I1M2015: Ejercicios de cálculo numérico en Haskell
En la primera parte de la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas se han explicado las soluciones de los ejercicios de la 20ª relación, en la que se definen funciones para resolver los siguientes problemas de cálculo numérico:
- diferenciación numérica,
- cálculo de la raíz cuadrada mediante el método de Herón,
- cálculo de los ceros de una función por el método de Newton y
- cálculo de funciones inversas.
Un aspecto a destacar desde el punto de vista de la programación es el uso de la abstracción de procedimientos.
Los ejercicios, y sus soluciones, se muestran a continuación.
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- import Test.QuickCheck -- --------------------------------------------------------------------- -- Diferenciación numérica -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Definir la función -- derivada :: Double -> (Double -> Double) -> Double -> Double -- tal que (derivada a f x) es el valor de la derivada de la función f -- en el punto x con aproximación a. Por ejemplo, -- derivada 0.001 sin pi == -0.9999998333332315 -- derivada 0.001 cos pi == 4.999999583255033e-4 -- --------------------------------------------------------------------- derivada :: Double -> (Double -> Double) -> Double -> Double derivada a f x = (f(x+a)-f(x))/a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir las funciones -- derivadaBurda :: (Double -> Double) -> Double -> Double -- derivadaFina :: (Double -> Double) -> Double -> Double -- derivadaSuper :: (Double -> Double) -> Double -> Double -- tales que -- * (derivadaBurda f x) es el valor de la derivada de la función f -- en el punto x con aproximación 0.01, -- * (derivadaFina f x) es el valor de la derivada de la función f -- en el punto x con aproximación 0.0001. -- * (derivadauperBurda f x) es el valor de la derivada de la función f -- en el punto x con aproximación 0.000001. -- Por ejemplo, -- derivadaBurda cos pi == 4.999958333473664e-3 -- derivadaFina cos pi == 4.999999969612645e-5 -- derivadaSuper cos pi == 5.000444502911705e-7 -- --------------------------------------------------------------------- derivadaBurda :: (Double -> Double) -> Double -> Double derivadaBurda = derivada 0.01 derivadaFina :: (Double -> Double) -> Double -> Double derivadaFina = derivada 0.0001 derivadaSuper :: (Double -> Double) -> Double -> Double derivadaSuper = derivada 0.000001 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir la función -- derivadaFinaDelSeno :: Double -> Double -- tal que (derivadaFinaDelSeno x) es el valor de la derivada fina del -- seno en x. Por ejemplo, -- derivadaFinaDelSeno pi == -0.9999999983354436 -- --------------------------------------------------------------------- derivadaFinaDelSeno :: Double -> Double derivadaFinaDelSeno = derivadaFina sin -- --------------------------------------------------------------------- -- Cálculo de la raíz cuadrada -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2.1. En los siguientes apartados de este ejercicio se va a -- calcular la raíz cuadrada de un número basándose en las siguientes -- propiedades: -- * Si y es una aproximación de la raíz cuadrada de x, entonces -- (y+x/y)/2 es una aproximación mejor. -- * El límite de la sucesión definida por -- x_0 = 1 -- x_{n+1} = (x_n+x/x_n)/2 -- es la raíz cuadrada de x. -- -- Definir, por iteración con until, la función -- raiz :: Double -> Double -- tal que (raiz x) es la raíz cuadrada de x calculada usando la -- propiedad anterior con una aproximación de 0.00001 y tomando como -- v. Por ejemplo, -- raiz 9 == 3.000000001396984 -- --------------------------------------------------------------------- raiz :: Double -> Double raiz x = raizA 1 where raizA y | aceptable y = y | otherwise = raizA (mejora y) mejora y = 0.5*(y+x/y) aceptable y = abs(y*y-x) < 0.00001 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir el operador -- (~=) :: Double -> Double -> Bool -- tal que (x ~= y) si |x-y| < 0.001. Por ejemplo, -- 3.05 ~= 3.07 == False -- 3.00005 ~= 3.00007 == True -- --------------------------------------------------------------------- infix 5 ~= (~=) :: Double -> Double -> Bool x ~= y = abs(x-y) < 0.001 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Comprobar con QuickCheck que si x es positivo, -- entonces -- (raiz x)^2 ~= x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_raiz :: Double -> Bool prop_raiz x = (raiz x1)^2 ~= x1 where x1 = abs x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_raiz -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.4. Definir por recursión la función -- until1 :: (a -> Bool) -> (a -> a) -> a -> a -- tal que (until1 p f x) es el resultado de aplicar la función f a x el -- menor número posible de veces, hasta alcanzar un valor que satisface -- el predicado p. Por ejemplo, -- until1 (>1000) (2*) 1 == 1024 -- Nota: until1 es equivalente a la predefinida until. -- --------------------------------------------------------------------- until1 :: (a -> Bool) -> (a -> a) -> a -> a until1 p f x | p x = x | otherwise = until1 p f (f x) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.5. Definir, por iteración con until, la función -- raizI :: Double -> Double -- tal que (raizI x) es la raíz cuadrada de x calculada usando la -- propiedad anterior. Por ejemplo, -- raizI 9 == 3.000000001396984 -- --------------------------------------------------------------------- raizI :: Double -> Double raizI x = until aceptable mejora 1 where mejora y = 0.5*(y+x/y) aceptable y = abs(y*y-x) < 0.00001 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.6. Comprobar con QuickCheck que si x es positivo, -- entonces -- (raizI x)^2 ~= x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_raizI :: Double -> Bool prop_raizI x = (raizI x1)^2 ~= x1 where x1 = abs x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_raizI -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ceros de una función -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Los ceros de una función pueden calcularse mediante el -- método de Newton basándose en las siguientes propiedades: -- * Si b es una aproximación para el punto cero de f, entonces -- b-f(b)/f'(b) es una mejor aproximación. -- * el límite de la sucesión x_n definida por -- x_0 = 1 -- x_{n+1} = x_n-f(x_n)/f'(x_n) -- es un cero de f. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. Definir por recursión la función -- puntoCero :: (Double -> Double) -> Double -- tal que (puntoCero f) es un cero de la función f calculado usando la -- propiedad anterior. Por ejemplo, -- puntoCero cos == 1.5707963267949576 -- --------------------------------------------------------------------- puntoCero :: (Double -> Double) -> Double puntoCero f = puntoCero1 f 1 where puntoCero1 f x | aceptable x = x | otherwise = puntoCero1 f (mejora x) mejora b = b - f b / derivadaFina f b aceptable b = abs (f b) < 0.00001 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir, por iteración con until, la función -- puntoCeroI :: (Double -> Double) -> Double -- tal que (puntoCeroI f) es un cero de la función f calculado usando la -- propiedad anterior. Por ejemplo, -- puntoCeroI cos == 1.5707963267949576 -- --------------------------------------------------------------------- puntoCeroI :: (Double -> Double) -> Double puntoCeroI f = until aceptable mejora 1 where mejora b = b - f b / derivadaFina f b aceptable b = abs (f b) < 0.00001 -- --------------------------------------------------------------------- -- Funciones inversas -- -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. En este ejercicio se usará la función puntoCero para -- definir la inversa de distintas funciones. -- --------------------------------------------------------------------- -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Definir, usando puntoCero, la función -- raizCuadrada :: Double -> Double -- tal que (raizCuadrada x) es la raíz cuadrada de x. Por ejemplo, -- raizCuadrada 9 == 3.000000002941184 -- --------------------------------------------------------------------- raizCuadrada :: Double -> Double raizCuadrada a = puntoCero f where f x = x*x-a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Comprobar con QuickCheck que si x es positivo, -- entonces -- (raizCuadrada x)^2 ~= x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_raizCuadrada :: Double -> Bool prop_raizCuadrada x = (raizCuadrada x1)^2 ~= x1 where x1 = abs x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_raizCuadrada -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Definir, usando puntoCero, la función -- raizCubica :: Double -> Double -- tal que (raizCubica x) es la raíz cuadrada de x. Por ejemplo, -- raizCubica 27 == 3.0000000000196048 -- --------------------------------------------------------------------- raizCubica :: Double -> Double raizCubica a = puntoCero f where f x = x*x*x-a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.4. Comprobar con QuickCheck que si x es positivo, -- entonces -- (raizCubica x)^3 ~= x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_raizCubica :: Double -> Bool prop_raizCubica x = (raizCubica x)^3 ~= x where x1 = abs x -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_raizCubica -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.5. Definir, usando puntoCero, la función -- arcoseno :: Double -> Double -- tal que (arcoseno x) es el arcoseno de x. Por ejemplo, -- arcoseno 1 == 1.5665489428306574 -- --------------------------------------------------------------------- arcoseno :: Double -> Double arcoseno a = puntoCero f where f x = sin x - a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.6. Comprobar con QuickCheck que si x está entre 0 y 1, -- entonces -- sin (arcoseno x) ~= x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_arcoseno :: Double -> Bool prop_arcoseno x = sin (arcoseno x1) ~= x1 where x1 = abs (x - fromIntegral (truncate x)) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_arcoseno -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.7. Definir, usando puntoCero, la función -- arcocoseno :: Double -> Double -- tal que (arcoseno x) es el arcoseno de x. Por ejemplo, -- arcocoseno 0 == 1.5707963267949576 -- --------------------------------------------------------------------- arcocoseno :: Double -> Double arcocoseno a = puntoCero f where f x = cos x - a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.8. Comprobar con QuickCheck que si x está entre 0 y 1, -- entonces -- cos (arcocoseno x) ~= x -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_arcocoseno :: Double -> Bool prop_arcocoseno x = cos (arcocoseno x1) ~= x1 where x1 = abs (x - fromIntegral (truncate x)) -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_arcocoseno -- OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.7. Definir, usando puntoCero, la función -- inversa :: (Double -> Double) -> Double -> Double -- tal que (inversa g x) es el valor de la inversa de g en x. Por -- ejemplo, -- inversa (^2) 9 == 3.000000002941184 -- --------------------------------------------------------------------- inversa :: (Double -> Double) -> Double -> Double inversa g a = puntoCero f where f x = g x - a -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.8. Redefinir, usando inversa, las funciones raizCuadrada, -- raizCubica, arcoseno y arcocoseno. -- --------------------------------------------------------------------- raizCuadrada1 = inversa (^2) raizCubica1 = inversa (^3) arcoseno1 = inversa sin arcocoseno1 = inversa cos |
Además, se comentaron las soluciones en Maxima
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raiz(x) := block([y:1], unless abs(y*y-x) < 0.00001 do y : 0.5*(y+x/y), y)$ puntoCero(f) := block([y:1], unless abs(f(y)) < 0.00001 do y : y - f(y)/derivadaFina(f,y), y)$ |