I1M2011: Ejercicios de definiciones por recursión y comprensión en Haskell (1)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios de la 7ª relaciónen la que se presentan ejercicios con dos definiciones (una por recursión y otra por comprensión) y la comprobación de la equivalencia de las dos definiciones con QuickCheck. Los ejercicios corresponden al tema 5 y al tema 6.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación:
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-- I1M 2011-12: Rel_7_sol.hs (17 de Noviembre de 2011) -- Definiciones por recursión y por comprensión (1) -- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A. -- Universidad de Sevilla -- ===================================================================== -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por recursión; la función -- sumaCuadrados :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los números -- de 1 a n. Por ejemplo, -- sumaCuadrados 4 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadrados :: Integer -> Integer sumaCuadrados 0 = 0 sumaCuadrados (n+1) = sumaCuadrados n + (n+1)*(n+1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Comprobar con QuickCheck si sumaCuadrados n es igual a -- n(n+1)(2n+1)/6. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_SumaCuadrados n = n >= 0 ==> sumaCuadrados n == n * (n+1) * (2*n+1) `div` 6 -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_SumaCuadrados -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir, por comprensión, la función -- sumaCuadrados' :: Integer --> Integer -- tal que (sumaCuadrados' n) es la suma de los cuadrados de los números -- de 1 a n. Por ejemplo, -- sumaCuadrados' 4 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadrados' :: Integer -> Integer sumaCuadrados' n = sum [x^2 | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Comprobar con QuickCheck que las funciones -- sumaCuadrados y sumaCuadrados' son equivalentes sobre los números -- naturales. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaCuadrados n = n >= 0 ==> sumaCuadrados n == sumaCuadrados' n -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_sumaCuadrados -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Se quiere formar una escalera con bloques cuadrados, -- de forma que tenga un número determinado de escalones. Por ejemplo, -- una escalera con tres escalones tendría la siguiente forma: -- XX -- XXXX -- XXXXXX -- Definir, por recursión, la función -- numeroBloques :: Integer -> Integer -- tal que (numeroBloques n) es el número de bloques necesarios para -- construir una escalera con n escalones. Por ejemplo, -- numeroBloques 1 == 2 -- numeroBloques 3 == 12 -- numeroBloques 10 == 110 -- --------------------------------------------------------------------- numeroBloques :: Integer -> Integer numeroBloques 0 = 0 numeroBloques (n+1) = 2*(n+1) + numeroBloques n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir, por comprensión, la función -- numeroBloques' :: Integer -> Integer -- tal que (numeroBloques' n) es el número de bloques necesarios para -- construir una escalera con n escalones. Por ejemplo, -- numeroBloques' 1 == 2 -- numeroBloques' 3 == 12 -- numeroBloques' 10 == 110 -- --------------------------------------------------------------------- numeroBloques' :: Integer -> Integer numeroBloques' n = sum [2*x | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Comprobar con QuickCheck que (numeroBloques' n) es -- igual a n+n^2. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_numeroBloques n = n >0 ==> numeroBloques' n == n+n^2 -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_numeroBloques -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir, por recursión, la función -- sumaCuadradosImparesR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCuadradosImparesR n) es la suma de los cuadrados de los -- números impares desde 1 hasta n. -- sumaCuadradosImparesR 1 == 1 -- sumaCuadradosImparesR 7 == 84 -- sumaCuadradosImparesR 4 == 10 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosImparesR :: Integer -> Integer sumaCuadradosImparesR 1 = 1 sumaCuadradosImparesR n | odd n = n^2 + sumaCuadradosImparesR (n-1) | otherwise = sumaCuadradosImparesR (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir, por comprensión, la función -- sumaCuadradosImparesC :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCuadradosImparesC n) es la suma de los cuadrados de los -- números impares desde 1 hasta n. -- sumaCuadradosImparesC 1 == 1 -- sumaCuadradosImparesC 7 == 84 -- sumaCuadradosImparesC 4 == 10 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosImparesC :: Integer -> Integer sumaCuadradosImparesC n = sum [x^2 | x <- [1..n], odd x] -- Otra definición más simple es sumaCuadradosImparesC' :: Integer -> Integer sumaCuadradosImparesC' n = sum [x^2 | x <- [1,3..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir, por recursión, la función -- cifrasR :: Integer -> [Int] -- tal que (cifrasR n) es la lista de los cifras del número n. Por -- ejemplo, -- cifrasR 320274 == [3,2,0,2,7,4] -- --------------------------------------------------------------------- cifrasR :: Integer -> [Integer] cifrasR n = reverse (cifrasR' n) cifrasR' n | n < 10 = [n] | otherwise = (n `rem` 10) : cifrasR' (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir, por comprensión, la función -- cifras :: Integer -> [Int] -- tal que (cifras n) es la lista de los cifras del número n. Por -- ejemplo, -- cifras 320274 == [3,2,0,2,7,4] -- Indicación: Usar las funciones show y read. -- --------------------------------------------------------------------- cifras :: Integer -> [Integer] cifras n = [read [x] | x <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones cifrasR y -- cifras son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_cifras n = n >= 0 ==> cifrasR n == cifras n -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_cifras -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, por recursión, la función -- sumaCifrasR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCifrasR n) es la suma de las cifras de n. Por ejemplo, -- sumaCifrasR 3 == 3 -- sumaCifrasR 2454 == 15 -- sumaCifrasR 20045 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCifrasR :: Integer -> Integer sumaCifrasR n | n < 10 = n | otherwise = n `rem` 10 + sumaCifrasR (n `div` 10) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir, sin usar recursión, la función -- sumaCifrasNR :: Integer -> Integer -- tal que (sumaCifrasNR n) es la suma de las cifras de n. Por ejemplo, -- sumaCifrasNR 3 == 3 -- sumaCifrasNR 2454 == 15 -- sumaCifrasNR 20045 == 11 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCifrasNR :: Integer -> Integer sumaCifrasNR n = sum (cifras n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Comprobar con QuickCheck que las funciones sumaCifrasR -- y sumaCifrasNR son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaCifras n = n >= 0 ==> sumaCifrasR n == sumaCifrasNR n -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_sumaCifras -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- esCifra :: Integer -> Integer -> Bool -- tal que (esCifra x n) se verifica si x es una cifra de n. Por -- ejemplo, -- esCifra 4 1041 == True -- esCifra 3 1041 == False -- --------------------------------------------------------------------- esCifra :: Integer -> Integer -> Bool esCifra x n = elem x (cifras n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- numeroDeCifras :: Integer -> Integer -- tal que (numeroDeCifras x) es el número de cifras de x. Por ejemplo, -- numeroDeCifras 34047 == 5 -- --------------------------------------------------------------------- numeroDeCifras :: Integer -> Int numeroDeCifras x = length (cifras x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1 Definir, por recursión, la función -- listaNumeroR :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumeroR xs) es el número formado por las cifras xs. Por -- ejemplo, -- listaNumeroR [5] == 5 -- listaNumeroR [1,3,4,7] == 1347 -- listaNumeroR [0,0,1] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- listaNumeroR :: [Integer] -> Integer listaNumeroR xs = listaNumeroR' (reverse xs) listaNumeroR' :: [Integer] -> Integer listaNumeroR' [x] = x listaNumeroR' (x:xs) = x + 10 * (listaNumeroR' xs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Definir, por comprensión, la función -- listaNumeroC :: [Integer] -> Integer -- tal que (listaNumeroC xs) es el número formado por las cifras xs. Por -- ejemplo, -- listaNumeroC [5] == 5 -- listaNumeroC [1,3,4,7] == 1347 -- listaNumeroC [0,0,1] == 1 -- --------------------------------------------------------------------- listaNumeroC :: [Integer] -> Integer listaNumeroC xs = sum [y*10^n | (y,n) <- zip (reverse xs) [0..]] |