I1M2015: Cálculo numérico en Maxima
En la tercera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 25 en la que se propone definir en Maxima los procedimientos de cálculo numérico definidos en Haskell en la relación 21.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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/* --------------------------------------------------------------------- Introducción --------------------------------------------------------------------- En esta relación se programan en Maxima funciones para resolver los siguientes problemas de cálculo numérico: + diferenciación numérica, + cálculo de la raíz cuadrada mediante el método de Herón, + cálculo de los ceros de una función por el método de Newton y + cálculo de funciones inversas. */ /* --------------------------------------------------------------------- Diferenciación numérica ------------------------------------------------------------------- */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1.1. Definir la función derivada tal que derivada(a,f,x) es el valor de la derivada de la función f en el punto x con aproximación a. Por ejemplo, (%i2) derivada (0.001,sin,%pi); (%o2) - 0.99999983333334 (%i3) derivada (0.001,cos,%pi); (%o3) 4.999999583255033E-4 ------------------------------------------------------------------- */ derivada (a,f,x) := (f(x+a)-f(x))/a$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1.2. Definir las funciones derivadaBurda, derivadaFina y derivadaSuper tales que + derivadaBurda (f,x) es el valor de la derivada de la función f en el punto x con aproximación 0.01, + derivadaFina (f,x) es el valor de la derivada de la función f en el punto x con aproximación 0.0001. + derivadaSuper (f,x) es el valor de la derivada de la función f en el punto x con aproximación 0.000001. Por ejemplo, (%i4) derivadaBurda (cos,%pi); (%o4) 0.0049999583334736 (%i5) derivadaFina (cos,%pi); (%o5) 4.999999969612645E-5 (%i6) derivadaSuper (cos,%pi); (%o6) 5.000444502911705E-7 ------------------------------------------------------------------- */ derivadaBurda (f,x) := derivada (0.01, f,x)$ derivadaFina (f,x) := derivada (0.0001, f,x)$ derivadaSuper (f,x) := derivada (0.000001,f,x)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1.3. Definir la función derivadaFinaDelSeno tal que (derivadaFinaDelSeno x) es el valor de la derivada fina del seno en x. Por ejemplo, (%i7) derivadaFinaDelSeno (%pi); (%o7) - 0.99999999833333 ------------------------------------------------------------------- */ derivadaFinaDelSeno (x) := derivadaFina (sin,x)$ /* --------------------------------------------------------------------- Cálculo de la raíz cuadrada ------------------------------------------------------------------- */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. El método de Herón para calcular la raíz cuadrada de un número se basa en las siguientes propiedades: + Si y es una aproximación de la raíz cuadrada de x, entonces (y+x/y)/2 es una aproximación mejor. + El límite de la sucesión definida por x(0) = 1 x(n+1) = (x(n)+x/x(n))/2 es la raíz cuadrada de x. Definir, por iteración con unless, la función raiz tal que raiz(x) es la raíz cuadrada de x calculada usando la propiedad anterior. Por ejemplo, (%i8) raiz (9); (%o8) 3.000000001396984 ------------------------------------------------------------------- */ raiz (x) := block ([y:1], unless abs (y*y-x) < 0.00001 do y : 0.5*(y+x/y), y)$ /* --------------------------------------------------------------------- Ceros de una función ------------------------------------------------------------------- */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Los ceros de una función pueden calcularse mediante el método de Newton basándose en las siguientes propiedades: + Si b es una aproximación para el punto cero de f, entonces b-f(b)/f'(b) es una mejor aproximación. + el límite de la sucesión x(n) definida por x(0) = 1 x(n+1) = x(n)-f(x(n))/f'(x(n)) es un cero de f. Definir, por iteración con unless, la función puntoCero tal que puntoCero(f) es un cero de la función f calculado usando el método anterior. Por ejemplo, (%i9) puntoCero (cos); (%o9) 1.570796326794957 ------------------------------------------------------------------- */ puntoCero (f) := block ([b:1], unless abs (f(b)) < 0.00001 do b : b - f(b) / derivadaFina (f,b), float (b))$ /* --------------------------------------------------------------------- Funciones inversas ------------------------------------------------------------------- */ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.1. En este ejercicio se usará la función puntoCero para definir la inversa de distintas funciones. Definir, usando puntoCero, la función raizCuadrada tal que raizCuadrada x es la raíz cuadrada de x. Por ejemplo, (%i10) raizCuadrada (9); (%o10) 3.000000002941184 ------------------------------------------------------------------ */ raizCuadrada (a) := block ( local (f), f (x) := x^2-a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.2. Definir, usando puntoCero, la función raizCubica tal que raizCubica (x) es la raíz cúbica de x. Por ejemplo, (%i11) raizCubica (27); (%o11) 3.000000000019604 ------------------------------------------------------------------- */ raizCubica (a) := block ( local (f), f (x) := x^3-a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.3. Definir, usando puntoCero, la función arcoseno tal que arcoseno(x) es el arcoseno de x. Por ejemplo, (%i12) arcoseno (1); (%o12) 1.566548942830657 ------------------------------------------------------------------ */ arcoseno (a) := block ( local (f), f (x) := sin (x) - a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.4. Definir, usando puntoCero, la función arcocoseno tal que arcocoseno(x) es el arcoseno de x. Por ejemplo, (%i13) arcocoseno (0); (%o13) 1.570796326794957 ------------------------------------------------------------------ */ arcocoseno (a) := block ( local (f), f (x) := cos (x) - a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.5. Definir, usando puntoCero, la función inversa tal que inversa(g,a) es el valor de la inversa de g en a Por ejemplo, (%i14) cuadrado (x) := x^2$ (%i15) inversa (cuadrado,9); (%o15) 3.000000002941184 (%i16) inversa (lambda ([x], x^2), 9); (%o16) 3.000000002941184 ------------------------------------------------------------------ */ inversa (g,a) := block ( local (f), f (x) := g (x) - a, puntoCero (f))$ /* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4.6. Redefinir, usando inversa, las funciones raizCuadrada, raizCubica, arcoseno y arcocoseno. Por ejemplo, (%i17) raizCuadradaI (9); (%o17) 3.000000002941184 (%i18) raizCubicaI (9); (%o18) 2.080083824207376 (%i19) arcosenoI (1); (%o19) 1.566548942830657 (%i20) arcocosenoI (0); (%o20) 1.570796326794957 ------------------------------------------------------------------ */ raizCuadradaI (a) := inversa (lambda ([x], x^2), a)$ raizCubicaI (a) := inversa (lambda ([x], x^3), a)$ arcosenoI (a) := inversa (sin, a)$ arcocosenoI (a) := inversa (cos, a)$ |