I1M2012: 3º examen de la evaluación continua
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha realizado el 3º examen de la evaluación continua.
A continuación se muestra el examen junto con su solución:
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-- Informática (1º del Grado en Matemáticas) -- 3º examen de evaluación continua (6 de febrero de 2013) -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función -- sumaR :: Num a => [[a]] -> a -- tal que (sumaR xss) es la suma de todos los elementos de todas las -- listas de xss. Por ejemplo, -- sumaR [[1,3,5],[2,4,1],[3,7,9]] == 35 -- --------------------------------------------------------------------- sumaR :: Num a => [[a]] -> a sumaR [] = 0 sumaR (xs:xss) = sum xs + sumaR xss -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir, por plegado, la función -- sumaP :: Num a => [[a]] -> a -- tal que (sumaP xss) es la suma de todos los elementos de todas las -- listas de xss. Por ejemplo, -- sumaP [[1,3,5],[2,4,1],[3,7,9]] == 35 -- --------------------------------------------------------------------- sumaP :: Num a => [[a]] -> a sumaP = foldr (\x y -> (sum x) + y) 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- raicesEnteras :: Int -> Int -> Int -> [Int] -- tal que (raicesEnteras a b c) es la lista de las raices enteras de la -- ecuación ax^2+bx+c = 0. Por ejemplo, -- raicesEnteras 1 (-6) 9 == [3] -- raicesEnteras 1 (-6) 0 == [0,6] -- raicesEnteras 5 (-6) 0 == [0] -- raicesEnteras 1 1 (-6) == [2,-3] -- raicesEnteras 2 (-1) (-6) == [2] -- raicesEnteras 2 0 0 == [0] -- raicesEnteras 6 5 (-6) == [] -- Usando raicesEnteras calcular las raíces de la ecuación -- 7x^2-11281x+2665212 = 0. -- --------------------------------------------------------------------- raicesEnteras :: Int -> Int -> Int -> [Int] raicesEnteras a b c | b == 0 && c == 0 = [0] | c == 0 && rem b a /= 0 = [0] | c == 0 && rem b a == 0 = [0,-b `div` a] | otherwise = [x | x <- divisores c, a*(x^2) + b*x + c == 0] -- (divisores n) es la lista de los divisores enteros de n. Por ejemplo, -- divisores (-6) == [1,2,3,6,-1,-2,-3,-6] divisores :: Int -> [Int] divisores n = ys ++ (map (0-) ys) where ys = [x | x <-[1..abs n], mod n x == 0] -- Una definición alternativa es raicesEnteras2 a b c = [floor x | x <- raices a b c, esEntero x] -- (esEntero x) se verifica si x es un número entero. esEntero x = ceiling x == floor x -- (raices a b c) es la lista de las raices reales de la ecuación -- ax^2+b*x+c = 0. raices a b c | d < 0 = [] | d == 0 = [y1] | otherwise = [y1,y2] where d = b^2 - 4*a*c y1 = ((-b) + sqrt d)/(2*a) y2 = ((-b) - sqrt d)/(2*a) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- segmentos :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]] -- tal que (segmentos p xs) es la lista de los segmentos de xs cuyos -- elementos no verifican la propiedad p. Por ejemplo, -- segmentos odd [1,2,0,4,5,6,48,7,2] == [[],[2,0,4],[6,48],[2]] -- segmentos odd [8,6,1,2,0,4,5,6,7,2] == [[8,6],[2,0,4],[6],[2]] -- --------------------------------------------------------------------- segmentos :: (a -> Bool) -> [a] -> [[a]] segmentos _ [] = [] segmentos p xs = takeWhile (not.p) xs : (segmentos p (dropWhile p (dropWhile (not.p) xs))) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Un número n es especial si al concatenar n y n+1 se -- obtiene otro número que es divisible entre la suma de n y n+1. Por -- ejemplo, 1, 4, 16 y 49 son especiales ya que -- 1+2 divide a 12 - 12/3 = 4 -- 4+5 divide a 45 - 45/9 = 5 -- 16+17 divide a 1617 - 1617/33 = 49 -- 49+50 divide a 4950 - 4950/99 = 50 -- Definir la función -- esEspecial :: Integer -> Bool -- tal que (esEspecial n) se verifica si el número obtenido concatenando -- n y n+1 es divisible entre la suma de n y n+1. Por ejemplo, -- esEspecial 4 == True -- esEspecial 7 == False -- --------------------------------------------------------------------- esEspecial :: Integer -> Bool esEspecial n = pegaNumeros n (n+1) `rem` (2*n+1) == 0 -- (pegaNumeros x y) es el número resultante de "pegar" los -- números x e y. Por ejemplo, -- pegaNumeros 12 987 == 12987 -- pegaNumeros 1204 7 == 12047 -- pegaNumeros 100 100 == 100100 pegaNumeros :: Integer -> Integer -> Integer pegaNumeros x y | y < 10 = 10*x+y | otherwise = 10 * pegaNumeros x (y `div` 10) + (y `mod` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir la función -- especiales :: Int -> [Integer] -- tal que (especiales n) es la lista de los n primeros números -- especiales. Por ejemplo, -- especiales 5 == [1,4,16,49,166] -- --------------------------------------------------------------------- especiales :: Int -> [Integer] especiales n = take n [x | x <- [1..], esEspecial x] |