I1M2015: Método de Gauss para triangularizar matrices

En la segunda parte de la clase hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones de los ejercicios de la relación 18 cuyo objetivo es la triangularización de matrices por el método de Gauss.

Los ejercicios y su solución se muestran a continuación

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-- Introducción                                                       --
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-- El objetivo de esta relación es definir el método de Gauss para
-- triangularizar matrices.

-- Además, en algunos ejemplos de usan matrices con números racionales.
-- En Haskell, el número racional x/y se representa por x%y. El TAD de
-- los números racionales está definido en el módulo Data.Ratio.
 
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-- Importación de librerías                                           --
-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.Array
import Data.Ratio

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Tipos de los vectores y de las matrices                            --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Los vectores son tablas cuyos índices son números naturales.
type Vector a = Array Int a
 
-- Las matrices son tablas cuyos índices son pares de números
-- naturales. 
type Matriz a = Array (Int,Int) a

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Funciones auxiliares                                               --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función
--    listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a
-- tal que (listaMatriz xss) es la matriz cuyas filas son los elementos
-- de xss. Por ejemplo,
--    ghci> listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]
--    array ((1,1),(2,3)) [((1,1),1),((1,2),3),((1,3),5),
--                         ((2,1),2),((2,2),4),((2,3),7)]
-- --------------------------------------------------------------------

listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a
listaMatriz xss = listArray ((1,1),(m,n)) (concat xss)
    where m = length xss
          n = length (head xss)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función
--    separa :: Int -> [a] -> [[a]]
-- tal que (separa n xs) es la lista obtenida separando los elementos de
-- xs en grupos de n elementos (salvo el último que puede tener menos de
-- n elementos). Por ejemplo, 
--    separa 3 [1..11]  ==  [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11]]
-- ---------------------------------------------------------------------

separa :: Int -> [a] -> [[a]]
separa _ [] = []
separa n xs = take n xs : separa n (drop n xs)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función
--    matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]]
-- tal que (matrizLista x) es la lista de las filas de la matriz x. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let m = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> m
--    array ((1,1),(2,3)) [((1,1),5),((1,2),1),((1,3),0),
--                         ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6)]
--    ghci> matrizLista m
--    [[5,1,0],[3,2,6]]
-- ---------------------------------------------------------------------

matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]]
matrizLista p = separa (numColumnas p) (elems p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4. Definir la función
--    numFilas :: Num a => Matriz a -> Int
-- tal que (numFilas m) es el número de filas de la matriz m. Por
-- ejemplo,
--    numFilas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  2
-- ---------------------------------------------------------------------

numFilas :: Num a => Matriz a -> Int
numFilas = fst . snd . bounds

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir la función
--    numColumnas :: Num a => Matriz a -> Int
-- tal que (numColumnas m) es el número de columnas de la matriz
-- m. Por ejemplo,
--    numColumnas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  3
-- ---------------------------------------------------------------------

numColumnas:: Num a => Matriz a -> Int
numColumnas = snd . snd . bounds

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Definir la función
--    dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int)
-- tal que (dimension m) es la dimensión de la matriz m. Por ejemplo, 
--    dimension (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]])  ==  (2,3)
-- ---------------------------------------------------------------------

dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int)
dimension p = (numFilas p, numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Definir la función
--    diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a
-- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]
--    ghci> diagonalPral p
--    array (1,2) [(1,5),(2,2)]
--    ghci> elems (diagonalPral p)
--    [5,2]
-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a
diagonalPral p = array (1,n) [(i,p!(i,i)) | i <- [1..n]]
    where n = min (numFilas p) (numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Transformaciones elementales                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8. Definir la función
--    intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando
-- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> intercambiaFilas 1 3 p
--    array ((1,1),(3,3)) [((1,1),4),((1,2),6),((1,3),9),
--                         ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6),
--                         ((3,1),5),((3,2),1),((3,3),0)]
--    ghci> matrizLista (intercambiaFilas 1 3 p)
--    [[4,6,9],[3,2,6],[5,1,0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
intercambiaFilas k l p = 
    array ((1,1), (m,n))
          [((i,j), p! f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]
    where (m,n) = dimension p
          f i j | i == k    = (l,j)
                | i == l    = (k,j)
                | otherwise = (i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9. Definir la función
--    intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida
-- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> matrizLista (intercambiaColumnas 1 3 p)
--    [[0,1,5],[6,2,3],[9,6,4]]
-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
intercambiaColumnas k l p = 
    array ((1,1), (m,n))
          [((i,j), p ! f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]
    where (m,n) = dimension p
          f i j | j == k    = (i,l)
                | j == l    = (i,k)
                | otherwise = (i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir la función
--    multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (multFilaPor k x p) es a matriz obtenida multiplicando la
-- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> matrizLista (multFilaPor 2 3 p)
--    [[5,1,0],[9,6,18],[4,6,9]]
-- ---------------------------------------------------------------------

multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a
multFilaPor k x p = 
    array ((1,1), (m,n))
          [((i,j), f i j)  | i <- [1..m], j <- [1..n]]
    where (m,n) = dimension p
          f i j | i == k    = x*(p!(i,j))
                | otherwise = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. Definir la función
--    sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l
-- a la fila k d la matriz p. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> matrizLista (sumaFilaFila 2 3 p)
--    [[5,1,0],[7,8,15],[4,6,9]]
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a
sumaFilaFila k l p = 
    array ((1,1), (m,n))
          [((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]
    where (m,n) = dimension p
          f i j | i == k    = p!(i,j) + p!(l,j)
                | otherwise = p!(i,j)        

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
--    sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a
-- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila
-- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> matrizLista (sumaFilaPor 2 3 10 p)
--    [[5,1,0],[43,62,96],[4,6,9]]
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a
sumaFilaPor k l x p = 
    array ((1,1), (m,n))
          [((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]
    where (m,n) = dimension p
          f i j | i == k    = p!(i,j) + x*p!(l,j)
                | otherwise = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Triangularización de matrices                                      --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13. Definir la función
--    buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                        Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int
-- tal que (buscaIndiceDesde p j i) es el menor índice k, mayor o igual
-- que i, tal que el elemento de la matriz p en la posición (k,j) es no
-- nulo. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> buscaIndiceDesde p 3 2
--    Just 2
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> buscaIndiceDesde q 3 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int
buscaIndiceDesde p j i 
    | null xs   = Nothing
    | otherwise = Just (head xs)
    where xs = [k | ((k,j'),y) <- assocs p, j == j', y /= 0, k>=i] 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14. Definir la función
--    buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                        Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a
-- tal que (buscaPivoteDesde p j i) es el elemento de la matriz p en la
-- posición (k,j) donde k es (buscaIndiceDesde p j i). Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> buscaPivoteDesde p 3 2
--    Just 6
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> buscaPivoteDesde q 3 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a
buscaPivoteDesde p j i 
    | null xs   = Nothing
    | otherwise = Just (head xs)
    where xs = [y | ((k,j'),y) <- assocs p, j == j', y /= 0, k>=i] 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15. Definir la función
--    anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                           Int -> Int -> Matriz a -> Bool
-- tal que (anuladaColumnaDesde j i p) se verifica si todos los
-- elementos de la columna j de la matriz p desde i+1 en adelante son
-- nulos. Por ejemplo,
--    ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]
--    ghci> anuladaColumnaDesde q 3 2
--    True
--    ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]
--    ghci> anuladaColumnaDesde p 3 2
--    False
-- ---------------------------------------------------------------------

anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool
anuladaColumnaDesde p j i = 
    buscaIndiceDesde p j (i+1) == Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16. Definir la función
--    anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
--                             Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
-- tal que (anulaEltoColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida a partir
-- de p anulando el primer elemento de la columna j por debajo de la
-- fila i usando el elemento de la posición (i,j). Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[2,3,1],[5,0,5],[8,6,9]] :: Matriz Double
--    ghci> matrizLista (anulaEltoColumnaDesde p 2 1)
--    [[2.0,3.0,1.0],[5.0,0.0,5.0],[4.0,0.0,7.0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
                         Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
anulaEltoColumnaDesde p j i = 
    sumaFilaPor l i (-(p!(l,j)/a)) p
    where Just l = buscaIndiceDesde p j (i+1)
          a      = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17. Definir la función
--    anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
--                         Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
-- tal que (anulaColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida anulando
-- todos los elementos de la columna j de la matriz p por debajo del la
-- posición (i,j) (se supone que el elemnto p_(i,j) es no nulo). Por
-- ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[2,2,1],[5,4,5],[10,8,9]] :: Matriz Double
--    ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 2 1)
--    [[2.0,2.0,1.0],[1.0,0.0,3.0],[2.0,0.0,5.0]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[4,5],[2,7%2],[6,10]] 
--    ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 1 1)
--    [[4 % 1,5 % 1],[0 % 1,1 % 1],[0 % 1,5 % 2]]
-- ---------------------------------------------------------------------

anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) => 
                     Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
anulaColumnaDesde p j i
    | anuladaColumnaDesde p j i = p
    | otherwise = anulaColumnaDesde (anulaEltoColumnaDesde p j i) j i 

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Algoritmo de Gauss para triangularizar matrices                    --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18. Definir la función
--    elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                                Matriz a -> Int -> Int -> [a]
-- tal que (elementosNoNulosColDesde p j i) es la lista de los elementos
-- no nulos de la columna j a partir de la fila i. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2],[5,1],[0,4]]
--    ghci> elementosNoNulosColDesde p 1 2
--    [5]
-- ---------------------------------------------------------------------

elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> [a]
elementosNoNulosColDesde p j i = 
    [x | ((k,j'),x) <- assocs p, x /= 0, j' == j, k >= i]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19. Definir la función
--    existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                            Matriz a -> Int -> Int -> Bool
-- tal que (existeColNoNulaDesde p j i) se verifica si la matriz p tiene
-- una columna a partir de la j tal que tiene algún elemento no nulo por
-- debajo de la fila i; es decir, si la submatriz de p obtenida
-- eliminando las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas es no
-- nula. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]
--    ghci> existeColNoNulaDesde p 2 2
--    False
--    ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]
--    ghci> existeColNoNulaDesde q 2 2
-- ---------------------------------------------------------------------
  
existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool
existeColNoNulaDesde p j i = 
    or [not (null (elementosNoNulosColDesde p l i)) | l <- [j..n]]
    where n = numColumnas p

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20. Definir la función
--    menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
--                                 Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int
-- tal que (menorIndiceColNoNulaDesde p j i) es el índice de la primera
-- columna, a partir de la j, en el que la matriz p tiene un elemento no
-- nulo a partir de la fila i. Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde p 2 2
--    Just 2
--    ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde q 2 2
--    Just 3
--    ghci> let r = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]
--    ghci> menorIndiceColNoNulaDesde r 2 2
--    Nothing
-- ---------------------------------------------------------------------

menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => 
                             Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int
menorIndiceColNoNulaDesde p j i 
    | null js   = Nothing
    | otherwise = Just (head js)
    where n  = numColumnas p
          js = [j' | j' <- [j..n], 
                     not (null (elementosNoNulosColDesde p j' i))]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21. Definir la función
--    gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => 
--                Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
-- tal que (gaussAux p) es la matriz que en el que las i-1 primeras
-- filas y las j-1 primeras columnas son las de p y las restantes están 
-- triangularizadas por el método de Gauss; es decir,
--    1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.
--    2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1
--       primeras columnas es nulas, entonces p.
--    3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo
--    3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene
--         algún elemento no nulo a partir de la fila i,
--    3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'
--         de p,
--    3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de
--         p1 tiene un elemento no nulo,
--    3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de
--         la matriz p1 y
--    3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la
--         columna j de p2 por debajo de la fila i.
-- Por ejemplo,
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]]
--    ghci> matrizLista (gaussAux p 2 2)
--    [[1.0,2.0,3.0],[1.0,2.0,4.0],[2.0,0.0,1.0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a
gaussAux p i j 
    | dimension p == (i,j)             = p                        -- 1
    | not (existeColNoNulaDesde p j i) = p                        -- 2  
    | otherwise                        = gaussAux p' (i+1) (j+1)  -- 3
    where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i               -- 3.1 
          p1      = intercambiaColumnas j j' p                    -- 3.2
          Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i                       -- 3.3
          p2      = intercambiaFilas i i' p1                      -- 3.4
          p'      = anulaColumnaDesde p2 j i                      -- 3.5

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22. Definir la función
--    gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a
-- tal que (gauss p) es la triangularización de la matriz p por el método
-- de Gauss. Por ejemplo, 
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> gauss p
--    array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0),
--                         ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0),
--                         ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)]
--    ghci> matrizLista (gauss p)
--    [[1.0,3.0,2.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[3.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> matrizLista (gauss p)
--    [[3.0,2.0,3.0],[0.0,1.3333333333333335,3.0],[0.0,0.0,1.0]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]
--    ghci> matrizLista (gauss p)
--    [[3 % 1,2 % 1,3 % 1],[0 % 1,4 % 3,3 % 1],[0 % 1,0 % 1,1 % 1]]
--    ghci> let p = listaMatriz [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]]
--    ghci> matrizLista (gauss p)
--    [[1.0,3.0,0.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]]
-- ---------------------------------------------------------------------

gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a
gauss p = gaussAux p 1 1

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Determinante                                                       --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 23. Definir la función
--    gaussCAux :: (Fractional a, Eq a) => 
--                 Matriz a -> Int -> Int -> Int -> Matriz a
-- tal que (gaussCAux p i j c) es el par (n,q) donde q es la matriz que
-- en el que las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas son las
-- de p y las restantes están triangularizadas por el método de Gauss;
-- es decir, 
--    1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.
--    2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1
--       primeras columnas es nulas, entonces p.
--    3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo
--    3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene
--         algún elemento no nulo a partir de la fila i,
--    3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'
--         de p,
--    3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de
--         p1 tiene un elemento no nulo,
--    3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de
--         la matriz p1 y
--    3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la
--         columna j de p2 por debajo de la fila i.
-- y n es c más el número de intercambios de columnas y filas que se han 
-- producido durante el cálculo. Por ejemplo,
--    ghci> gaussCAux (listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]) 1 1 0
--    (1,array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0),
--                            ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0),
--                            ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)])
-- ---------------------------------------------------------------------

gaussCAux :: (Fractional a, Eq a) => 
             Matriz a -> Int -> Int -> Int -> (Int,Matriz a)
gaussCAux p i j c 
    | dimension p == (i,j)             = (c,p)                        -- 1
    | not (existeColNoNulaDesde p j i) = (c,p)                        -- 2  
    | otherwise                        = gaussCAux p' (i+1) (j+1) c'  -- 3
    where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i                   -- 3.1 
          p1      = intercambiaColumnas j j' p                        -- 3.2
          Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i                           -- 3.3
          p2      = intercambiaFilas i i' p1                          -- 3.4
          p'      = anulaColumnaDesde p2 j i                          -- 3.5
          c'      = c + signum (abs (j-j')) + signum (abs (i-i'))

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 24. Definir la función
--    gaussC :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a
-- tal que (gaussC p) es el par (n,q), donde q es la triangularización
-- de la matriz p por el método de Gauss y n es el número de
-- intercambios de columnas y filas que se han producido durante el
-- cálculo. Por ejemplo,  
--    ghci> gaussC (listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]])
--    (1,array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0),
--                            ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0),
--                            ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)])
-- ---------------------------------------------------------------------

gaussC :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> (Int,Matriz a)
gaussC p = gaussCAux p 1 1 0

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 25. Definir la función
--    determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a
-- tal que (determinante p) es el determinante de la matriz p. Por
-- ejemplo, 
--    ghci> determinante (listaMatriz [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]])
--    2.0
-- ---------------------------------------------------------------------

determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a
determinante p = (-1)^c * product (elems (diagonalPral p'))
    where (c,p') = gaussC p

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-- ---------------------------------------------------------------------

-- Introducción --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- El objetivo de esta relación es definir el método de Gauss para

-- triangularizar matrices.

-- Además, en algunos ejemplos de usan matrices con números racionales.

-- En Haskell, el número racional x/y se representa por x%y. El TAD de

-- los números racionales está definido en el módulo Data.Ratio.

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Importación de librerías --

-- ---------------------------------------------------------------------

import Data.Array

import Data.Ratio

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Tipos de los vectores y de las matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Los vectores son tablas cuyos índices son números naturales.

type Vector a = Array Int a

-- Las matrices son tablas cuyos índices son pares de números

-- naturales.

type Matriz a = Array (Int,Int) a

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Funciones auxiliares --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir la función

-- listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a

-- tal que (listaMatriz xss) es la matriz cuyas filas son los elementos

-- de xss. Por ejemplo,

-- ghci> listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]

-- array ((1,1),(2,3)) [((1,1),1),((1,2),3),((1,3),5),

-- ((2,1),2),((2,2),4),((2,3),7)]

-- --------------------------------------------------------------------

listaMatriz :: Num a => [[a]] -> Matriz a

listaMatriz xss = listArray ((1,1),(m,n)) (concat xss)

where m = length xss

n = length (head xss)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 2. Definir la función

-- separa :: Int -> [a] -> [[a]]

-- tal que (separa n xs) es la lista obtenida separando los elementos de

-- xs en grupos de n elementos (salvo el último que puede tener menos de

-- n elementos). Por ejemplo,

-- separa 3 [1..11] == [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],[10,11]]

-- ---------------------------------------------------------------------

separa :: Int -> [a] -> [[a]]

separa _ [] = []

separa n xs = take n xs : separa n (drop n xs)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 3. Definir la función

-- matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]]

-- tal que (matrizLista x) es la lista de las filas de la matriz x. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let m = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> m

-- array ((1,1),(2,3)) [((1,1),5),((1,2),1),((1,3),0),

-- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6)]

-- ghci> matrizLista m

-- [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ---------------------------------------------------------------------

matrizLista :: Num a => Matriz a -> [[a]]

matrizLista p = separa (numColumnas p) (elems p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 4. Definir la función

-- numFilas :: Num a => Matriz a -> Int

-- tal que (numFilas m) es el número de filas de la matriz m. Por

-- ejemplo,

-- numFilas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 2

-- ---------------------------------------------------------------------

numFilas :: Num a => Matriz a -> Int

numFilas = fst . snd . bounds

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 5. Definir la función

-- numColumnas :: Num a => Matriz a -> Int

-- tal que (numColumnas m) es el número de columnas de la matriz

-- m. Por ejemplo,

-- numColumnas (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == 3

-- ---------------------------------------------------------------------

numColumnas:: Num a => Matriz a -> Int

numColumnas = snd . snd . bounds

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 6. Definir la función

-- dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int)

-- tal que (dimension m) es la dimensión de la matriz m. Por ejemplo,

-- dimension (listaMatriz [[1,3,5],[2,4,7]]) == (2,3)

-- ---------------------------------------------------------------------

dimension :: Num a => Matriz a -> (Int,Int)

dimension p = (numFilas p, numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 7. Definir la función

-- diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a

-- tal que (diagonalPral p) es la diagonal principal de la matriz p. Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6]]

-- ghci> diagonalPral p

-- array (1,2) [(1,5),(2,2)]

-- ghci> elems (diagonalPral p)

-- [5,2]

-- ---------------------------------------------------------------------

diagonalPral :: Num a => Matriz a -> Vector a

diagonalPral p = array (1,n) [(i,p!(i,i)) | i <- [1..n]]

where n = min (numFilas p) (numColumnas p)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Transformaciones elementales --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 8. Definir la función

-- intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (intercambiaFilas k l p) es la matriz obtenida intercambiando

-- las filas k y l de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> intercambiaFilas 1 3 p

-- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),4),((1,2),6),((1,3),9),

-- ((2,1),3),((2,2),2),((2,3),6),

-- ((3,1),5),((3,2),1),((3,3),0)]

-- ghci> matrizLista (intercambiaFilas 1 3 p)

-- [[4,6,9],[3,2,6],[5,1,0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaFilas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

intercambiaFilas k l p =

array ((1,1), (m,n))

[((i,j), p! f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]

where (m,n) = dimension p

f i j | i == k = (l,j)

| i == l = (k,j)

| otherwise = (i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 9. Definir la función

-- intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (intercambiaColumnas k l p) es la matriz obtenida

-- intercambiando las columnas k y l de la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> matrizLista (intercambiaColumnas 1 3 p)

-- [[0,1,5],[6,2,3],[9,6,4]]

-- ---------------------------------------------------------------------

intercambiaColumnas :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

intercambiaColumnas k l p =

array ((1,1), (m,n))

[((i,j), p ! f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]

where (m,n) = dimension p

f i j | j == k = (i,l)

| j == l = (i,k)

| otherwise = (i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 10. Definir la función

-- multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (multFilaPor k x p) es a matriz obtenida multiplicando la

-- fila k de la matriz p por el número x. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> matrizLista (multFilaPor 2 3 p)

-- [[5,1,0],[9,6,18],[4,6,9]]

-- ---------------------------------------------------------------------

multFilaPor :: Num a => Int -> a -> Matriz a -> Matriz a

multFilaPor k x p =

array ((1,1), (m,n))

[((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]

where (m,n) = dimension p

f i j | i == k = x*(p!(i,j))

| otherwise = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 11. Definir la función

-- sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (sumaFilaFila k l p) es la matriz obtenida sumando la fila l

-- a la fila k d la matriz p. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> matrizLista (sumaFilaFila 2 3 p)

-- [[5,1,0],[7,8,15],[4,6,9]]

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaFila :: Num a => Int -> Int -> Matriz a -> Matriz a

sumaFilaFila k l p =

array ((1,1), (m,n))

[((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]

where (m,n) = dimension p

f i j | i == k = p!(i,j) + p!(l,j)

| otherwise = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 12. Definir la función

-- sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a

-- tal que (sumaFilaPor k l x p) es la matriz obtenida sumando a la fila

-- k de la matriz p la fila l multiplicada por x. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> matrizLista (sumaFilaPor 2 3 10 p)

-- [[5,1,0],[43,62,96],[4,6,9]]

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaFilaPor :: Num a => Int -> Int -> a -> Matriz a -> Matriz a

sumaFilaPor k l x p =

array ((1,1), (m,n))

[((i,j), f i j) | i <- [1..m], j <- [1..n]]

where (m,n) = dimension p

f i j | i == k = p!(i,j) + x*p!(l,j)

| otherwise = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Triangularización de matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13. Definir la función

-- buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int

-- tal que (buscaIndiceDesde p j i) es el menor índice k, mayor o igual

-- que i, tal que el elemento de la matriz p en la posición (k,j) es no

-- nulo. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> buscaIndiceDesde p 3 2

-- Just 2

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> buscaIndiceDesde q 3 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

buscaIndiceDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int

buscaIndiceDesde p j i

| null xs = Nothing

| otherwise = Just (head xs)

where xs = [k | ((k,j'),y) <- assocs p, j == j', y /= 0, k>=i]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 14. Definir la función

-- buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a

-- tal que (buscaPivoteDesde p j i) es el elemento de la matriz p en la

-- posición (k,j) donde k es (buscaIndiceDesde p j i). Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> buscaPivoteDesde p 3 2

-- Just 6

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> buscaPivoteDesde q 3 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

buscaPivoteDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Maybe a

buscaPivoteDesde p j i

| null xs = Nothing

| otherwise = Just (head xs)

where xs = [y | ((k,j'),y) <- assocs p, j == j', y /= 0, k>=i]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 15. Definir la función

-- anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Int -> Int -> Matriz a -> Bool

-- tal que (anuladaColumnaDesde j i p) se verifica si todos los

-- elementos de la columna j de la matriz p desde i+1 en adelante son

-- nulos. Por ejemplo,

-- ghci> let q = listaMatriz [[5,1,1],[3,2,0],[4,6,0]]

-- ghci> anuladaColumnaDesde q 3 2

-- True

-- ghci> let p = listaMatriz [[5,1,0],[3,2,6],[4,6,9]]

-- ghci> anuladaColumnaDesde p 3 2

-- False

-- ---------------------------------------------------------------------

anuladaColumnaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool

anuladaColumnaDesde p j i =

buscaIndiceDesde p j (i+1) == Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 16. Definir la función

-- anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

-- tal que (anulaEltoColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida a partir

-- de p anulando el primer elemento de la columna j por debajo de la

-- fila i usando el elemento de la posición (i,j). Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[2,3,1],[5,0,5],[8,6,9]] :: Matriz Double

-- ghci> matrizLista (anulaEltoColumnaDesde p 2 1)

-- [[2.0,3.0,1.0],[5.0,0.0,5.0],[4.0,0.0,7.0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

anulaEltoColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

anulaEltoColumnaDesde p j i =

sumaFilaPor l i (-(p!(l,j)/a)) p

where Just l = buscaIndiceDesde p j (i+1)

a = p!(i,j)

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 17. Definir la función

-- anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

-- tal que (anulaColumnaDesde p j i) es la matriz obtenida anulando

-- todos los elementos de la columna j de la matriz p por debajo del la

-- posición (i,j) (se supone que el elemnto p_(i,j) es no nulo). Por

-- ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[2,2,1],[5,4,5],[10,8,9]] :: Matriz Double

-- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 2 1)

-- [[2.0,2.0,1.0],[1.0,0.0,3.0],[2.0,0.0,5.0]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[4,5],[2,7%2],[6,10]]

-- ghci> matrizLista (anulaColumnaDesde p 1 1)

-- [[4 % 1,5 % 1],[0 % 1,1 % 1],[0 % 1,5 % 2]]

-- ---------------------------------------------------------------------

anulaColumnaDesde :: (Fractional a, Eq a) =>

Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

anulaColumnaDesde p j i

| anuladaColumnaDesde p j i = p

| otherwise = anulaColumnaDesde (anulaEltoColumnaDesde p j i) j i

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Algoritmo de Gauss para triangularizar matrices --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 18. Definir la función

-- elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> [a]

-- tal que (elementosNoNulosColDesde p j i) es la lista de los elementos

-- no nulos de la columna j a partir de la fila i. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2],[5,1],[0,4]]

-- ghci> elementosNoNulosColDesde p 1 2

-- [5]

-- ---------------------------------------------------------------------

elementosNoNulosColDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> [a]

elementosNoNulosColDesde p j i =

[x | ((k,j'),x) <- assocs p, x /= 0, j' == j, k >= i]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 19. Definir la función

-- existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Bool

-- tal que (existeColNoNulaDesde p j i) se verifica si la matriz p tiene

-- una columna a partir de la j tal que tiene algún elemento no nulo por

-- debajo de la fila i; es decir, si la submatriz de p obtenida

-- eliminando las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas es no

-- nula. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]

-- ghci> existeColNoNulaDesde p 2 2

-- False

-- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]

-- ghci> existeColNoNulaDesde q 2 2

-- ---------------------------------------------------------------------

existeColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Bool

existeColNoNulaDesde p j i =

or [not (null (elementosNoNulosColDesde p l i)) | l <- [j..n]]

where n = numColumnas p

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 20. Definir la función

-- menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int

-- tal que (menorIndiceColNoNulaDesde p j i) es el índice de la primera

-- columna, a partir de la j, en el que la matriz p tiene un elemento no

-- nulo a partir de la fila i. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[3,2,5],[5,7,0],[6,0,0]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde p 2 2

-- Just 2

-- ghci> let q = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,2]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde q 2 2

-- Just 3

-- ghci> let r = listaMatriz [[3,2,5],[5,0,0],[6,0,0]]

-- ghci> menorIndiceColNoNulaDesde r 2 2

-- Nothing

-- ---------------------------------------------------------------------

menorIndiceColNoNulaDesde :: (Num a, Eq a) =>

Matriz a -> Int -> Int -> Maybe Int

menorIndiceColNoNulaDesde p j i

| null js = Nothing

| otherwise = Just (head js)

where n = numColumnas p

js = [j' | j' <- [j..n],

not (null (elementosNoNulosColDesde p j' i))]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 21. Definir la función

-- gaussAux :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

-- tal que (gaussAux p) es la matriz que en el que las i-1 primeras

-- filas y las j-1 primeras columnas son las de p y las restantes están

-- triangularizadas por el método de Gauss; es decir,

-- 1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.

-- 2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1

-- primeras columnas es nulas, entonces p.

-- 3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo

-- 3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene

-- algún elemento no nulo a partir de la fila i,

-- 3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'

-- de p,

-- 3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de

-- p1 tiene un elemento no nulo,

-- 3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de

-- la matriz p1 y

-- 3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la

-- columna j de p2 por debajo de la fila i.

-- Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[3,2,5]]

-- ghci> matrizLista (gaussAux p 2 2)

-- [[1.0,2.0,3.0],[1.0,2.0,4.0],[2.0,0.0,1.0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

gaussAux :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Int -> Int -> Matriz a

gaussAux p i j

| dimension p == (i,j) = p -- 1

| not (existeColNoNulaDesde p j i) = p -- 2

| otherwise = gaussAux p' (i+1) (j+1) -- 3

where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i -- 3.1

p1 = intercambiaColumnas j j' p -- 3.2

Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i -- 3.3

p2 = intercambiaFilas i i' p1 -- 3.4

p' = anulaColumnaDesde p2 j i -- 3.5

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 22. Definir la función

-- gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a

-- tal que (gauss p) es la triangularización de la matriz p por el método

-- de Gauss. Por ejemplo,

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> gauss p

-- array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0),

-- ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0),

-- ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)]

-- ghci> matrizLista (gauss p)

-- [[1.0,3.0,2.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[3.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> matrizLista (gauss p)

-- [[3.0,2.0,3.0],[0.0,1.3333333333333335,3.0],[0.0,0.0,1.0]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[3%1,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]

-- ghci> matrizLista (gauss p)

-- [[3 % 1,2 % 1,3 % 1],[0 % 1,4 % 3,3 % 1],[0 % 1,0 % 1,1 % 1]]

-- ghci> let p = listaMatriz [[1.0,0,3],[1,0,4],[3,0,5]]

-- ghci> matrizLista (gauss p)

-- [[1.0,3.0,0.0],[0.0,1.0,0.0],[0.0,0.0,0.0]]

-- ---------------------------------------------------------------------

gauss :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a

gauss p = gaussAux p 1 1

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Determinante --

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 23. Definir la función

-- gaussCAux :: (Fractional a, Eq a) =>

-- Matriz a -> Int -> Int -> Int -> Matriz a

-- tal que (gaussCAux p i j c) es el par (n,q) donde q es la matriz que

-- en el que las i-1 primeras filas y las j-1 primeras columnas son las

-- de p y las restantes están triangularizadas por el método de Gauss;

-- es decir,

-- 1. Si la dimensión de p es (i,j), entonces p.

-- 2. Si la submatriz de p sin las i-1 primeras filas y las j-1

-- primeras columnas es nulas, entonces p.

-- 3. En caso contrario, (gaussAux p' (i+1) (j+1)) siendo

-- 3.1. j' la primera columna a partir de la j donde p tiene

-- algún elemento no nulo a partir de la fila i,

-- 3.2. p1 la matriz obtenida intercambiando las columnas j y j'

-- de p,

-- 3.3. i' la primera fila a partir de la i donde la columna j de

-- p1 tiene un elemento no nulo,

-- 3.4. p2 la matriz obtenida intercambiando las filas i e i' de

-- la matriz p1 y

-- 3.5. p' la matriz obtenida anulando todos los elementos de la

-- columna j de p2 por debajo de la fila i.

-- y n es c más el número de intercambios de columnas y filas que se han

-- producido durante el cálculo. Por ejemplo,

-- ghci> gaussCAux (listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]]) 1 1 0

-- (1,array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0),

-- ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0),

-- ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)])

-- ---------------------------------------------------------------------

gaussCAux :: (Fractional a, Eq a) =>

Matriz a -> Int -> Int -> Int -> (Int,Matriz a)

gaussCAux p i j c

| dimension p == (i,j) = (c,p) -- 1

| not (existeColNoNulaDesde p j i) = (c,p) -- 2

| otherwise = gaussCAux p' (i+1) (j+1) c' -- 3

where Just j' = menorIndiceColNoNulaDesde p j i -- 3.1

p1 = intercambiaColumnas j j' p -- 3.2

Just i' = buscaIndiceDesde p1 j i -- 3.3

p2 = intercambiaFilas i i' p1 -- 3.4

p' = anulaColumnaDesde p2 j i -- 3.5

c' = c + signum (abs (j-j')) + signum (abs (i-i'))

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 24. Definir la función

-- gaussC :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> Matriz a

-- tal que (gaussC p) es el par (n,q), donde q es la triangularización

-- de la matriz p por el método de Gauss y n es el número de

-- intercambios de columnas y filas que se han producido durante el

-- cálculo. Por ejemplo,

-- ghci> gaussC (listaMatriz [[1.0,2,3],[1,2,4],[1,2,5]])

-- (1,array ((1,1),(3,3)) [((1,1),1.0),((1,2),3.0),((1,3),2.0),

-- ((2,1),0.0),((2,2),1.0),((2,3),0.0),

-- ((3,1),0.0),((3,2),0.0),((3,3),0.0)])

-- ---------------------------------------------------------------------

gaussC :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> (Int,Matriz a)

gaussC p = gaussCAux p 1 1 0

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 25. Definir la función

-- determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a

-- tal que (determinante p) es el determinante de la matriz p. Por

-- ejemplo,

-- ghci> determinante (listaMatriz [[1.0,2,3],[1,3,4],[1,2,5]])

-- 2.0

-- ---------------------------------------------------------------------

determinante :: (Fractional a, Eq a) => Matriz a -> a

determinante p = (-1)^c * product (elems (diagonalPral p'))

where (c,p') = gaussC p

El código anterior se encuentra también en GitHub.

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