suc (Suc Cero)))))

-- ---------------------------------------------------------------------

producto :: Nat -> Nat -> Nat

producto Cero _ = Cero

producto (Suc m) n = suma n (producto m n)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. En los apartados de este ejercicio se trabajará con

-- árboles binarios definidos como sigue

-- data Arbol = Hoja Int

-- | Nodo Arbol Int Arbol

-- deriving (Show, Eq)

-- Por ejemplo, el árbol

-- 5

-- / \

-- 3 7

-- / \ / \

-- 1 4 6 9

-- se representa por

-- Nodo (Nodo (Hoja 1) 3 (Hoja 4))

-- 5

-- (Nodo (Hoja 6) 7 (Hoja 9))

-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol = Hoja Int

| Nodo Arbol Int Arbol

deriving (Show, Eq)

ejArbol :: Arbol

ejArbol = Nodo (Nodo (Hoja 1) 3 (Hoja 4))

(Nodo (Hoja 6) 7 (Hoja 9))

-- --------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.1. Definir la función

-- ocurre :: Int -> Arbol -> Bool

-- tal que (ocurre x a) se verifica si x ocurre en el árbol a como valor

-- de un nodo o de una hoja. Por ejemplo,

-- ocurre 4 ejArbol == True

-- ocurre 10 ejArbol == False

-- ---------------------------------------------------------------------

ocurre :: Int -> Arbol -> Bool

ocurre m (Hoja n) = m == n

ocurre m (Nodo i n d) = m == n || ocurre m i || ocurre m d

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3.2. En el preludio está definido el tipo de datos

-- data Ordering = LT | EQ | GT

-- junto con la función

-- compare :: Ord a => a -> a -> Ordering

-- que decide si un valor en un tipo ordenado es menor (LT), igual (EQ)

-- o mayor (GT) que otro.

-- Usando esta función, redefinir la función

-- ocurre :: Int -> Arbol -> Bool

-- del ejercicio anterior.

-- ---------------------------------------------------------------------

ocurre' :: Int -> Arbol -> Bool

ocurre' m (Hoja n) = m == n

ocurre' m (Nodo i n d) = case compare m n of

LT -> ocurre' m i

EQ -> True

GT -> ocurre' m d

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. En los apartados de este ejercicio se trabajará con

-- árboles binarios definidos como sigue

-- type ArbolB = HojaB Int

-- | NodoB ArbolB ArbolB

-- deriving Show

-- Por ejemplo, el árbol

-- .

-- / \

-- . .

-- / \ / \

-- 1 4 6 9

-- se representa por

-- NodoB (NodoB (HojaB 1) (HojaB 4))

-- (NodoB (HojaB 6) (HojaB 9))

-- ---------------------------------------------------------------------

data ArbolB = HojaB Int

| NodoB ArbolB ArbolB

deriving Show

ejArbolB :: ArbolB

ejArbolB = NodoB (NodoB (HojaB 1) (HojaB 4))

(NodoB (HojaB 6) (HojaB 9))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.1. Definir la función

-- nHojas :: ArbolB -> Int

-- tal que (nHojas a) es el número de hojas del árbol a. Por ejemplo,

-- nHojas (NodoB (HojaB 5) (NodoB (HojaB 3) (HojaB 7))) == 3

-- nHojas ejArbolB == 4

-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: ArbolB -> Int

nHojas (HojaB _) = 1

nHojas (NodoB a1 a2) = nHojas a1 + nHojas a2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.2. Se dice que un árbol de este tipo es balanceado si es

-- una hoja o bien si para cada nodo se tiene que el número de hojas en

-- cada uno de sus subárboles difiere como máximo en uno y sus

-- subárboles son balanceados. Definir la función

-- balanceado :: ArbolB -> BoolB

-- tal que (balanceado a) se verifica si a es un árbol balanceado. Por

-- ejemplo,

-- balanceado ejArbolB

-- ==> True

-- balanceado (NodoB (HojaB 5) (NodoB (HojaB 3) (HojaB 7)))

-- ==> True

-- balanceado (NodoB (HojaB 5) (NodoB (HojaB 3) (NodoB (HojaB 5) (HojaB 7))))

-- ==> False

-- ---------------------------------------------------------------------

balanceado :: ArbolB -> Bool

balanceado (HojaB _) = True

balanceado (NodoB a1 a2) = abs (nHojas a1 - nHojas a2) <= 1 &&

balanceado a1 &&

balanceado a2

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.3. Definir la función

-- mitades :: [a] -> ([a],[a])

-- tal que (mitades xs) es un par de listas que se obtiene al dividir xs

-- en dos mitades cuya longitud difiere como máximo en uno. Por ejemplo,

-- mitades [2,3,5,1,4,7] == ([2,3,5],[1,4,7])

-- mitades [2,3,5,1,4,7,9] == ([2,3,5],[1,4,7,9])

-- ---------------------------------------------------------------------

mitades :: [a] -> ([a],[a])

mitades xs = splitAt (length xs `div` 2) xs

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4.4. Definir la función

-- arbolBalanceado :: [Int] -> ArbolB

-- tal que (arbolBalanceado xs) es el árbol balanceado correspondiente

-- a la lista xs. Por ejemplo,

-- ghci> arbolBalanceado [2,5,3]

-- NodoB (HojaB 2) (NodoB (HojaB 5) (HojaB 3))

-- ghci> arbolBalanceado [2,5,3,7]

-- NodoB (NodoB (HojaB 2) (HojaB 5)) (NodoB (HojaB 3) (HojaB 7))

-- ---------------------------------------------------------------------

arbolBalanceado :: [Int] -> ArbolB

arbolBalanceado [x] = HojaB x

arbolBalanceado xs = NodoB (arbolBalanceado ys) (arbolBalanceado zs)

where (ys,zs) = mitades xs

Los de la relación 19 son

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares                                  
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. En los siguientes ejercicios se trabajará con los árboles
-- binarios definidos como sigue 
--    data Arbol a = Hoja 
--                 | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
--                 deriving (Show, Eq)
-- En los ejemplos se usará el siguiente árbol
--    arbol = Nodo 9
--                   (Nodo 3 
--                         (Nodo 2 Hoja Hoja) 
--                         (Nodo 4 Hoja Hoja)) 
--                   (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja 
             | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
             deriving (Show, Eq)

arbol = Nodo 9
               (Nodo 3 
                     (Nodo 2 Hoja Hoja) 
                     (Nodo 4 Hoja Hoja)) 
               (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    nHojas :: Arbol a -> Int
-- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> nHojas arbol
--    6
-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: Arbol a -> Int
nHojas Hoja         = 1
nHojas (Nodo x i d) = nHojas i + nHojas d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
--    nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> nNodos arbol
--    5
-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja         = 0
nNodos (Nodo x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
--    profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> profundidad arbol
--    3
-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad Hoja = 0
profundidad (Nodo x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> preorden arbol
--    [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja         = []
preorden (Nodo x i d) = x : (preorden i ++ preorden d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
--    postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol
-- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz
-- del árbol. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> postorden arbol
--    [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja         = []
postorden (Nodo x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir, usando un acumulador, la función
--    preordenIt :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
--    ghci> arbol
--    Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> preordenIt arbol
--    [9,3,2,4,7]
-- Nota: No usar (++) en la definición
-- ---------------------------------------------------------------------

preordenIt :: Arbol a -> [a]
preordenIt x = preordenItAux x []
    where preordenItAux Hoja xs         = xs
          preordenItAux (Nodo x i d) xs = 
              x : preordenItAux i (preordenItAux d xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
--    espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
--    ghci> espejo arbol
--    Nodo 9 
--         (Nodo 7 Hoja Hoja) 
--         (Nodo 3 
--               (Nodo 4 Hoja Hoja) 
--               (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja         = Hoja
espejo (Nodo x i d) = Nodo x (espejo d) (espejo i)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. La función take está definida por
--    take :: Int -> [a] -> [a]
--    take 0            = []
--    take (n+1) []     = []
--    take (n+1) (x:xs) = x : take n xs
-- Definir la función 
--    takeArbol ::  Int -> Arbol a -> Arbol a
-- tal que (takeArbol n t) es el subárbol de t de profundidad n. Por
-- ejemplo,
--    ghci> takeArbol 0 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Hoja
--    ghci> takeArbol 1 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Nodo 6 Hoja Hoja
--    ghci> takeArbol 2 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Nodo 6 Hoja (Nodo 7 Hoja Hoja)
--    ghci> takeArbol 3 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja)
--    ghci> takeArbol 4 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))
--    Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------
 
takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a
takeArbol 0     _  = Hoja
takeArbol _ Hoja   = Hoja
takeArbol n (Nodo x i d) = 
    Nodo x (takeArbol (n-1) i) (takeArbol (n-1) d)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. La función
--    repeat :: a -> [a]
-- está definida de forma que (repeat x) es la lista formada por
-- infinitos elementos x. Por ejemplo,
--    repeat 3  ==  [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,...
-- La definición de repeat es
--    repeat x = xs where xs = x:xs
-- Definir la función
--    repeatArbol :: a -> Arbol a
-- tal que (repeatArbol x) es es árbol con infinitos nodos x. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> takeArbol 0 (repeatArbol 3)
--    Hoja
--    ghci> takeArbol 1 (repeatArbol 3)
--    Nodo 3 Hoja Hoja
--    ghci> takeArbol 2 (repeatArbol 3)
--    Nodo 3 (Nodo 3 Hoja Hoja) (Nodo 3 Hoja Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------

repeatArbol :: a -> Arbol a
repeatArbol x = Nodo x t t
                where t = repeatArbol x

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. La función 
--    replicate :: Int -> a -> [a]
-- está definida por 
--    replicate n = take n . repeat
-- es tal que (replicate n x) es la lista de longitud n cuyos elementos
-- son x. Por ejemplo,
--    replicate 3 5  ==  [5,5,5]
-- Definir la función 
--    replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a
-- tal que (replicate n x) es el árbol de profundidad n cuyos nodos son
-- x. Por ejemplo,
--    ghci> replicateArbol 0 5
--    Hoja
--    ghci> replicateArbol 1 5
--    Nodo 5 Hoja Hoja
--    ghci> replicateArbol 2 5
--    Nodo 5 (Nodo 5 Hoja Hoja) (Nodo 5 Hoja Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------

replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a
replicateArbol n = takeArbol n . repeatArbol

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías auxiliares

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.List

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Nota. En los siguientes ejercicios se trabajará con los árboles

-- binarios definidos como sigue

-- data Arbol a = Hoja

-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)

-- deriving (Show, Eq)

-- En los ejemplos se usará el siguiente árbol

-- arbol = Nodo 9

-- (Nodo 3

-- (Nodo 2 Hoja Hoja)

-- (Nodo 4 Hoja Hoja))

-- (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja

| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)

deriving (Show, Eq)

arbol = Nodo 9

(Nodo 3

(Nodo 2 Hoja Hoja)

(Nodo 4 Hoja Hoja))

(Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- nHojas :: Arbol a -> Int

-- tal que (nHojas x) es el número de hojas del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> nHojas arbol

-- 6

-- ---------------------------------------------------------------------

nHojas :: Arbol a -> Int

nHojas Hoja = 1

nHojas (Nodo x i d) = nHojas i + nHojas d

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- nNodos :: Arbol a -> Int

-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> nNodos arbol

-- 5

-- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int

nNodos Hoja = 0

nNodos (Nodo x i d) = 1 + nNodos i + nNodos d

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir la función

-- profundidad :: Arbol a -> Int

-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> profundidad arbol

-- 3

-- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int

profundidad Hoja = 0

profundidad (Nodo x i d) = 1 + max (profundidad i) (profundidad d)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- preorden :: Arbol a -> [a]

-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido

-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a

-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el

-- subárbol derecho. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> preorden arbol

-- [9,3,2,4,7]

-- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a]

preorden Hoja = []

preorden (Nodo x i d) = x : (preorden i ++ preorden d)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- postorden :: Arbol a -> [a]

-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido

-- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol

-- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz

-- del árbol. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> postorden arbol

-- [2,4,3,7,9]

-- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a]

postorden Hoja = []

postorden (Nodo x i d) = postorden i ++ postorden d ++ [x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir, usando un acumulador, la función

-- preordenIt :: Arbol a -> [a]

-- tal que (preordenIt x) es la lista correspondiente al recorrido

-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a

-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el

-- subárbol derecho. Por ejemplo,

-- ghci> arbol

-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> preordenIt arbol

-- [9,3,2,4,7]

-- Nota: No usar (++) en la definición

-- ---------------------------------------------------------------------

preordenIt :: Arbol a -> [a]

preordenIt x = preordenItAux x []

where preordenItAux Hoja xs = xs

preordenItAux (Nodo x i d) xs =

x : preordenItAux i (preordenItAux d xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- espejo :: Arbol a -> Arbol a

-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,

-- ghci> espejo arbol

-- Nodo 9

-- (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- (Nodo 3

-- (Nodo 4 Hoja Hoja)

-- (Nodo 2 Hoja Hoja))

-- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a

espejo Hoja = Hoja

espejo (Nodo x i d) = Nodo x (espejo d) (espejo i)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. La función take está definida por

-- take :: Int -> [a] -> [a]

-- take 0 = []

-- take (n+1) [] = []

-- take (n+1) (x:xs) = x : take n xs

-- Definir la función

-- takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a

-- tal que (takeArbol n t) es el subárbol de t de profundidad n. Por

-- ejemplo,

-- ghci> takeArbol 0 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Hoja

-- ghci> takeArbol 1 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Nodo 6 Hoja Hoja

-- ghci> takeArbol 2 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Nodo 6 Hoja (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- ghci> takeArbol 3 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja)

-- ghci> takeArbol 4 (Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja))

-- Nodo 6 Hoja (Nodo 7 (Nodo 5 Hoja Hoja) Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

takeArbol :: Int -> Arbol a -> Arbol a

takeArbol 0 _ = Hoja

takeArbol _ Hoja = Hoja

takeArbol n (Nodo x i d) =

Nodo x (takeArbol (n-1) i) (takeArbol (n-1) d)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. La función

-- repeat :: a -> [a]

-- está definida de forma que (repeat x) es la lista formada por

-- infinitos elementos x. Por ejemplo,

-- repeat 3 == [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,...

-- La definición de repeat es

-- repeat x = xs where xs = x:xs

-- Definir la función

-- repeatArbol :: a -> Arbol a

-- tal que (repeatArbol x) es es árbol con infinitos nodos x. Por

-- ejemplo,

-- ghci> takeArbol 0 (repeatArbol 3)

-- Hoja

-- ghci> takeArbol 1 (repeatArbol 3)

-- Nodo 3 Hoja Hoja

-- ghci> takeArbol 2 (repeatArbol 3)

-- Nodo 3 (Nodo 3 Hoja Hoja) (Nodo 3 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

repeatArbol :: a -> Arbol a

repeatArbol x = Nodo x t t

where t = repeatArbol x

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. La función

-- replicate :: Int -> a -> [a]

-- está definida por

-- replicate n = take n . repeat

-- es tal que (replicate n x) es la lista de longitud n cuyos elementos

-- son x. Por ejemplo,

-- replicate 3 5 == [5,5,5]

-- Definir la función

-- replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a

-- tal que (replicate n x) es el árbol de profundidad n cuyos nodos son

-- x. Por ejemplo,

-- ghci> replicateArbol 0 5

-- Hoja

-- ghci> replicateArbol 1 5

-- Nodo 5 Hoja Hoja

-- ghci> replicateArbol 2 5

-- Nodo 5 (Nodo 5 Hoja Hoja) (Nodo 5 Hoja Hoja)

-- ---------------------------------------------------------------------

replicateArbol :: Int -> a -> Arbol a

replicateArbol n = takeArbol n . repeatArbol

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