I1M2011: Ejercicios con definiciones por recursión y comprensión en Haskell (3)
La clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos terminado continuado comentando soluciones de ejercicios con definiciones por recursión y comprensión. Concretamente, hemos visto los la 7ª relación (que comenzamos en la clase del día 22 y continuamos en la clase del 25) y los de la 8ª relación.
Los ejercicios, y sus soluciones, de la 7ª relación se muestran a continuación:
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.1. Definir la función -- factores :: Integer -> Integer -- tal que (factores n) es la lista de los factores de n. Por ejemplo, -- factores 60 == [1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60] -- --------------------------------------------------------------------- factores :: Integer -> [Integer] factores n = [x | x <- [1..n], mod n x == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.2. Definir la función -- primo :: Integer -> Bool -- tal que (primo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- primo 7 == True -- primo 9 == False -- --------------------------------------------------------------------- primo :: Integer -> Bool primo x = factores x == [1,x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.3. Definir la función -- factoresPrimos :: Integer -> [Integer] -- tal que (factoresPrimos n) es la lista de los factores primos de -- n. Por ejemplo, -- factoresPrimos 60 == [2,3,5] -- --------------------------------------------------------------------- factoresPrimos :: Integer -> [Integer] factoresPrimos n = [x | x <- factores n, primo x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.4. Definir la función -- factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] -- tal que (factorizacion n) es la factorización de n. Por ejemplo, -- factorizacion 60 == [(2,2),(3,1),(5,1)] -- --------------------------------------------------------------------- factorizacion :: Integer -> [(Integer,Integer)] factorizacion n = [(x,mayorExponenteR x n) | x <- factoresPrimos n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.5. Definir, por recursión, la función -- expansionR :: [(Integer,Integer)] -> Integer -- tal que (expansionR xs) es la expansión de la factorización de -- xs. Por ejemplo, -- expansionR [(2,2),(3,1),(5,1)] == 60 -- --------------------------------------------------------------------- expansionR :: [(Integer,Integer)] -> Integer expansionR [] = 1 expansionR ((x,y):zs) = x^y * expansionR zs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.6. Definir, por comprensión, la función -- expansionC :: [(Integer,Integer)] -> Integer -- tal que (expansionC xs) es la expansión de la factorización de -- xs. Por ejemplo, -- expansionC [(2,2),(3,1),(5,1)] == 60 -- --------------------------------------------------------------------- expansionC :: [(Integer,Integer)] -> Integer expansionC xs = product [x^y | (x,y) <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.7. Definir la función -- prop_factorizacion :: Integer -> Bool -- tal que (prop_factorizacion n) se verifica si para todo número -- natural x, menor o igual que n, se tiene que -- (expansionC (factorizacion x)) es igual a x. Por ejemplo, -- prop_factorizacion 100 == True -- --------------------------------------------------------------------- prop_factorizacion n = and [expansionC (factorizacion x) == x | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. En un templo hindú se encuentran tres varillas de -- platino. En una de ellas, hay 64 anillos de oro de distintos radios, -- colocados de mayor a menor. -- -- El trabajo de los monjes de ese templo consiste en pasarlos todos a -- la tercera varilla, usando la segunda como varilla auxiliar, con las -- siguientes condiciones: -- * En cada paso sólo se puede mover un anillo. -- * Nunca puede haber un anillo de mayor diámetro encima de uno de -- menor diámetro. -- La leyenda dice que cuando todos los anillos se encuentren en la -- tercera varilla, será el fin del mundo. -- -- Definir la función -- numPasosHanoi :: Integer -> Integer -- tal que (numPasosHanoi n) es el número de pasos necesarios para -- trasladar n anillos. Por ejemplo, -- numPasosHanoi 2 == 3 -- numPasosHanoi 7 == 127 -- numPasosHanoi 64 == 18446744073709551615 -- --------------------------------------------------------------------- -- Sean A, B y C las tres varillas. La estrategia recursiva es la -- siguiente: -- * Caso base (N=1): Se mueve el disco de A a C. -- * Caso inductivo (N=M+1): Se mueven M discos de A a C. Se mueve el disco -- de A a B. Se mueven M discos de C a B. -- Por tanto, numPasosHanoi :: Integer -> Integer numPasosHanoi 1 = 1 numPasosHanoi (n+1) = 1 + 2 * numPasosHanoi n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. (Problema 16 del proyecto Euler) El problema se -- encuentra en http://goo.gl/4uWh y consiste en calcular la suma de las -- cifras de 2^1000. Lo resolveremos mediante los distintos apartados de -- este ejercicio. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.1. Definir la función -- euler16 :: Integer -> Integer -- tal que (euler16 n) es la suma de las cifras de 2^n. Por ejemplo, -- euler16 4 == 7 -- --------------------------------------------------------------------- euler16 :: Integer -> Integer euler16 n = sumaCifrasNR (2^n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16.2. Calcular la suma de las cifras de 2^1000. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- *Main> euler16 1000 -- 1366 |
Los ejercicios, y sus soluciones, de la 7ª relación se muestran a continuación:
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-- I1M 2011-12: Rel_8_sol.hs (21 de Noviembre de 2011) -- Definiciones por recursión y por comprensión (2) -- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A. -- Universidad de Sevilla -- ===================================================================== -- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con dos definiciones (una -- por recursión y otra por comprensión) y la comprobación de la -- equivalencia de las dos definiciones con QuickCheck. Los ejercicios -- corresponden a los temas 5 y 6 cuyas transparencias se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-11/temas/tema-5.pdf -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-6.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir, por comprensión, la función -- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por -- ejemplo, -- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9] -- --------------------------------------------------------------------- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer] cuadradosC xs = [x*x | x <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir, por recursión, la función -- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por -- ejemplo, -- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9] -- --------------------------------------------------------------------- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer] cuadradosR [] = [] cuadradosR (x:xs) = x*x : cuadradosR xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. Definir, por comprensión, la función -- imparesC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por -- ejemplo, -- imparesC [1,2,3] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- imparesC :: [Integer] -> [Integer] imparesC xs = [x | x <- xs, odd x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir, por recursión, la función -- imparesR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por -- ejemplo, -- imparesR [1,2,3] == [1,3] -- --------------------------------------------------------------------- imparesR :: [Integer] -> [Integer] imparesR [] = [] imparesR (x:xs) | odd x = x : imparesR xs | otherwise = imparesR xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir, por comprensión, la función -- imparesCuadradosC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesCuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de los -- números impares de xs. Por ejemplo, -- imparesCuadradosC [1,2,3] == [1,9] -- --------------------------------------------------------------------- imparesCuadradosC :: [Integer] -> [Integer] imparesCuadradosC xs = [x*x | x <- xs, odd x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir, por recursión, la función -- imparesCuadradosR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesCuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de los -- números impares de xs. Por ejemplo, -- imparesCuadradosR [1,2,3] == [1,9] -- --------------------------------------------------------------------- imparesCuadradosR :: [Integer] -> [Integer] imparesCuadradosR [] = [] imparesCuadradosR (x:xs) | odd x = x*x : imparesCuadradosR xs | otherwise = imparesCuadradosR xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir, por comprensión, la función -- sumaCuadradosImparesC :: [Integer] -> Integer -- tal que (sumaCuadradosImparesC xs) es la suma de los cuadrados de los -- números impares de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaCuadradosImparesC [1,2,3] == 10 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosImparesC :: [Integer] -> Integer sumaCuadradosImparesC xs = sum [ x*x | x <- xs, odd x ] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir, por recursión, la función -- sumaCuadradosImparesR :: [Integer] -> Integer -- tal que (sumaCuadradosImparesR xs) es la suma de los cuadrados de los -- números impares de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaCuadradosImparesR [1,2,3] == 10 -- --------------------------------------------------------------------- sumaCuadradosImparesR :: [Integer] -> Integer sumaCuadradosImparesR [] = 0 sumaCuadradosImparesR (x:xs) | odd x = x*x + sumaCuadradosImparesR xs | otherwise = sumaCuadradosImparesR xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, usando funciones predefinidas, la función -- entreL :: Integer -> Integer -> [Integer] -- tal que (entreL m n) es la lista de los números entre m y n. Por -- ejemplo, -- entreL 2 5 == [2,3,4,5] -- --------------------------------------------------------------------- entreL :: Integer -> Integer -> [Integer] entreL m n = [m..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir, por recursión, la función -- entreR :: Integer -> Integer -> [Integer] -- tal que (entreR m n) es la lista de los números entre m y n. Por -- ejemplo, -- entreR 2 5 == [2,3,4,5] -- --------------------------------------------------------------------- entreR :: Integer -> Integer -> [Integer] entreR m n | m > n = [] | otherwise = m : entreR (m+1) n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Definir, por comprensión, la función -- mitadPares :: [Int] -> [Int] -- tal que (mitadPares xs) es la lista de las mitades de los elementos -- de xs que son pares. Por ejemplo, -- mitadPares [0,2,1,7,8,56,17,18] == [0,1,4,28,9] -- --------------------------------------------------------------------- mitadPares :: [Int] -> [Int] mitadPares xs = [x `div` 2 | x <- xs, x `mod` 2 == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir, por recursión, la función -- mitadParesRec :: [Int] -> [Int] -- tal que (mitadParesRec []) es la lista de las mitades de los elementos -- de xs que son pares. Por ejemplo, -- mitadParesRec [0,2,1,7,8,56,17,18] == [0,1,4,28,9] -- --------------------------------------------------------------------- mitadParesRec :: [Int] -> [Int] mitadParesRec [] = [] mitadParesRec (x:xs) | even x = x `div` 2 : mitadParesRec xs | otherwise = mitadParesRec xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Comprobar con QuickCheck que ambas definiciones son -- equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_mitadPares :: [Int] -> Bool prop_mitadPares xs = mitadPares xs == mitadParesRec xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_mitadPares -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. Definir, por comprensión, la función -- enRango :: Int -> Int -> [Int] -> [Int] -- tal que (enRango a b xs) es la lista de los elementos de xs mayores o -- iguales que a y menores o iguales que b. Por ejemplo, -- enRango 5 10 [1..15] == [5,6,7,8,9,10] -- enRango 10 5 [1..15] == [] -- enRango 5 5 [1..15] == [5] -- --------------------------------------------------------------------- enRango :: Int -> Int -> [Int] -> [Int] enRango a b xs = [x | x <- xs, a <= x, x <= b] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Definir, por recursión, la función -- enRangoRec :: Int -> Int -> [Int] -> [Int] -- tal que (enRangoRec a b []) es la lista de los elementos de xs -- mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Por ejemplo, -- enRangoRec 5 10 [1..15] == [5,6,7,8,9,10] -- enRangoRec 10 5 [1..15] == [] -- enRangoRec 5 5 [1..15] == [5] -- --------------------------------------------------------------------- enRangoRec :: Int -> Int -> [Int] -> [Int] enRangoRec a b [] = [] enRangoRec a b (x:xs) | a <= x && x <= b = x : enRangoRec a b xs | otherwise = enRangoRec a b xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.3. Comprobar con QuickCheck que ambas definiciones son -- equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_enRango :: Int -> Int -> [Int] -> Bool prop_enRango a b xs = enRango a b xs == enRangoRec a b xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_enRango -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función -- sumaPositivos :: [Int] -> Int -- tal que (sumaPositivos xs) es la suma de los números positivos de -- xs. Por ejemplo, -- sumaPositivos [0,1,-3,-2,8,-1,6] == 15 -- --------------------------------------------------------------------- sumaPositivos :: [Int] -> Int sumaPositivos xs = sum [x | x <- xs, x > 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función -- sumaPositivosRec :: [Int] -> Int -- tal que (sumaPositivosRec xs) es la suma de los números positivos de -- xs. Por ejemplo, -- sumaPositivosRec [0,1,-3,-2,8,-1,6] == 15 -- --------------------------------------------------------------------- sumaPositivosRec :: [Int] -> Int sumaPositivosRec [] = 0 sumaPositivosRec (x:xs) | x > 0 = x + sumaPositivosRec xs | otherwise = sumaPositivosRec xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.3. Comprobar con QuickCheck que ambas definiciones son -- equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaPositivos :: [Int] -> Bool prop_sumaPositivos xs = sumaPositivos xs == sumaPositivosRec xs -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaPositivos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. El doble factorial de un número n se define por -- n!! = n*(n-2)* ... * 3 * 1, si n es impar -- n!! = n*(n-2)* ... * 4 * 2, si n es par -- 1!! = 1 -- 0!! = 1 -- Por ejemplo, -- 8!! = 8*6*4*2 = 384 -- 9!! = 9*7*5*3*1 = 945 -- Definir, por recursión, la función -- dobleFactorial :: Integer -> Integer -- tal que (dobleFactorial n) es el doble factorial de n. Por ejemplo, -- dobleFactorial 8 == 384 -- dobleFactorial 9 == 945 -- --------------------------------------------------------------------- dobleFactorial :: Integer -> Integer dobleFactorial 0 = 1 dobleFactorial 1 = 1 dobleFactorial n = n * dobleFactorial (n-2) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función -- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int] -- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos -- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7] -- sumaConsecutivos [3] == [] -- --------------------------------------------------------------------- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int] sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el -- número de posiciones en que los correspondientes elementos son -- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba" -- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos -- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª). -- -- Definir la función -- distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int -- tal que (distancia xs ys) es la distancia de Hamming entre xs e -- ys. Por ejemplo, -- distancia "romano" "comino" == 2 -- distancia "romano" "camino" == 3 -- distancia "roma" "comino" == 2 -- distancia "roma" "camino" == 3 -- distancia "romano" "ron" == 1 -- distancia "romano" "cama" == 2 -- distancia "romano" "rama" == 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Por comprensión: distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int distancia xs ys = length [(x,y) | (x,y) <- zip xs ys, x /= y] -- Por recursión: distancia' :: Eq a => [a] -> [a] -> Int distancia' [] ys = 0 distancia' xs [] = 0 distancia' (x:xs) (y:ys) | x /= y = 1 + distancia' xs ys | otherwise = distancia' xs ys -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. La suma de la serie -- 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... -- es pi^2/6. Por tanto, pi se puede aproximar mediante la raíz cuadrada -- de 6 por la suma de la serie. -- -- Definir la función aproximaPi tal que (aproximaPi n) es la aproximación -- de pi obtenida mediante n términos de la serie. Por ejemplo, -- aproximaPi 4 == sqrt(6*(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2)) -- == 2.9226129861250305 -- aproximaPi 1000 == 3.1406380562059946 -- --------------------------------------------------------------------- -- Por comprensión: aproximaPi n = sqrt(6*sum [1/x^2 | x <- [1..n]]) -- Por recursión: aproximaPi' n = sqrt(6*aproximaPi'' n) aproximaPi'' 1 = 1 aproximaPi'' n = 1/n^2 + aproximaPi'' (n-1) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.1. Definir por recursión la función -- sustituyeImpar :: [Int] -> [Int] -- tal que (sustituyeImpar xs) es la lista obtenida sustituyendo cada -- número impar de xs por el siguiente número par. Por ejemplo, -- sustituyeImpar [2,5,7,4] == [2,6,8,4] -- --------------------------------------------------------------------- sustituyeImpar :: [Int] -> [Int] sustituyeImpar [] = [] sustituyeImpar (x:xs) | odd x = (x+1): sustituyeImpar xs | otherwise = x:sustituyeImpar xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickChek la siguiente propiedad: para -- cualquier lista de números enteros xs, todos los elementos de la -- lista (sustituyeImpar xs) son números pares. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sustituyeImpar :: [Int] -> Bool prop_sustituyeImpar xs = and [even x | x <- sustituyeImpar xs] -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sustituyeImpar -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.1. El número e se puede definir como la suma de la -- serie: -- 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! +... -- Definir la función aproxE tal que (aproxE n) es la aproximación de e -- que se obtiene sumando los términos de la serie hasta 1/n!. Por -- ejemplo, -- aproxE 10 == 2.718281801146385 -- aproxE 100 == 2.7182818284590455 -- --------------------------------------------------------------------- aproxE n = 1 + sum [ 1 / factorial k | k <- [1..n]] factorial n = product [1..n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.2. Definir la constante e como 2.71828459. -- --------------------------------------------------------------------- e = 2.71828459 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14.3. Definir la función errorE tal que (errorE x) es el -- menor número de términos de la serie anterior necesarios para obtener -- e con un error menor que x. -- errorE 0.1 == 3.0 -- errorE 0.01 == 4.0 -- errorE 0.001 == 6.0 -- errorE 0.0001 == 7.0 -- --------------------------------------------------------------------- errorE x = head [n | n <- [0..], abs(aproxE n - e) < x] |