I1M2011: Ejercicios de definiciones por recursión y comprensión en Haskell (1)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los 7 primeros ejercicios de la 9ª relación en la que se presentan ejercicios con dos definiciones (una por recursión y otra por comprensión) y la comprobación de la equivalencia de las dos definiciones con QuickCheck.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación:
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión, la función -- sumaCuadradosR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCuadradosR n) es la suma de los cuadrados de los números -- de 1 a n. Por ejemplo, -- sumaCuadradosR 4 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosR :: Integer -> Integer sumaCuadradosR 0 = 0 sumaCuadradosR n = n*n + sumaCuadradosR n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Comprobar con QuickCheck si sumaCuadradosR n es igual a -- n(n+1)(2n+1)/6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_SumaCuadrados n = n >= 0 ==> sumaCuadradosR n == n * (n+1) * (2*n+1) `div` 6 -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_SumaCuadrados -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir, por comprensión, la función -- sumaCuadradosC :: Integer --> Integer -- tal que (sumaCuadradosC n) es la suma de los cuadrados de los números -- de 1 a n. Por ejemplo, -- sumaCuadradosC 4 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosC :: Integer -> Integer sumaCuadradosC n = sum [x^2 | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- sumaCuadradosR y sumaCuadradosC son equivalentes sobre los números -- naturales. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaCuadradosR n = n >= 0 ==> sumaCuadradosR n == sumaCuadradosC n -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_sumaCuadrados -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Se quiere formar una escalera con bloques cuadrados, -- de forma que tenga un número determinado de escalones. Por ejemplo, -- una escalera con tres escalones tendría la siguiente forma: -- XX -- XXXX -- XXXXXX -- Definir, por recursión, la función -- numeroBloquesR :: Integer -> Integer -- tal que (numeroBloquesR n) es el número de bloques necesarios para -- construir una escalera con n escalones. Por ejemplo, -- numeroBloquesR 1 == 2 -- numeroBloquesR 3 == 12 -- numeroBloquesR 10 == 110 -- --------------------------------------------------------------------- numeroBloquesR :: Integer -> Integer numeroBloquesR 0 = 0 numeroBloquesR n = 2*n + numeroBloquesR (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función -- numeroBloquesC :: Integer -> Integer -- tal que (numeroBloquesC n) es el número de bloques necesarios para -- construir una escalera con n escalones. Por ejemplo, -- numeroBloquesC 1 == 2 -- numeroBloquesC 3 == 12 -- numeroBloquesC 10 == 110 -- --------------------------------------------------------------------- numeroBloquesC :: Integer -> Integer numeroBloquesC n = sum [2*x | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Comprobar con QuickCheck que (numeroBloquesC n) es -- igual a n+n^2. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_numeroBloquesR n = n >0 ==> numeroBloquesC n == n+n^2 -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_numeroBloques -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir, por recursión, la función -- sumaCuadradosImparesR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCuadradosImparesR n) es la suma de los cuadrados de los -- números impares desde 1 hasta n. -- sumaCuadradosImparesR 1 == 1 -- sumaCuadradosImparesR 7 == 84 -- sumaCuadradosImparesR 4 == 10 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosImparesR :: Integer -> Integer sumaCuadradosImparesR 1 = 1 sumaCuadradosImparesR n | odd n = n^2 + sumaCuadradosImparesR (n-1) | otherwise = sumaCuadradosImparesR (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir, por comprensión, la función -- sumaCuadradosImparesC :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCuadradosImparesC n) es la suma de los cuadrados de los -- números impares desde 1 hasta n. -- sumaCuadradosImparesC 1 == 1 -- sumaCuadradosImparesC 7 == 84 -- sumaCuadradosImparesC 4 == 10 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosImparesC :: Integer -> Integer sumaCuadradosImparesC n = sum [x^2 | x <- [1..n], odd x] -- Otra definición más simple es sumaCuadradosImparesC' :: Integer -> Integer sumaCuadradosImparesC' n = sum [x^2 | x <- [1,3..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir, por recursión, la función -- digitosR :: Integer -> [Integer] -- tal que (digitosR n) es la lista de los dígitos del número n. Por -- ejemplo, -- digitosR 320274 == [3,2,0,2,7,4] -- --------------------------------------------------------------------- digitosR :: Integer -> [Integer] digitosR n = reverse (digitosR' n) digitosR' n | n < 10 = [n] | otherwise = (n `rem` 10) : digitosR' (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir, por comprensión, la función -- digitosC :: Integer -> [Integer] -- tal que (digitosC n) es la lista de los dígitos del número n. Por -- ejemplo, -- digitosC 320274 == [3,2,0,2,7,4] -- Indicación: Usar las funciones show y read. -- --------------------------------------------------------------------- digitosC :: Integer -> [Integer] digitosC n = [read [x] | x <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones digitosR y -- digitosC son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_digitos n = n >= 0 ==> digitosR n == digitosC n -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_digitos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función -- sumaDigitosR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDigitosR n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo, -- sumaDigitosR 3 == 3 -- sumaDigitosR 2454 == 15 -- sumaDigitosR 20045 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDigitosR :: Integer -> Integer sumaDigitosR n | n < 10 = n | otherwise = n `rem` 10 + sumaDigitosR (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir, sin usar recursión, la función -- sumaDigitosNR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDigitosNR n) es la suma de los dígitos de n. Por ejemplo, -- sumaDigitosNR 3 == 3 -- sumaDigitosNR 2454 == 15 -- sumaDigitosNR 20045 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDigitosNR :: Integer -> Integer sumaDigitosNR n = sum (digitosC n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones sumaDigitosR -- y sumaDigitosNR son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaDigitos n = n >= 0 ==> sumaDigitosR n == sumaDigitosNR n -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_sumaDigitos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- esDigito :: Integer -> Integer -> Bool -- tal que (esDigito x n) se verifica si x es un dígito de n. Por -- ejemplo, -- esDigito 4 1041 == True -- esDigito 3 1041 == False -- --------------------------------------------------------------------- esDigito :: Integer -> Integer -> Bool esDigito x n = x `elem` digitosC n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- numeroDeDigitos :: Integer -> Integer -- tal que (numeroDeDigitos x) es el número de dígitos de x. Por ejemplo, -- numeroDeDigitos 34047 == 5 -- --------------------------------------------------------------------- numeroDeDigitos :: Integer -> Int numeroDeDigitos x = length (digitosC x) |