I1M2010: Ejercicios de Haskell (relaciones 14 y 15)

En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos continuado con la resolución de los ejercicios de la 14ª relación (que comenzamos en la clase del día 17) y hemos comentado las soluciones de la 15ª relación.

Las soluciones de los restantes de la relación 14 son

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
--    sumaCifrasLista :: [Int] -> Int
-- tal que (sumaCifrasLista xs) es la suma de las cifras de la lista de
-- números xs. Por ejemplo, 
--    sumaCifrasLista [254, 61]  ==  18
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:
sumaCifrasLista :: [Int] -> Int
sumaCifrasLista xs = sum [sumaCifras y | y <- xs]

-- Por recursión:
sumaCifrasListaR :: [Int] -> Int
sumaCifrasListaR [] = 0
sumaCifrasListaR (x:xs) = sumaCifras x + sumaCifrasListaR xs

-- Por plegado:
sumaCifrasListaP :: [Int] -> Int
sumaCifrasListaP = foldr f 0
                   where f x y = sumaCifras x + y

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    propiedad2 :: Int -> Bool
-- tal que (propiedad2 n) se verifica si n puede expresarse como suma de
-- 11 primos consecutivos y la suma de las cifras de los 11 sumandos es
-- un número primo. Por ejemplo,
--    propiedad2 2011  ==  True
--    propiedad2 2000  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

propiedad2 :: Int -> Bool
propiedad2 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n, 
                     length xs == 11,
                     esPrimo (sumaCifrasLista xs)] 
               /= []

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la
-- propiedad2. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad2 n]
--    2011

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    propiedad3 :: Int -> Bool
-- tal que (propiedad3 n) se verifica si n puede expresarse como suma de
-- tantos números consecutivos como indican sus dos últimas cifras. Por
-- ejemplo, 
--    propiedad3 2011  ==  True
--    propiedad3 2000  ==  False
-- ---------------------------------------------------------------------

propiedad3 :: Int -> Bool
propiedad3 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n,
                     length xs == a]
               /= []
    where a = mod n 100

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la
-- propiedad3. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es
--    ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad3 n]
--    2011

-- Hemos comprobado que 2011 es el menor número que cumple las
-- propiedades 1 y 1 y también es el menor número que cumple las
-- propiedades 1 y 3.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- sumaCifrasLista :: [Int] -> Int

-- tal que (sumaCifrasLista xs) es la suma de las cifras de la lista de

-- números xs. Por ejemplo,

-- sumaCifrasLista [254, 61] == 18

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:

sumaCifrasLista :: [Int] -> Int

sumaCifrasLista xs = sum [sumaCifras y | y <- xs]

-- Por recursión:

sumaCifrasListaR :: [Int] -> Int

sumaCifrasListaR [] = 0

sumaCifrasListaR (x:xs) = sumaCifras x + sumaCifrasListaR xs

-- Por plegado:

sumaCifrasListaP :: [Int] -> Int

sumaCifrasListaP = foldr f 0

where f x y = sumaCifras x + y

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- propiedad2 :: Int -> Bool

-- tal que (propiedad2 n) se verifica si n puede expresarse como suma de

-- 11 primos consecutivos y la suma de las cifras de los 11 sumandos es

-- un número primo. Por ejemplo,

-- propiedad2 2011 == True

-- propiedad2 2000 == False

-- ---------------------------------------------------------------------

propiedad2 :: Int -> Bool

propiedad2 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n,

length xs == 11,

esPrimo (sumaCifrasLista xs)]

/= []

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la

-- propiedad2.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad2 n]

-- 2011

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- propiedad3 :: Int -> Bool

-- tal que (propiedad3 n) se verifica si n puede expresarse como suma de

-- tantos números consecutivos como indican sus dos últimas cifras. Por

-- ejemplo,

-- propiedad3 2011 == True

-- propiedad3 2000 == False

-- ---------------------------------------------------------------------

propiedad3 :: Int -> Bool

propiedad3 n = [xs | xs <- primosConsecutivosConSuma n,

length xs == a]

/= []

where a = mod n 100

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Calcular el primer año que cumple la propiedad1 y la

-- propiedad3.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El cálculo es

-- ghci> head [n | n <- [1..], propiedad1 n, propiedad3 n]

-- 2011

-- Hemos comprobado que 2011 es el menor número que cumple las

-- propiedades 1 y 1 y también es el menor número que cumple las

-- propiedades 1 y 3.

Las soluciones de los ejercicios de la relación 15 son

-- I1M 2010-11: Relación 15 (18 de enero de 2010)
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
-- =====================================================================

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-- Importación de librerías auxiliares                                  
-- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir, usando takeWhile y map, la función
--    potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int]
-- tal que (potenciasMenores x y) es la lista de las potencias de x
-- menores que y. Por ejemplo,
--    potenciasMenores 2 1000  ==  [2,4,8,16,32,64,128,256,512]
-- ---------------------------------------------------------------------

potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int]
potenciasMenores x y = takeWhile (<y) (map (x^) [1..])

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir, por recursión y comprensión, la función 
--    repite :: a -> [a]
-- tal que (repite x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por
-- ejemplo, 
--    repite 5           == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...
--    take 3 (repite 5)  ==  [5,5,5]
-- Nota: La función repite es equivalente a la función repeat definida en
-- el preludio de Haskell.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por recursión:
repite :: a -> [a]
repite x = x : repite x

-- Por comprensión:
repite' x = [x | _ <- [1..]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir, por recursión y por comprensión, la función 
--    repiteFinita :: Int-> a -> [a]
-- tal que (repite n x) es la lista con n elementos iguales a x. Por
-- ejemplo, 
--    repiteFinita 3 5  ==  [5,5,5]
-- Nota: La función repite es equivalente a la función replicate definida
-- en el preludio de Haskell.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por recursión:
repiteFinita :: Int -> a -> [a]
repiteFinita n x = take n (repite x)

-- Por comprensión:
repiteFinita' :: Int -> a -> [a]
repiteFinita' n x = [x | _ <- [1..n]]

-- También se puede definir usando repite
repiteFinita2 :: Int -> a -> [a]
repiteFinita2 n x = take n (repite x)


-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Se considera la función
--    eco :: String -> String
-- tal que (eco xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs
-- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el
-- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así
-- sucesivamente. Por ejemplo, 
--    eco "abcd"  ==  "abbcccdddd"
-- 1. Escribir una definición 'no recursiva' de la función eco.
-- 2. Escribir una definición 'recursiva' de la función eco.
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Una definición no recursiva es
ecoNR :: String -> String
ecoNR xs = concat [replicate i x | (i,x) <- zip [1..] xs]

-- Una definición recursiva es
ecoR :: String -> String
ecoR xs =  
    ecoRaux 1 0 xs
    where
      ecoRaux i n []  =  []
      ecoRaux i n (c:cs) | i <= n     =  ecoRaux (i+1) 0 cs
                         | otherwise  =  c : (ecoRaux i (n+1) (c:cs))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir, por recursión, la función
--    itera :: (a -> a) -> a -> [a]
-- tal que (itera f x) es la lista cuyo primer elemento es x y los
-- siguientes elementos se calculan aplicando la función f al elemento
-- anterior. Por ejemplo, 
--    Main> itera (+1) 3
--    [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{Interrupted!}
--    Main> itera (*2) 1
--    [1,2,4,8,16,32,64,{Interrupted!}
--    Main> itera (`div` 10) 1972
--    [1972,197,19,1,0,0,0,0,0,0,{Interrupted!}
-- Nota: La función repite es equivalente a la función iterate definida
-- en el preludio de Haskell.
-- ---------------------------------------------------------------------

itera :: (a -> a) -> a -> [a]
itera f x = x : itera f (f x)

-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6, Definir la función
--    agrupa :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (agrupa n xs) es la lista de las sublistas de longitud n de
-- la lista xs. Por ejemplo, 
--    Main> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7]
--    [[3,1],[5,8],[2,7]]
--    Main> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7,9] 
--    [[3,1],[5,8],[2,7],[9]]
--    Main> agrupa 5 "todo necio confunde valor y precio"
--    ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"]
-- ---------------------------------------------------------------------------- 

-- Una definición no recursiva es
agrupa :: Int -> [a] -> [[a]]
agrupa n = takeWhile (not . null)
         . map (take n)
         . iterate (drop n)

-- Puede verse su funcionamiento en el siguiente ejemplo,
--    iterate (drop 2) [5..10]  
--    ==> [[5,6,7,8,9,10],[7,8,9,10],[9,10],[],[],...
--    map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10])
--    ==> [[5,6],[7,8],[9,10],[],[],[],[],...
--    takeWhile (not . null) (map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10]))
--    ==> [[5,6],[7,8],[9,10]]

-- Una definición recursiva de agrupa es
agrupa' :: Int -> [a] -> [[a]]
agrupa' n [] = []
agrupa' n xs = take n xs : agrupa' n (drop n xs)

-- ----------------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir, y comprobar, con QuickCheck las dos propiedades
-- que caracterizan a la función agrupa:
-- * todos los grupos tienen que tener la longitud determinada (salvo el
--   último que puede tener una longitud menor) y
-- * combinando todos los grupos se obtiene la lista inicial.
-- ---------------------------------------------------------------------------- 

-- La primera propiedad es
prop_AgrupaLongitud :: Int -> [Int] -> Property
prop_AgrupaLongitud n xs =
    n > 0 && not (null gs) ==>
      and [length g == n | g <- init gs] &&
      0 < length (last gs) && length (last gs) <= n
    where
      gs = agrupa n xs

-- La comprobación es
--    Main> quickCheck prop_AgrupaLongitud
--    OK, passed 100 tests.

-- La segunda propiedad es
prop_AgrupaCombina :: Int -> [Int] -> Property
prop_AgrupaCombina n xs =
    n > 0 ==>
      concat (agrupa n xs) == xs 

-- La comprobación es
--    Main> quickCheck prop_AgrupaCombina
--    OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero
-- positivo:  
--    * Si el número es par, se divide entre 2.
--    * Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.
-- Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir,
-- las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita
-- de 13 es
--    13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...
-- Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir,
-- se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura
-- de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número
-- con el que comencemos. Ejemplos:  
--    * Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
--    * Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,
--      10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. 
--    * Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta
--      9232 antes de descender a 1:  27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47,
--      142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274,
--      137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263,
--      790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502,
--      251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958,
--      479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644,
--      1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308,
--      1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122,
--      61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5,
--      16, 8, 4, 2, 1. 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    siguiente :: Integer -> Integer
-- tal que (siguiente n) es el siguiente de n en la sucesión de
-- Collatz. Por ejemplo,
--    siguiente 13  ==  40
--    siguiente 40  ==  20
-- ---------------------------------------------------------------------

siguiente n | even n    = n `div` 2
            | otherwise = 3*n+1

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir, por recursión, la función 
--    collatz :: Integer -> [Integer]
-- tal que (collatz n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el
-- 1. Por ejemplo,
--    collatz 13  ==  [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1]
-- ---------------------------------------------------------------------

collatz :: Integer -> [Integer]
collatz 1 = [1]
collatz n = n : collatz (siguiente n)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir, sin recursión, la función 
--    collatz' :: Integer -> [Integer]
-- tal que (collatz' n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el
-- 1. Por ejemplo,
--    collatz' 13  ==  [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1]
-- Indicación: Usar takeWhile e iterate.
-- ---------------------------------------------------------------------

collatz' :: Integer -> [Integer]
collatz' n = (takeWhile (/=1) (iterate siguiente n)) ++ [1]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir la función
--    menorCollatzMayor :: Int -> Integer
-- tal que (menorCollatzMayor x) es el menor número cuya órbita de
-- Collatz tiene más de x elementos. Por ejemplo,
--    menorCollatzMayor 100  ==  27
-- ---------------------------------------------------------------------

menorCollatzMayor :: Int -> Integer
menorCollatzMayor x = head [y | y <- [1..], length (collatz y) > x]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    menorCollatzSupera :: Integer -> Integer
-- tal que (menorCollatzSupera x) es el menor número cuya órbita de
-- Collatz tiene algún elemento mayor que x. Por ejemplo,
--    menorCollatzSupera 100  ==  15
-- ---------------------------------------------------------------------

menorCollatzSupera :: Integer -> Integer
menorCollatzSupera x = 
    head [y | y <- [1..], maximum (collatz y) > x]

-- Otra definición alternativa es
menorCollatzSupera' :: Integer -> Integer
menorCollatzSupera' x = head [n | n <- [1..], t <- collatz' n, t > x]

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

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132

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137

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146

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148

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157

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160

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163

164

165

166

167

168

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170

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173

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180

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250

251

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253

254

255

256

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258

259

260

-- I1M 2010-11: Relación 15 (18 de enero de 2010)

-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.

-- Universidad de Sevilla

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-- Importación de librerías auxiliares

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import Test.QuickCheck

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-- Ejercicio 1. Definir, usando takeWhile y map, la función

-- potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int]

-- tal que (potenciasMenores x y) es la lista de las potencias de x

-- menores que y. Por ejemplo,

-- potenciasMenores 2 1000 == [2,4,8,16,32,64,128,256,512]

-- ---------------------------------------------------------------------

potenciasMenores :: Int -> Int -> [Int]

potenciasMenores x y = takeWhile (<y) (map (x^) [1..])

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir, por recursión y comprensión, la función

-- repite :: a -> [a]

-- tal que (repite x) es la lista infinita cuyos elementos son x. Por

-- ejemplo,

-- repite 5 == [5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...

-- take 3 (repite 5) == [5,5,5]

-- Nota: La función repite es equivalente a la función repeat definida en

-- el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por recursión:

repite :: a -> [a]

repite x = x : repite x

-- Por comprensión:

repite' x = [x | _ <- [1..]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir, por recursión y por comprensión, la función

-- repiteFinita :: Int-> a -> [a]

-- tal que (repite n x) es la lista con n elementos iguales a x. Por

-- ejemplo,

-- repiteFinita 3 5 == [5,5,5]

-- Nota: La función repite es equivalente a la función replicate definida

-- en el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Por recursión:

repiteFinita :: Int -> a -> [a]

repiteFinita n x = take n (repite x)

-- Por comprensión:

repiteFinita' :: Int -> a -> [a]

repiteFinita' n x = [x | _ <- [1..n]]

-- También se puede definir usando repite

repiteFinita2 :: Int -> a -> [a]

repiteFinita2 n x = take n (repite x)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Se considera la función

-- eco :: String -> String

-- tal que (eco xs) es la cadena obtenida a partir de la cadena xs

-- repitiendo cada elemento tantas veces como indica su posición: el

-- primer elemento se repite 1 vez, el segundo 2 veces y así

-- sucesivamente. Por ejemplo,

-- eco "abcd" == "abbcccdddd"

-- 1. Escribir una definición 'no recursiva' de la función eco.

-- 2. Escribir una definición 'recursiva' de la función eco.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Una definición no recursiva es

ecoNR :: String -> String

ecoNR xs = concat [replicate i x | (i,x) <- zip [1..] xs]

-- Una definición recursiva es

ecoR :: String -> String

ecoR xs =

ecoRaux 1 0 xs

where

ecoRaux i n [] = []

ecoRaux i n (c:cs) | i <= n = ecoRaux (i+1) 0 cs

| otherwise = c : (ecoRaux i (n+1) (c:cs))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir, por recursión, la función

-- itera :: (a -> a) -> a -> [a]

-- tal que (itera f x) es la lista cuyo primer elemento es x y los

-- siguientes elementos se calculan aplicando la función f al elemento

-- anterior. Por ejemplo,

-- Main> itera (+1) 3

-- [3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,{Interrupted!}

-- Main> itera (*2) 1

-- [1,2,4,8,16,32,64,{Interrupted!}

-- Main> itera (`div` 10) 1972

-- [1972,197,19,1,0,0,0,0,0,0,{Interrupted!}

-- Nota: La función repite es equivalente a la función iterate definida

-- en el preludio de Haskell.

-- ---------------------------------------------------------------------

itera :: (a -> a) -> a -> [a]

itera f x = x : itera f (f x)

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6, Definir la función

-- agrupa :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (agrupa n xs) es la lista de las sublistas de longitud n de

-- la lista xs. Por ejemplo,

-- Main> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7]

-- [[3,1],[5,8],[2,7]]

-- Main> agrupa 2 [3,1,5,8,2,7,9]

-- [[3,1],[5,8],[2,7],[9]]

-- Main> agrupa 5 "todo necio confunde valor y precio"

-- ["todo ","necio"," conf","unde ","valor"," y pr","ecio"]

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- Una definición no recursiva es

agrupa :: Int -> [a] -> [[a]]

agrupa n = takeWhile (not . null)

. map (take n)

. iterate (drop n)

-- Puede verse su funcionamiento en el siguiente ejemplo,

-- iterate (drop 2) [5..10]

-- ==> [[5,6,7,8,9,10],[7,8,9,10],[9,10],[],[],...

-- map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10])

-- ==> [[5,6],[7,8],[9,10],[],[],[],[],...

-- takeWhile (not . null) (map (take 2) (iterate (drop 2) [5..10]))

-- ==> [[5,6],[7,8],[9,10]]

-- Una definición recursiva de agrupa es

agrupa' :: Int -> [a] -> [[a]]

agrupa' n [] = []

agrupa' n xs = take n xs : agrupa' n (drop n xs)

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir, y comprobar, con QuickCheck las dos propiedades

-- que caracterizan a la función agrupa:

-- * todos los grupos tienen que tener la longitud determinada (salvo el

-- último que puede tener una longitud menor) y

-- * combinando todos los grupos se obtiene la lista inicial.

-- ----------------------------------------------------------------------------

-- La primera propiedad es

prop_AgrupaLongitud :: Int -> [Int] -> Property

prop_AgrupaLongitud n xs =

n > 0 && not (null gs) ==>

and [length g == n | g <- init gs] &&

0 < length (last gs) && length (last gs) <= n

where

gs = agrupa n xs

-- La comprobación es

-- Main> quickCheck prop_AgrupaLongitud

-- OK, passed 100 tests.

-- La segunda propiedad es

prop_AgrupaCombina :: Int -> [Int] -> Property

prop_AgrupaCombina n xs =

n > 0 ==>

concat (agrupa n xs) == xs

-- La comprobación es

-- Main> quickCheck prop_AgrupaCombina

-- OK, passed 100 tests.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Sea la siguiente operación, aplicable a cualquier número entero

-- positivo:

-- * Si el número es par, se divide entre 2.

-- * Si el número es impar, se multiplica por 3 y se suma 1.

-- Dado un número cualquiera, podemos considerar su órbita, es decir,

-- las imágenes sucesivas al iterar la función. Por ejemplo, la órbita

-- de 13 es

-- 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,...

-- Si observamos este ejemplo, la órbita de 13 es periódica, es decir,

-- se repite indefinidamente a partir de un momento dado). La conjetura

-- de Collatz dice que siempre alcanzaremos el 1 para cualquier número

-- con el que comencemos. Ejemplos:

-- * Empezando en n = 6 se obtiene 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

-- * Empezando en n = 11 se obtiene: 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,

-- 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

-- * Empezando en n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta

-- 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47,

-- 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274,

-- 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263,

-- 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502,

-- 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958,

-- 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644,

-- 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308,

-- 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122,

-- 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5,

-- 16, 8, 4, 2, 1.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- siguiente :: Integer -> Integer

-- tal que (siguiente n) es el siguiente de n en la sucesión de

-- Collatz. Por ejemplo,

-- siguiente 13 == 40

-- siguiente 40 == 20

-- ---------------------------------------------------------------------

siguiente n | even n = n `div` 2

| otherwise = 3*n+1

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir, por recursión, la función

-- collatz :: Integer -> [Integer]

-- tal que (collatz n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el

-- 1. Por ejemplo,

-- collatz 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1]

-- ---------------------------------------------------------------------

collatz :: Integer -> [Integer]

collatz 1 = [1]

collatz n = n : collatz (siguiente n)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir, sin recursión, la función

-- collatz' :: Integer -> [Integer]

-- tal que (collatz' n) es la órbita de Collatz d n hasta alcanzar el

-- 1. Por ejemplo,

-- collatz' 13 == [13,40,20,10,5,16,8,4,2,1]

-- Indicación: Usar takeWhile e iterate.

-- ---------------------------------------------------------------------

collatz' :: Integer -> [Integer]

collatz' n = (takeWhile (/=1) (iterate siguiente n)) ++ [1]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir la función

-- menorCollatzMayor :: Int -> Integer

-- tal que (menorCollatzMayor x) es el menor número cuya órbita de

-- Collatz tiene más de x elementos. Por ejemplo,

-- menorCollatzMayor 100 == 27

-- ---------------------------------------------------------------------

menorCollatzMayor :: Int -> Integer

menorCollatzMayor x = head [y | y <- [1..], length (collatz y) > x]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- menorCollatzSupera :: Integer -> Integer

-- tal que (menorCollatzSupera x) es el menor número cuya órbita de

-- Collatz tiene algún elemento mayor que x. Por ejemplo,

-- menorCollatzSupera 100 == 15

-- ---------------------------------------------------------------------

menorCollatzSupera :: Integer -> Integer

menorCollatzSupera x =

head [y | y <- [1..], maximum (collatz y) > x]

-- Otra definición alternativa es

menorCollatzSupera' :: Integer -> Integer

menorCollatzSupera' x = head [n | n <- [1..], t <- collatz' n, t > x]

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