I1M2010: Examen de julio de 2011
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se ha realizado el examen de la convocatoria de julio.
A continuación se muestra el examen junto con su solución:
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 |
-- Informática (1º del Grado en Matemáticas) -- Examen de la 1ª convocatoria (8 de julio de 2011) -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.Array import Data.Char import GrafoConVectorDeAdyacencia -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. El enunciado de un problema de las olimpiadas rusas de -- matemáticas es el siguiente: -- Si escribimos todos los números enteros empezando por el uno, uno -- al lado del otro (o sea, 1234567891011121314...), ¿qué dígito -- ocupa la posición 206788? -- En los distintos apartados de este ejercicios resolveremos el -- problema. -- -- Definir la constante -- cadenaDeNaturales :: String -- tal que cadenaDeNaturales es la cadena obtenida escribiendo todos los -- números enteros empezando por el uno. Por ejemplo, -- take 19 cadenaDeNaturales == "1234567891011121314" -- --------------------------------------------------------------------- cadenaDeNaturales :: String cadenaDeNaturales = concat [show n | n <- [1..]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir la función -- digito :: Int -> Int -- tal que (digito n) es el dígito que ocupa la posición n en la cadena -- de los naturales (el número de las posiciones empieza por 1). Por -- ejemplo, -- digito 10 == 1 -- digito 11 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- digito :: Int -> Int digito n = digitToInt (cadenaDeNaturales !! (n-1)) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Calcular el dígito que ocupa la posición 206788 en la -- cadena de los naturales. -- --------------------------------------------------------------------- -- El cálculo es -- ghci> digito 206788 -- 7 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. El problema de esta semana de los desafíos matemáticos -- de El Pais parte de la observación de que todos los números naturales -- tienen al menos un múltiplo no nulo que está formado solamente por -- ceros y unos. Por ejemplo, 1x10=10, 2x5=10, 3x37=111, 4x25=100, -- 5x2=10, 6x185=1110; 7x143=1001; 8X125=1000; 9x12345679=111111111, ... -- y así para cualquier número natural. -- -- Definir la constante -- numerosCon1y0 :: [Integer] -- tal que numerosCon1y0 es la lista de los números cuyos dígitos son 1 -- ó 0. Por ejemplo, -- ghci> take 15 numerosCon1y0 -- [1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,1100,1101,1110,1111] -- --------------------------------------------------------------------- numerosCon1y0 :: [Integer] numerosCon1y0 = 1 : concat [[10*x,10*x+1] | x <- numerosCon1y0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.2. Definir la función -- multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer] -- tal que (multiplosCon1y0 n) es la lista de los múltiplos de n cuyos -- dígitos son 1 ó 0. Por ejemplo, -- take 4 (multiplosCon1y0 3) == [111,1011,1101,1110] -- --------------------------------------------------------------------- multiplosCon1y0 :: Integer -> [Integer] multiplosCon1y0 n = [x | x <- numerosCon1y0, x `rem` n == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.3. Comprobar con QuickCheck que todo número natural, -- mayor que 0, tiene múltiplos cuyos dígitos son 1 ó 0. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_existe_multiplosCon1y0 :: Integer -> Property prop_existe_multiplosCon1y0 n = n > 0 ==> multiplosCon1y0 n /= [] -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_existe_multiplosCon1y0 -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Una matriz permutación es una matriz cuadrada con -- todos sus elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila -- y columna, el cual debe ser igual a 1. -- -- En este ejercicio se usará el tipo de las matrices definido por -- type Matriz a = Array (Int,Int) a -- y los siguientes ejemplos de matrices -- q1, q2, q3 :: Matriz Int -- q1 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),1),((1,2),0),((2,1),0),((2,2),1)] -- q2 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),0),((1,2),1),((2,1),0),((2,2),1)] -- q3 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),3),((1,2),0),((2,1),0),((2,2),1)] -- -- Definir la función -- esMatrizPermutacion :: Num a => Matriz a -> Bool -- tal que (esMatrizPermutacion p) se verifica si p es una matriz -- permutación. Por ejemplo. -- esMatrizPermutacion q1 == True -- esMatrizPermutacion q2 == False -- esMatrizPermutacion q3 == False -- --------------------------------------------------------------------- type Matriz a = Array (Int,Int) a q1, q2, q3 :: Matriz Int q1 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),1),((1,2),0),((2,1),0),((2,2),1)] q2 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),0),((1,2),1),((2,1),0),((2,2),1)] q3 = array ((1,1),(2,2)) [((1,1),3),((1,2),0),((2,1),0),((2,2),1)] esMatrizPermutacion :: Num a => Matriz a -> Bool esMatrizPermutacion p = and [esListaUnitaria [p!(i,j) | i <- [1..n]] | j <- [1..n]] && and [esListaUnitaria [p!(i,j) | j <- [1..n]] | i <- [1..n]] where ((1,1),(n,_)) = bounds p -- (esListaUnitaria xs) se verifica si xs tiene un 1 y los restantes -- elementos son 0. Por ejemplo, -- esListaUnitaria [0,1,0,0] == True -- esListaUnitaria [0,1,0,1] == False -- esListaUnitaria [0,2,0,0] == False esListaUnitaria xs = [x | x <- xs, x /= 0] == [1] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Un mapa se puede representar mediante un grafo donde -- los vértices son las regiones del mapa y hay una arista entre dos -- vértices si las correspondientes regiones son vecinas. Por ejemplo, -- el mapa siguiente -- +----------+----------+ -- | 1 | 2 | -- +----+-----+-----+----+ -- | | | | -- | 3 | 4 | 5 | -- | | | | -- +----+-----+-----+----+ -- | 6 | 7 | -- +----------+----------+ -- se pueden representar por -- mapa :: Grafo Int Int -- mapa = creaGrafo False (1,7) -- [(1,2,0),(1,3,0),(1,4,0),(2,4,0),(2,5,0),(3,4,0), -- (3,6,0),(4,5,0),(4,6,0),(4,7,0),(5,7,0),(6,7,0)] -- Para colorear el mapa se dispone de 4 colores definidos por -- data Color = A | B | C | D deriving (Eq, Show) -- -- Definir la función -- correcta :: [(Int,Color)] -> Grafo Int Int -> Bool -- tal que (correcta ncs m) se verifica si ncs es una coloración del -- mapa m tal que todos las regiones vecinas tienen colores distintos. -- Por ejemplo, -- correcta [(1,A),(2,B),(3,B),(4,C),(5,A),(6,A),(7,B)] mapa == True -- correcta [(1,A),(2,B),(3,A),(4,C),(5,A),(6,A),(7,B)] mapa == False -- --------------------------------------------------------------------- mapa :: Grafo Int Int mapa = creaGrafo False (1,7) [(1,2,0),(1,3,0),(1,4,0),(2,4,0),(2,5,0),(3,4,0), (3,6,0),(4,5,0),(4,6,0),(4,7,0),(5,7,0),(6,7,0)] data Color = A | B | C | D deriving (Eq, Show) correcta :: [(Int,Color)] -> Grafo Int Int -> Bool correcta ncs g = and [and [color x /= color y | y <- adyacentes g x] | x <- nodos g] where color x = head [c | (y,c) <- ncs, y == x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. La expansión decimal de un número racional puede -- representarse mediante una lista cuyo primer elemento es la parte -- entera y el resto está formado por los dígitos de su parte decimal. -- -- Definir la función -- expansionDec :: Integer -> Integer -> [Integer] -- tal que (expansionDec x y) es la expansión decimal de x/y. Por -- ejemplo, -- take 10 (expansionDec 1 4) == [0,2,5] -- take 10 (expansionDec 1 7) == [0,1,4,2,8,5,7,1,4,2] -- take 12 (expansionDec 90 7) == [12,8,5,7,1,4,2,8,5,7,1,4] -- take 12 (expansionDec 23 14) == [1,6,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5] -- --------------------------------------------------------------------- expansionDec :: Integer -> Integer -> [Integer] expansionDec x y | r == 0 = [q] | otherwise = q : expansionDec (r*10) y where (q,r) = quotRem x y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. La parte decimal de las expansiones decimales se puede -- dividir en la parte pura y la parte periódica (que es la que se -- repite). Por ejemplo, puesto que la expansión de 23/14 es -- [1,6,4,2,8,5,7,1,4,2,8,5,... -- su parte entera es 1, su parte decimal pura es [6] y su parte decimal -- periódica es [4,2,8,5,7,1]. -- -- Definir la función -- formaDecExpDec :: [Integer] -> (Integer,[Integer],[Integer]) -- tal que (formaDecExpDec xs) es la forma decimal de la expresión -- decimal xs; es decir, la terna formada por la parte entera, la parte -- decimal pura y la parte decimal periódica. Por ejemplo, -- formaDecExpDec [3,1,4] == (3,[1,4],[]) -- formaDecExpDec [3,1,4,6,7,5,6,7,5] == (3,[1,4],[6,7,5]) -- formaDecExpDec (expansionDec 23 14) == (1,[6],[4,2,8,5,7,1]) -- --------------------------------------------------------------------- formaDecExpDec :: [Integer] -> (Integer,[Integer],[Integer]) formaDecExpDec (x:xs) = (x,ys,zs) where (ys,zs) = decimales xs -- (decimales xs) es el par formado por la parte decimal pura y la parte -- decimal periódica de la lista de decimales xs. Por ejemplo, -- decimales [3,1,4] == ([3,1,4],[]) -- decimales [3,1,6,7,5,6,7,5] == ([3,1],[6,7,5]) decimales :: [Integer] -> ([Integer],[Integer]) decimales xs = decimales' xs [] where decimales' [] ys = (reverse ys, []) decimales' (x:xs) ys | x `elem` ys = splitAt k ys' | otherwise = decimales' xs (x:ys) where ys' = reverse ys k = posicion x ys' -- (posicion x ys) es la primera posición de x en la lista ys. Por -- ejemplo, -- posicion 2 [0,2,3,2,5] == 1 posicion :: Eq a => a -> [a] -> Int posicion x ys = head [n | (n,y) <- zip [0..] ys, x == y] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Definir la función -- formaDec :: Integer -> Integer -> (Integer,[Integer],[Integer]) -- tal que (formaDec x y) es la forma decimal de x/y; es decir, la terna -- formada por la parte entera, la parte decimal pura y la parte decimal -- periódica. Por ejemplo, -- formaDec 1 4 == (0,[2,5],[]) -- formaDec 23 14 == (1,[6],[4,2,8,5,7,1]) -- --------------------------------------------------------------------- formaDec :: Integer -> Integer -> (Integer,[Integer],[Integer]) formaDec x y = formaDecExpDec (expansionDec x y) |