I1M2010: Ejercicios de Haskell (relaciones 12 y 13)
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado la resolución de ejercicios de la 12ª relación y de ka 13ª relación.
Los ejercicios de la relación 12 y su solución se muestran a continuación
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir, usando foldr, la función -- inversaFR :: [a] -> [a] -- tal que (inversaFR xs) es la inversa de la lista xs. Por ejemplo, -- inversaFR [3,5,2,4,7] => [7,4,2,5,3] -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición por recursión es inversaR :: [a] -> [a] inversaR [] = [] inversaR (x:xs) = (inversaR xs) ++ [x] -- La definición con foldR es inversaFR :: [a] -> [a] inversaFR = foldr f [] where f x y = y ++ [x] -- La definición anterior puede simplificarse a inversaFR' :: [a] -> [a] inversaFR' = foldr f [] where f x = (++ [x]) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir, usando foldl, la función -- inversaFL :: [a] -> [a] -- tal que (inversaFL xs) es la inversa de la lista xs. Por ejemplo, -- inversaFL [3,5,2,4,7] == [7,4,2,5,3] -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición por recursión con acumulador es inversaR' :: [a] -> [a] inversaR' xs = inversaAux [] xs where inversaAux a [] = a inversaAux a (x:xs) = inversaAux (x:a) xs -- La definición de foldl es -- foldl :: (a -> b -> a) -> a -> [b] -> a -- foldl f z0 xs0 = aux z0 xs0 -- where aux z [] = z -- aux z (x:xs) = aux (f z x) xs -- La definción de inversaFL es inversaFL :: [a] -> [a] inversaFL = foldl (\a x -> x:a) [] -- La definción de inversaFL puede simplificarse usando flip: inversaFL' :: [a] -> [a] inversaFL' = foldl (flip(:)) [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Comprobar con QuickCheck que las funciones reverse, -- inversaFR e inversaFL son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_inversa :: Eq a => [a] -> Bool prop_inversa xs = inversaFR xs == ys && inversaFL xs == ys where ys = reverse xs -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_inversa -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Comparar la eficiencia de inversaFR e inversaFL -- calculando el tiempo y el espacio que usado en evaluar las siguientes -- expresiones: -- head (inversaFR [1..100000]) -- head (inversaFL [1..100000]) -- --------------------------------------------------------------------- -- La sesión es -- *Main> :set +s -- *Main> head (inversaFR [1..100000]) -- 100000 -- (0.41 secs, 20882460 bytes) -- *Main> head (inversaFL [1..100000]) -- 1 -- (0.00 secs, 525148 bytes) -- *Main> :unset +s -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir, la función -- dec2ent :: [Int] -> Int -- tal que (dec2ent xs) es el entero correspondiente a la expresión -- decimal xs. Por ejemplo, -- dec2ent [2,3,4,5] == 2345 -- Escribir dos definiciones: -- * dec2entR por recursión -- * dec2entF usando foldl -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición por recursión es dec2entR :: [Int] -> Int dec2entR xs = dec2entR' 0 xs where dec2entR' a [] = a dec2entR' a (x:xs) = dec2entR' (10*a+x) xs -- La definición usando foldl es dec2entF :: [Int] -> Int dec2entF = foldl f 0 where f a x = 10*a+x -- La definición usando foldl y lambda es dec2entF' :: [Int] -> Int dec2entF' = foldl (\a x -> 10*a+x) 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir, mediante plegado, la función -- sumll :: Num a => [[a]] -> a -- tal que (sumll xss) es la suma de las sumas de las listas de xss. Por -- ejemplo, -- sumll [[1,3],[2,5]] == 11 -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición por recursión es sumllR :: Num a => [[a]] -> a sumllR [] = 0 sumllR (x:xs) = sum x + sumllR xs -- La definición por plegado es sumll :: Num a => [[a]] -> a sumll = foldr (\x y -> sum x + y) 0 -- La anterior definición puede simplificarse, teniendo en cuenta que -- sum = foldr (+) 0 -- como sigue -- sumll = foldr (\x y -> sum x + y) 0 -- = foldr (\x y -> ((foldr (+) 0) x) + y) 0 -- = foldl (\x y -> ((foldl (+) y) x)) 0 -- = foldl (foldl (+)) 0 sumll' :: Num a => [[a]] -> a sumll' = foldl (foldl (+)) 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Definir, mediante plegado, la función -- borra :: Eq a => a -> a -> [a] -- tal que (borra y xs) es la lista obtenida borrando las ocurrencias de -- y en xs. Por ejemplo, -- borra 5 [2,3,5,6] == [2,3,6] -- borra 5 [2,3,5,6,5] == [2,3,6] -- borra 7 [2,3,5,6,5] == [2,3,5,6,5] -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición de borra por recursión es borraR :: Eq a => a -> [a] -> [a] borraR z [] = [] borraR z (x:xs) | z == x = borraR z xs | otherwise = x : borraR z xs -- La definición por plegado es borra :: Eq a => a -> [a] -> [a] borra z = foldr f [] where f x y | z == x = y | otherwise = x:y -- La definición por plegado con lambda es es borra' :: Eq a => a -> [a] -> [a] borra' z = foldr (\x y -> if z==x then y else x:y) [] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir, mediante plegado, la función -- diferencia :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] -- tal que (diferencia xs ys) es la diferencia del conjunto xs e ys; es -- decir el conjunto de los elementos de xs que no pertenecen a ys. Por -- ejemplo, -- diferencia [2,3,5,6] [5,2,7] == [3,6] -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición por recursión es diferenciaR :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferenciaR xs ys = aux xs xs ys where aux a xs [] = a aux a xs (y:ys) = aux (borra y a) xs ys -- La definición, para aproximarse al patrón foldr, se puede escribir como diferenciaR' :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferenciaR' xs ys = aux xs xs ys where aux a xs [] = a aux a xs (y:ys) = aux (flip borra a y) xs ys -- La definición por plegado es diferencia :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferencia xs ys = foldl (flip borra) xs ys -- La definición anterior puede simplificarse a diferencia' :: Eq a => [a] -> [a] -> [a] diferencia' = foldl (flip borra) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. En el tema se ha definido la función -- composicionLista :: [a -> a] -> (a -> a) -- tal que (composicionLista fs) es la composición de la lista de -- funciones fs. Por ejemplo, -- composicionLista [(*2),(^2)] 3 == 18 -- composicionLista [(^2),(*2)] 3 == 36 -- composicionLista [(/9),(^2),(*2)] 3 == 4.0 -- La definición es -- composicionLista = foldr (.) id -- -- Explicar por qué la siguiente definición no es válida: -- sumaCuadradosPares = -- composicionLista [sum, map (^2), filter even] -- --------------------------------------------------------------------- -- El argumento de composicionLista tiene que ser una lista de funciones -- del mismo tipo y las funciones de la lista -- [sum, map (^2), filter even] -- no tienen el mismo tipo. En efecto, -- sum :: [Int] -> Int -- map (^2) :: [Int] -> [Int] -- filter even :: [Int] -> [Int] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Se define el siguiente patrón -- unfold :: (a -> Bool) -> (a -> b) -> (a -> a) -> a -> [b] -- unfold p h t x | p x = [] -- | otherwise = h x : unfold p h t (t x) -- Con el patrón unfold pueden simplificarse algunas definiciones. Por -- ejemplo, en el tema se ha definido la función -- int2bin :: Int -> [Int] -- tal que (int2bin x) es el número binario correspondiente al número -- decimal x. Por ejemplo, -- int2bin 13 => [1,0,1,1] -- La definición en el tema es -- int2bin 0 = [] -- int2bin n = n `mod` 2 : int2bin (n `div` 2) -- Usando unfold, int2bin puede definirse como -- int2bin = unfold (== 0) (`mod` 2) (`div` 2) -- --------------------------------------------------------------------- unfold :: (a -> Bool) -> (a -> b) -> (a -> a) -> a -> [b] unfold p h t x | p x = [] | otherwise = h x : unfold p h t (t x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Redefinir, usando unfold, la función definida en el -- tema -- separaOctetos :: [Int] -> [[Int]] -- tal que (separaOctetos bs) es la lista obtenida separando la lista de -- bits bs en listas de 8 elementos. Por ejemplo, -- *Main> separaOctetos [1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0] -- [[1,0,0,0,0,1,1,0],[0,1,0,0,0,1,1,0]] -- Comprobar con quickCheck la equivalencia de las definiciones. -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición en el tema es separaOctetos :: [Int] -> [[Int]] separaOctetos [] = [] separaOctetos bs = take 8 bs : separaOctetos (drop 8 bs) -- La definición con unfold es separaOctetos' :: [Int] -> [[Int]] separaOctetos' = unfold null (take 8) (drop 8) -- La propiedad es prop_separaOctetos xs = separaOctetos' xs == separaOctetos xs -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_separaOctetos -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Redefinir, usando unfold, la función map. -- --------------------------------------------------------------------- -- La definición es map'' :: (a -> b) -> [a] -> [b] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. En este ejercicio se va a modificar el programa de -- transmisión de cadenas para detectar errores de transmisión sencillos -- usando bits de paridad. Es decir, cada octeto de ceros y unos -- generado durante la codificación se extiende con un bit de paridad -- que será un uno si el número contiene un número impar de unos y cero -- en caso contrario. En la decodificación, en cada número binario de 9 -- cifras debe comprobarse que la paridad es correcta, en cuyo caso se -- descarta el bit de paridad. En caso contrario, debe generarse un -- mensaje de error en la paridad. -- -- Se usarán las siguientes definiciones del tema -- --------------------------------------------------------------------- type Bit = Int bin2int :: [Bit] -> Int bin2int = foldr (\x y -> x + 2*y) 0 int2bin :: Int -> [Bit] int2bin 0 = [] int2bin n = n `mod` 2 : int2bin (n `div` 2) creaOcteto :: [Bit] -> [Bit] creaOcteto bs = take 8 (bs ++ repeat 0) -- La definición anterior puede simplificarse a creaOcteto' :: [Bit] -> [Bit] creaOcteto' = take 8 . (++ repeat 0) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. Definir la función -- paridad :: [Bit] -> Bit -- tal que (paridad bs) es el bit de paridad de bs; es decir, 1 si bs -- contiene un número impar de unos y 0 en caso contrario. Por ejemplo, -- paridad [0,1,1] => 0 -- paridad [0,1,1,0,1] => 1 -- --------------------------------------------------------------------- paridad :: [Bit] -> Bit paridad bs | odd (sum bs) = 1 | otherwise = 0 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Definir la función -- agregaParidad :: [Bit] -> [Bit] -- tal que (agregaParidad bs) es la lista obtenida añadiendo al -- principio de bs su paridad. Por ejemplo, -- agregaParidad [0,1,1] => [0,0,1,1] -- agregaParidad [0,1,1,0,1] => [1,0,1,1,0,1] -- --------------------------------------------------------------------- agregaParidad :: [Bit] -> [Bit] agregaParidad bs = (paridad bs) : bs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Definir la función -- codifica :: String -> [Bit] -- tal que (codifica c) es la codificación de la cadena c como una lista -- de bits obtenida convirtiendo cada carácter en un número Unicode, -- convirtiendo cada uno de dichos números en un octeto con su paridad y -- concatenando los octetos con paridad para obtener una lista de -- bits. Por ejemplo, -- *Main> codifica "abc" -- [1,1,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0] -- --------------------------------------------------------------------- codifica :: String -> [Bit] codifica = concat . map (agregaParidad . creaOcteto . int2bin . ord) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Definir la función -- separa9 :: [Bit] -> [[Bit]] -- tal que (separa9 bs)} es la lista obtenida separando la lista de bits -- bs en listas de 9 elementos. Por ejemplo, -- *Main> separa9 [1,1,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0] -- [[1,1,0,0,0,0,1,1,0],[1,0,1,0,0,0,1,1,0],[0,1,1,0,0,0,1,1,0]] -- --------------------------------------------------------------------- separa9 :: [Bit] -> [[Bit]] separa9 [] = [] separa9 bits = take 9 bits : separa9 (drop 9 bits) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Definir la función -- compruebaParidad :: [Bit] -> [Bit ] -- tal que (compruebaParidad bs) es el resto de bs si el primer elemento -- de bs es el bit de paridad del resto de bs y devuelve error de -- paridad en caso contrario. Por ejemplo, -- *Main> compruebaParidad [1,1,0,0,0,0,1,1,0] -- [1,0,0,0,0,1,1,0] -- *Main> compruebaParidad [0,1,0,0,0,0,1,1,0] -- *** Exception: paridad erronea -- Usar la función del preludio -- error :: String -> a -- tal que (error c) devuelve la cadena c. -- --------------------------------------------------------------------- compruebaParidad :: [Bit] -> [Bit ] compruebaParidad (b:bs) | b == paridad bs = bs | otherwise = error "paridad erronea" -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Definir la función -- descodifica :: [Bit] -> String -- tal que (descodifica bs) es la cadena correspondiente a la lista de -- bits con paridad. Para ello, en cada número binario de 9 cifras debe -- comprobarse que la paridad es correcta, en cuyo caso se descarta el -- bit de paridad. En caso contrario, debe generarse un mensaje de error -- en la paridad. Por ejemplo, -- descodifica [1,1,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0] -- => "abc" -- descodifica [1,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0] -- => "*** Exception: paridad erronea -- --------------------------------------------------------------------- descodifica :: [Bit] -> String descodifica = map (chr . bin2int . compruebaParidad) . separa9 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Se define la función transmite :: ([Bit] -> [Bit]) -> String -> String transmite canal = descodifica . canal . codifica -- tal que (transmite c t) es la cadena obtenida transmitiendo la cadena -- t a través del canal c. Calcular el reultado de trasmitir la cadena -- "Conocete a ti mismo" por el canal identidad (id) y del canal que -- olvida el primer bit (tail). -- --------------------------------------------------------------------- -- *Main> transmite id "Conocete a ti mismo" -- "Conocete a ti mismo" -- *Main> transmite tail "Conocete a ti mismo" -- "*** Exception: paridad erronea -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. [La identidad de Bezout] Definir la función -- bezout :: Integer -> Integer -> (Integer, Integer) -- tal que (bezout a b) es un par de números x e y tal que a*x+b*y es el -- máximo común divisor de a y b. Por ejemplo, -- bezout 12 30 == (-2,1) -- Indicación: Se puede usar la función quotRem tal que (quotRem x y) es -- el par formado por el ciciente y el resto de dividir x entre y. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplo de cálculo -- a b q r -- 12 30 0 12 (-1,1-0*(-1)) = (-1,1) -- 30 12 1 18 (1,0-1*1) = (1,-1) -- 12 18 0 18 (0,1-0*0) = (0,1) -- 18 18 1 0 (1,0) bezout :: Integer -> Integer -> (Integer, Integer) bezout _ 0 = (1,0) bezout _ 1 = (0,1) bezout a b = (y, x - q*y) where (x,y) = bezout b r (q,r) = quotRem a b -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Comprobar con QuickCheck que si a>0, b>0 y -- (x,y) es el valor de (bezout a b), entonces a*x+b*y es igual al -- máximo común divisor de a y b. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_Bezout :: Integer -> Integer -> Property prop_Bezout a b = a>0 && b>0 ==> a*x+b*y == gcd a b where (x,y) = bezout a b -- La comprobación es -- Main> quickCheck prop_Bezout -- OK, passed 100 tests. |
Los ejercicios de la relación 13 y su solución se muestran a continuación
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck import Data.List -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función -- ullman :: (Num a, Ord a) => a -> Int -> [a] -> Bool -- tal que (ullman t k xs) se verifica si xs tiene un subconjunto con k -- elementos cuya suma sea menor que t. Por ejemplo, -- ullman 9 3 [1..10] == True -- ullman 5 3 [1..10] == False -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª solución (corta y eficiente) ullman :: (Ord a, Num a) => a -> Int -> [a] -> Bool ullman t k xs = sum (take k (sort xs)) < t -- 2ª solución (larga e ineficiente) ullman2 :: (Num a, Ord a) => a -> Int -> [a] -> Bool ullman2 t k xs = [ys | ys <- subconjuntos xs, length ys == k, sum ys < t] /= [] -- (subconjuntos xs) es la lista de los subconjuntos de xs. Por -- ejemplo, -- subconjuntos "bc" == ["","c","b","bc"] -- subconjuntos "abc" == ["","c","b","bc","a","ac","ab","abc"] subconjuntos :: [a] -> [[a]] subconjuntos [] = [[]] subconjuntos (x:xs) = zss++[x:ys | ys <- zss] where zss = subconjuntos xs -- Los siguientes ejemplos muestran la diferencia en la eficencia: -- *Main> ullman 9 3 [1..20] -- True -- (0.02 secs, 528380 bytes) -- *Main> ullman2 9 3 [1..20] -- True -- (4.08 secs, 135267904 bytes) -- *Main> ullman 9 3 [1..100] -- True -- (0.02 secs, 526360 bytes) -- *Main> ullman2 9 3 [1..100] -- C-c C-cInterrupted. -- Agotado -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función -- sumasDe2Cuadrados :: Integer -> [(Integer, Integer)] -- tal que (sumasDe2Cuadrados n) es la lista de los pares de números -- tales que la suma de sus cuadrados es n y el primer elemento del par -- es mayor o igual que el segundo. Por ejemplo, -- sumasDe2Cuadrados 25 == [(5,0),(4,3)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Primera definición: sumasDe2Cuadrados_1 :: Integer -> [(Integer, Integer)] sumasDe2Cuadrados_1 n = [(x,y) | x <- [n,n-1..0], y <- [0..x], x*x+y*y == n] -- Segunda definición: sumasDe2Cuadrados_2 :: Integer -> [(Integer, Integer)] sumasDe2Cuadrados_2 n = [(x,y) | x <- [a,a-1..0], y <- [0..x], x*x+y*y == n] where a = ceiling (sqrt (fromIntegral n)) -- Tercera definición: sumasDe2Cuadrados_3 :: Integer -> [(Integer, Integer)] sumasDe2Cuadrados_3 n = aux (ceiling (sqrt (fromIntegral n))) 0 where aux x y | x < y = [] | x*x + y*y < n = aux x (y+1) | x*x + y*y == n = (x,y) : aux (x-1) (y+1) | otherwise = aux (x-1) y -- Comparación -- +----------+---------------+---------------+---------------+ -- | n | 1ª definición | 2ª definición | 3ª definición | -- +----------+---------------+---------------+---------------+ -- | 999 | 2.17 segs | 0.02 segs | 0.01 segs | -- | 48612265 | | 140.38 segs | 0.13 segs | -- +----------+---------------+---------------+---------------+ -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. (Basado en el problema 145 del Proyecto Euler). Se dice -- que un número n es reversible si su última cifra es distinta de 0 y -- la suma de n y el número obtenido escribiendo las cifras de n en -- orden inverso es un número que tiene todas sus cifras impares. Por -- ejemplo, 36 es reversible porque 36+63=99 tiene todas sus cifras -- impares, 409 es reversible porque 409+904=1313 tiene todas sus cifras -- impares, 243 no es reversible porque 243+342=585 no tiene todas sus -- cifras impares. -- Definir la función -- reversiblesMenores :: Int -> Int -- tal que (reversiblesMenores n) es la cantidad de números reversibles -- menores que n. Por ejemplo, -- reversiblesMenores 10 == 0 -- reversiblesMenores 100 == 20 -- reversiblesMenores 1000 == 120 -- --------------------------------------------------------------------- reversiblesMenores :: Int -> Int reversiblesMenores n = length [x | x <- [1..n-1], esReversible x] -- (esReversible n) se verifica si n es reversible; es decir, si su -- última cifra es distinta de 0 y la suma de n y el número obtenido -- escribiendo las cifras de n en orden inverso es un número que tiene -- todas sus cifras impares. Por ejemplo, -- esReversible 36 == True -- esReversible 409 == True esReversible :: Int -> Bool esReversible n = rem n 10 /= 0 && impares (cifras (n + (inverso n))) -- (impares xs) se verifica si xs es una lista de números impares. Por -- ejemplo, -- impares [3,5,1] == True -- impares [3,4,1] == False impares :: [Int] -> Bool impares xs = and [odd x | x <- xs] -- (inverso n) es el número obtenido escribiendo las cifras de n en -- orden inverso. Por ejemplo, -- inverso 3034 == 4303 inverso :: Int -> Int inverso n = read (reverse (show n)) -- (cifras n) es la lista de las cifras del número n. Por ejemplo, -- cifras 3034 == [3,0,3,4] cifras :: Int -> [Int] cifras n = [read [x] | x <- show n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir, usando funciones de orden superior, la función -- grafoReducido :: Eq a => (a -> b) -> (a -> Bool) -> [a] -> [(a,b)] -- tal que (grafoReducido f p xs) es la lista (sin repeticiones) de los -- pares formados por los elementos de xs que verifican el predicado p -- y sus imágenes. Por ejemplo, -- grafoReducido (^2) even [1..9] == [(2,4),(4,16),(6,36),(8,64)] -- grafoReducido (+4) even (replicate 40 1) == [] -- grafoReducido (*5) even (replicate 40 2) == [(2,10)] -- --------------------------------------------------------------------- grafoReducido :: Eq a => (a -> b) -> (a -> Bool) -> [a] -> [(a,b)] grafoReducido f p xs = [(x,f x) | x <- nub xs, p x] -- ------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Un número natural n se denomina semiperfecto si es la -- suma de algunos de sus divisores propios. Por ejemplo, 18 es -- semiperfecto ya que sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y se cumple que -- 3+6+9=18. -- -- Definir la función -- esSemiPerfecto :: Int -> Bool -- tal que (esSemiPerfecto n) se verifica si n es semiperfecto. Por -- ejemplo, -- esSemiPerfecto 18 == True -- esSemiPerfecto 9 == False -- esSemiPerfecto 24 == True -- --------------------------------------------------------------------- esSemiPerfecto :: Int -> Bool esSemiPerfecto n = or [sum ys == n | ys <- subconjuntos (divisores n)] -- (divisores n) es la lista de los divisores propios de n. Por ejemplo, -- divisores 18 == [1,2,3,6,9] divisores :: Int -> [Int] divisores n = [x | x <- [1..n-1], mod n x == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir la constante primerSemiPerfecto tal que su -- valor es el primer número semiperfecto. -- --------------------------------------------------------------------- primerSemiPerfecto :: Int primerSemiPerfecto = head [n | n <- [1..], esSemiPerfecto n] -- La evaluación es -- *Main> primerSemiPerfecto -- 6 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.3. Definir la función -- semiPerfecto :: Int -> Int -- tal que (semiPerfecto n) es el n-ésimo número semiperfecto. Por -- ejemplo, -- semiPerfecto 1 == 6 -- semiPerfecto 4 == 20 -- semiPerfecto 100 == 414 -- --------------------------------------------------------------------- semiPerfecto :: Int -> Int semiPerfecto n = semiPerfectos !! n -- semiPerfectos es la lista de los números semiPerfectos. Por ejemplo, -- take 4 semiPerfectos == [6,12,18,20] semiPerfectos = [n | n <- [1..], esSemiPerfecto n] -- ------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. Definir mediante plegado la función -- producto :: Num a => [a] -> a -- tal que (producto xs) es el producto de los elementos de la lista -- xs. Por ejemplo, -- producto [2,1,-3,4,5,-6] == 720 -- --------------------------------------------------------------------- producto :: Num a => [a] -> a producto = foldr (*) 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Definir mediante plegado la función -- productoPred :: Num a => (a -> Bool) -> [a] -> a -- tal que (productoPred p xs) es el producto de los elementos de la -- lista xs que verifican el predicado p. Por ejemplo, -- productoPred even [2,1,-3,4,-5,6] == 48 -- --------------------------------------------------------------------- productoPred :: Num a => (a -> Bool) -> [a] -> a productoPred p = foldr (\x y -> if p x then x*y else y) 1 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.3. Definir la función -- productoPos :: (Num a, Ord a) => [a] -> a -- tal que (productoPos xs) esel producto de los elementos estríctamente -- positivos de la lista xs. Por ejemplo, -- productoPos [2,1,-3,4,-5,6] == 48 -- --------------------------------------------------------------------- productoPos :: (Num a, Ord a) => [a] -> a productoPos = productoPred (>0) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Las relaciones finitas se pueden representar mediante -- listas de pares. Por ejemplo, -- r1, r2, r3 :: [(Int, Int)] -- r1 = [(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)] -- r2 = [(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)] -- r3 = [(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)] -- Definir la función -- esFuncion :: (Eq a, Eq b) => [(a,b)] -> Bool -- tal que (esFuncion r) se verifica si la relación r es una función (es -- decir, a cada elemento del dominio de la relación r le corresponde un -- único elemento). Por ejemplo, -- esFuncion r1 == False -- esFuncion r2 == True -- esFuncion r3 == True -- --------------------------------------------------------------------- r1, r2, r3 :: [(Int, Int)] r1 = [(1,3), (2,6), (8,9), (2,7)] r2 = [(1,3), (2,6), (8,9), (3,7)] r3 = [(1,3), (2,6), (8,9), (3,6)] esFuncion :: (Eq a, Eq b) => [(a,b)] -> Bool esFuncion [] = True esFuncion ((x,y):r) = [y' | (x',y') <- r, x == x', y /= y'] == [] && esFuncion r -- ------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. Se denomina cola de una lista l a una sublista no -- vacía de l formada por un elemento y los siguientes hasta el -- final. Por ejemplo, [3,4,5] es una cola de la lista [1,2,3,4,5]. -- -- Definir la función -- colas :: [a] -> [[a]] -- tal que (colas xs) es la lista de las colas -- de la lista xs. Por ejemplo, -- colas [] == [[]] -- colas [1,2] == [[1,2],[2],[]] -- colas [4,1,2,5] == [[4,1,2,5],[1,2,5],[2,5],[5],[]] -- --------------------------------------------------------------------- colas :: [a] -> [[a]] colas [] = [[]] colas (x:xs) = (x:xs) : colas xs -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Comprobar con QuickCheck que las funciones colas y -- tails son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_colas :: [Int] -> Bool prop_colas xs = colas xs == tails xs -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_colas -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.1. Se denomina cabeza de una lista l a una sublista no -- vacía de la formada por el primer elemento y los siguientes hasta uno -- dado. Por ejemplo, [1,2,3] es una cabeza de [1,2,3,4,5]. -- -- Definir la función -- cabezas :: [a] -> [[a]] -- tal que (cabezas xs) es la lista de las cabezas de la lista xs. Por -- ejemplo, -- cabezas [] == [[]] -- cabezas [1,4] == [[],[1],[1,4]] -- cabezas [1,4,5,2,3] == [[],[1],[1,4],[1,4,5],[1,4,5,2],[1,4,5,2,3]] -- --------------------------------------------------------------------- -- 1. Por recursión cabezas :: [a] -> [[a]] cabezas [] = [[]] cabezas (x:xs) = [] : [x:ys | ys <- cabezas xs] -- 2. Usando patrones de plegado. cabezasP :: [a] -> [[a]] cabezasP = foldr (\x y -> [x]:[x:ys | ys <- y]) [] -- 3. Usando colas y funciones de orden superior. cabezas3 :: [a] -> [[a]] cabezas3 xs = reverse (map reverse (colas (reverse xs))) -- La anterior definición puede escribirse sin argumentos como cabezas3' :: [a] -> [[a]] cabezas3' = reverse . map reverse . (colas . reverse) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10.2. Comprobar con QuickCheck que las funciones cabezas y -- inits son equivalentes. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_cabezas :: [Int] -> Bool prop_cabezas xs = cabezas xs == inits xs -- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_cabezas -- +++ OK, passed 100 tests. |