I1M2015: Ejercicios sobre tipos de datos algebraicos.
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios de la relación 12 sobre tipos de dato algebraico.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 |
-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presenta ejercicios sobre distintos tipos de -- datos algebraicos. Concretamente, -- * Árboles binarios: -- + Árboles binarios con valores en los nodos. -- + Árboles binarios con valores en las hojas. -- + Árboles binarios con valores en las hojas y en los nodos. -- + Árboles booleanos. -- * Árboles generales -- * Expresiones aritméticas -- + Expresiones aritméticas básicas. -- + Expresiones aritméticas con una variable. -- + Expresiones aritméticas con varias variables. -- + Expresiones aritméticas generales. -- + Expresiones aritméticas con tipo de operaciones. -- * Expresiones vectoriales -- -- Los ejercicios corresponden al tema 9 que se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-15/temas/tema-9.html -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.1. Los árboles binarios con valores en los nodos se -- pueden definir por -- data Arbol1 a = H1 -- | N1 a (Arbol1 a) (Arbol1 a) -- deriving (Show, Eq) -- Por ejemplo, el árbol -- 9 -- / \ -- / \ -- 8 6 -- / \ / \ -- 3 2 4 5 -- se puede representar por -- N1 9 (N1 8 (N1 3 H1 H1) (N1 2 H1 H1)) (N1 6 (N1 4 H1 H1) (N1 5 H1 H1)) -- -- Definir por recursión la función -- sumaArbol :: Num a => Arbol1 a -> a -- tal (sumaArbol x) es la suma de los valores que hay en el árbol -- x. Por ejemplo, -- ghci> sumaArbol (N1 2 (N1 5 (N1 3 H1 H1) (N1 7 H1 H1)) (N1 4 H1 H1)) -- 21 -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol1 a = H1 | N1 a (Arbol1 a) (Arbol1 a) deriving (Show, Eq) sumaArbol :: Num a => Arbol1 a -> a sumaArbol H1 = 0 sumaArbol (N1 x i d) = x + sumaArbol i + sumaArbol d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.2. Definir la función -- mapArbol :: (a -> b) -> Arbol1 a -> Arbol1 b -- tal que (mapArbol f x) es el árbol que resulta de sustituir cada nodo -- n del árbol x por (f n). Por ejemplo, -- ghci> mapArbol (+1) (N1 2 (N1 5 (N1 3 H1 H1) (N1 7 H1 H1)) (N1 4 H1 H1)) -- N1 3 (N1 6 (N1 4 H1 H1) (N1 8 H1 H1)) (N1 5 H1 H1) -- --------------------------------------------------------------------- mapArbol :: (a -> b) -> Arbol1 a -> Arbol1 b mapArbol _ H1 = H1 mapArbol f (N1 x i d) = N1 (f x) (mapArbol f i) (mapArbol f d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.3. Definir la función -- ramaIzquierda :: Arbol1 a -> [a] -- tal que (ramaIzquierda a) es la lista de los valores de los nodos de -- la rama izquierda del árbol a. Por ejemplo, -- ghci> ramaIzquierda (N1 2 (N1 5 (N1 3 H1 H1) (N1 7 H1 H1)) (N1 4 H1 H1)) -- [2,5,3] -- --------------------------------------------------------------------- ramaIzquierda :: Arbol1 a -> [a] ramaIzquierda H1 = [] ramaIzquierda (N1 x i d) = x : ramaIzquierda i -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1.4. Diremos que un árbol está balanceado si para cada nodo -- v la diferencia entre el número de nodos (con valor) de sus subárboles -- izquierdo y derecho es menor o igual que uno. -- -- Definir la función -- balanceado :: Arbol1 a -> Bool -- tal que (balanceado a) se verifica si el árbol a está balanceado. Por -- ejemplo, -- balanceado (N1 5 H1 (N1 3 H1 H1)) == True -- balanceado (N1 5 H1 (N1 3 (N1 4 H1 H1) H1)) == False -- --------------------------------------------------------------------- balanceado :: Arbol1 a -> Bool balanceado H1 = True balanceado (N1 _ i d) = abs (numeroNodos i - numeroNodos d) <= 1 -- (numeroNodos a) es el número de nodos del árbol a. Por ejemplo, -- numeroNodos (N1 5 H1 (N1 3 H1 H1)) == 2 numeroNodos :: Arbol1 a -> Int numeroNodos H1 = 0 numeroNodos (N1 _ i d) = 1 + numeroNodos i + numeroNodos d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Los árboles binarios con valores en las hojas se pueden -- definir por -- data Arbol2 a = H2 a -- | N2 (Arbol2 a) (Arbol2 a) -- deriving Show -- Por ejemplo, los árboles -- árbol1 árbol2 árbol3 árbol4 -- o o o o -- / \ / \ / \ / \ -- 1 o o 3 o 3 o 1 -- / \ / \ / \ / \ -- 2 3 1 2 1 4 2 3 -- se representan por -- arbol1, arbol2, arbol3, arbol4 :: Arbol2 Int -- arbol1 = N2 (H2 1) (N2 (H2 2) (H2 3)) -- arbol2 = N2 (N2 (H2 1) (H2 2)) (H2 3) -- arbol3 = N2 (N2 (H2 1) (H2 4)) (H2 3) -- arbol4 = N2 (N2 (H2 2) (H2 3)) (H2 1) -- -- Definir la función -- igualBorde :: Eq a => Arbol2 a -> Arbol2 a -> Bool -- tal que (igualBorde t1 t2) se verifica si los bordes de los árboles -- t1 y t2 son iguales. Por ejemplo, -- igualBorde arbol1 arbol2 == True -- igualBorde arbol1 arbol3 == False -- igualBorde arbol1 arbol4 == False -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol2 a = N2 (Arbol2 a) (Arbol2 a) | H2 a deriving Show arbol1, arbol2, arbol3, arbol4 :: Arbol2 Int arbol1 = N2 (H2 1) (N2 (H2 2) (H2 3)) arbol2 = N2 (N2 (H2 1) (H2 2)) (H2 3) arbol3 = N2 (N2 (H2 1) (H2 4)) (H2 3) arbol4 = N2 (N2 (H2 2) (H2 3)) (H2 1) igualBorde :: Eq a => Arbol2 a -> Arbol2 a -> Bool igualBorde t1 t2 = borde t1 == borde t2 -- (borde t) es el borde del árbol t; es decir, la lista de las hojas -- del árbol t leídas de izquierda a derecha. Por ejemplo, -- borde arbol4 == [2,3,1] borde :: Arbol2 a -> [a] borde (N2 i d) = borde i ++ borde d borde (H2 x) = [x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Los árboles binarios con valores en las hojas y en los -- nodos se definen por -- data Arbol3 a = H3 a -- | N3 a (Arbol3 a) (Arbol3 a) -- deriving Show -- Por ejemplo, los árboles -- 5 8 5 5 -- / \ / \ / \ / \ -- / \ / \ / \ / \ -- 9 7 9 3 9 2 4 7 -- / \ / \ / \ / \ / \ / \ -- 1 4 6 8 1 4 6 2 1 4 6 2 -- se pueden representar por -- ej3arbol1, ej3arbol2, ej3arbol3, ej3arbol4 :: Arbol3 Int -- ej3arbol1 = N3 5 (N3 9 (H3 1) (H3 4)) (N3 7 (H3 6) (H3 8)) -- ej3arbol2 = N3 8 (N3 9 (H3 1) (H3 4)) (N3 3 (H3 6) (H3 2)) -- ej3arbol3 = N3 5 (N3 9 (H3 1) (H3 4)) (H3 2) -- ej3arbol4 = N3 5 (H3 4) (N3 7 (H3 6) (H3 2)) -- -- Definir la función -- igualEstructura :: Arbol3 -> Arbol3 -> Bool -- tal que (igualEstructura a1 a1) se verifica si los árboles a1 y a2 -- tienen la misma estructura. Por ejemplo, -- igualEstructura ej3arbol1 ej3arbol2 == True -- igualEstructura ej3arbol1 ej3arbol3 == False -- igualEstructura ej3arbol1 ej3arbol4 == False -- --------------------------------------------------------------------- data Arbol3 a = H3 a | N3 a (Arbol3 a) (Arbol3 a) deriving Show ej3arbol1, ej3arbol2, ej3arbol3, ej3arbol4 :: Arbol3 Int ej3arbol1 = N3 5 (N3 9 (H3 1) (H3 4)) (N3 7 (H3 6) (H3 8)) ej3arbol2 = N3 8 (N3 9 (H3 1) (H3 4)) (N3 3 (H3 6) (H3 2)) ej3arbol3 = N3 5 (N3 9 (H3 1) (H3 4)) (H3 2) ej3arbol4 = N3 5 (H3 4) (N3 7 (H3 6) (H3 2)) igualEstructura :: Arbol3 a -> Arbol3 a -> Bool igualEstructura (H3 _) (H3 _) = True igualEstructura (N3 r1 i1 d1) (N3 r2 i2 d2) = igualEstructura i1 i2 && igualEstructura d1 d2 igualEstructura _ _ = False -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Definir la función -- algunoArbol :: Arbol3 t -> (t -> Bool) -> Bool -- tal que (algunoArbol a p) se verifica si algún elemento del árbol a -- cumple la propiedad p. Por ejemplo, -- algunoArbol3 (N3 5 (N3 3 (H3 1) (H3 4)) (H3 2)) (>4) == True -- algunoArbol3 (N3 5 (N3 3 (H3 1) (H3 4)) (H3 2)) (>7) == False -- --------------------------------------------------------------------- algunoArbol :: Arbol3 a -> (a -> Bool) -> Bool algunoArbol (H3 x) p = p x algunoArbol (N3 x i d) p = p x || algunoArbol i p || algunoArbol d p -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Un elemento de un árbol se dirá de nivel k si aparece -- en el árbol a distancia k de la raíz. -- -- Definir la función -- nivel :: Int -> Arbol3 a -> [a] -- tal que (nivel k a) es la lista de los elementos de nivel k del árbol -- a. Por ejemplo, -- nivel 0 (N3 7 (N3 2 (H3 5) (H3 4)) (H3 9)) == [7] -- nivel 1 (N3 7 (N3 2 (H3 5) (H3 4)) (H3 9)) == [2,9] -- nivel 2 (N3 7 (N3 2 (H3 5) (H3 4)) (H3 9)) == [5,4] -- nivel 3 (N3 7 (N3 2 (H3 5) (H3 4)) (H3 9)) == [] -- --------------------------------------------------------------------- nivel :: Int -> Arbol3 a -> [a] nivel 0 (H3 x) = [x] nivel 0 (N3 x _ _) = [x] nivel k (H3 _ ) = [] nivel k (N3 _ i d) = nivel (k-1) i ++ nivel (k-1) d -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.4. Los divisores medios de un número son los que ocupan -- la posición media entre los divisores de n, ordenados de menor a -- mayor. Por ejemplo, los divisores de 60 son -- [1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60] y sus divisores medios son 6 y 10. -- -- El árbol de factorización de un número compuesto n se construye de la -- siguiente manera: -- * la raíz es el número n, -- * la rama izquierda es el árbol de factorización de su divisor -- medio menor y -- * la rama derecha es el árbol de factorización de su divisor -- medio mayor -- Si el número es primo, su árbol de factorización sólo tiene una hoja -- con dicho número. Por ejemplo, el árbol de factorización de 60 es -- 60 -- / \ -- 6 10 -- / \ / \ -- 2 3 2 5 -- -- Definir la función -- arbolFactorizacion :: Int -> Arbol3 -- tal que (arbolFactorizacion n) es el árbol de factorización de n. Por -- ejemplo, -- arbolFactorizacion 60 == N3 60 (N3 6 (H3 2) (H3 3)) (N3 10 (H3 2) (H3 5)) -- arbolFactorizacion 45 == N3 45 (H3 5) (N3 9 (H3 3) (H3 3)) -- arbolFactorizacion 7 == H3 7 -- arbolFactorizacion 14 == N3 14 (H3 2) (H3 7) -- arbolFactorizacion 28 == N3 28 (N3 4 (H3 2) (H3 2)) (H3 7) -- arbolFactorizacion 84 == N3 84 (H3 7) (N3 12 (H3 3) (N3 4 (H3 2) (H3 2))) -- --------------------------------------------------------------------- -- 1ª definición -- ============= arbolFactorizacion :: Int -> Arbol3 Int arbolFactorizacion n | esPrimo n = H3 n | otherwise = N3 n (arbolFactorizacion x) (arbolFactorizacion y) where (x,y) = divisoresMedio n -- (esPrimo n) se verifica si n es primo. Por ejemplo, -- esPrimo 7 == True -- esPrimo 9 == False esPrimo :: Int -> Bool esPrimo n = divisores n == [1,n] -- (divisoresMedio n) es el par formado por los divisores medios de -- n. Por ejemplo, -- divisoresMedio 30 == (5,6) -- divisoresMedio 7 == (1,7) divisoresMedio :: Int -> (Int,Int) divisoresMedio n = (n `div` x,x) where xs = divisores n x = xs !! (length xs `div` 2) -- (divisores n) es la lista de los divisores de n. Por ejemplo, -- divisores 30 == [1,2,3,5,6,10,15,30] divisores :: Int -> [Int] divisores n = [x | x <- [1..n], n `rem` x == 0] -- 2ª definición -- ============= arbolFactorizacion2 :: Int -> Arbol3 Int arbolFactorizacion2 n | x == 1 = H3 n | otherwise = N3 n (arbolFactorizacion x) (arbolFactorizacion y) where (x,y) = divisoresMedio n -- (divisoresMedio2 n) es el par formado por los divisores medios de -- n. Por ejemplo, -- divisoresMedio2 30 == (5,6) -- divisoresMedio2 7 == (1,7) divisoresMedio2 :: Int -> (Int,Int) divisoresMedio2 n = (n `div` x,x) where m = ceiling (sqrt (fromIntegral n)) x = head [y | y <- [m..n], n `rem` y == 0] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Se consideran los árboles con operaciones booleanas -- definidos por -- data ArbolB = HB Bool -- | Conj ArbolB ArbolB -- | Disy ArbolB ArbolB -- | Neg ArbolB -- -- Por ejemplo, los árboles -- Conj Conj -- / \ / \ -- / \ / \ -- Disy Conj Disy Conj -- / \ / \ / \ / \ -- Conj Neg Neg True Conj Neg Neg True -- / \ | | / \ | | -- True False False False True False True False -- -- se definen por -- ej1, ej2:: ArbolB -- ej1 = Conj (Disy (Conj (HB True) (HB False)) -- (Neg (HB False))) -- (Conj (Neg (HB False)) -- (HB True)) -- -- ej2 = Conj (Disy (Conj (HB True) (HB False)) -- (Neg (HB True))) -- (Conj (Neg (HB False)) -- (HB True)) -- -- Definir la función -- valorB :: ArbolB -> Bool -- tal que (valorB ar) es el resultado de procesar el árbol realizando -- las operaciones booleanas especificadas en los nodos. Por ejemplo, -- valorB ej1 == True -- valorB ej2 == False -- --------------------------------------------------------------------- data ArbolB = HB Bool | Conj ArbolB ArbolB | Disy ArbolB ArbolB | Neg ArbolB ej1, ej2:: ArbolB ej1 = Conj (Disy (Conj (HB True) (HB False)) (Neg (HB False))) (Conj (Neg (HB False)) (HB True)) ej2 = Conj (Disy (Conj (HB True) (HB False)) (Neg (HB True))) (Conj (Neg (HB False)) (HB True)) valorB:: ArbolB -> Bool valorB (HB x) = x valorB (Neg a) = not (valorB a) valorB (Conj i d) = (valorB i) && (valorB d) valorB (Disy i d) = (valorB i) || (valorB d) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Los árboles generales se pueden representar mediante el -- siguiente tipo de dato -- data ArbolG a = N a [ArbolG a] -- deriving (Eq, Show) -- Por ejemplo, los árboles -- 1 3 3 -- / \ /|\ / | \ -- 2 3 / | \ / | \ -- | 5 4 7 5 4 7 -- 4 | /\ | | / \ -- 6 2 1 6 1 2 1 -- / \ -- 2 3 -- | -- 4 -- se representan por -- ejG1, ejG2, ejG3 :: ArbolG Int -- ejG1 = N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]] -- ejG2 = N 3 [N 5 [N 6 []], -- N 4 [], -- N 7 [N 2 [], N 1 []]] -- ejG3 = N 3 [N 5 [N 6 []], -- N 4 [N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]]], -- N 7 [N 2 [], N 1 []]] -- -- Definir la función -- ramifica :: ArbolG a -> ArbolG a -> (a -> Bool) -> ArbolG a -- tal que (ramifica a1 a2 p) el árbol que resulta de añadir una copia -- del árbol a2 a los nodos de a1 que cumplen un predicado p. Por -- ejemplo, -- λ> ramifica ejG1 (N 8 []) (>4) -- N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]] -- ghci> ramifica ejG1 (N 8 []) (>3) -- N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 [N 8 []]]] -- ghci> ramifica ejG1 (N 8 []) (>2) -- N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 [N 8 []],N 8 []]] -- ghci> ramifica ejG1 (N 8 []) (>1) -- N 1 [N 2 [N 8 []],N 3 [N 4 [N 8 []],N 8 []]] -- ghci> ramifica ejG1 (N 8 []) (>0) -- N 1 [N 2 [N 8 []],N 3 [N 4 [N 8 []],N 8 []],N 8 []] -- --------------------------------------------------------------------- data ArbolG a = N a [ArbolG a] deriving (Eq, Show) ejG1, ejG2, ejG3 :: ArbolG Int ejG1 = N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]] ejG2 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [], N 7 [N 2 [], N 1 []]] ejG3 = N 3 [N 5 [N 6 []], N 4 [N 1 [N 2 [],N 3 [N 4 []]]], N 7 [N 2 [], N 1 []]] ramifica :: ArbolG a -> ArbolG a -> (a -> Bool) -> ArbolG a ramifica (N x xs) a2 p | p x = N x ([ramifica a a2 p | a <- xs] ++ [a2]) | otherwise = N x [ramifica a a2 p | a <- xs] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.1. Las expresiones aritméticas básicas pueden -- representarse usando el siguiente tipo de datos -- data Expr1 = C1 Int -- | S1 Expr1 Expr1 -- | P1 Expr1 Expr1 -- deriving Show -- Por ejemplo, la expresión 2*(3+7) se representa por -- P1 (C1 2) (S1 (C1 3) (C1 7)) -- -- Definir la función -- valor :: Expr1 -> Int -- tal que (valor e) es el valor de la expresión aritmética e. Por -- ejemplo, -- valor (P1 (C1 2) (S1 (C1 3) (C1 7))) == 20 -- --------------------------------------------------------------------- data Expr1 = C1 Int | S1 Expr1 Expr1 | P1 Expr1 Expr1 deriving Show valor :: Expr1 -> Int valor (C1 x) = x valor (S1 x y) = valor x + valor y valor (P1 x y) = valor x * valor y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6.2. Definir la función -- aplica :: (Int -> Int) -> Expr1 -> Expr1 -- tal que (aplica f e) es la expresión obtenida aplicando la función f -- a cada uno de los números de la expresión e. Por ejemplo, -- ghci> aplica (+2) (S1 (P1 (C1 3) (C1 5)) (P1 (C1 6) (C1 7))) -- S1 (P1 (C1 5) (C1 7)) (P1 (C1 8) (C1 9)) -- ghci> aplica (*2) (S1 (P1 (C1 3) (C1 5)) (P1 (C1 6) (C1 7))) -- S1 (P1 (C1 6) (C1 10)) (P1 (C1 12) (C1 14)) -- --------------------------------------------------------------------- aplica :: (Int -> Int) -> Expr1 -> Expr1 aplica f (C1 x) = C1 (f x) aplica f (S1 e1 e2) = S1 (aplica f e1) (aplica f e2) aplica f (P1 e1 e2) = P1 (aplica f e1) (aplica f e2) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.1. Las expresiones aritméticas construidas con una -- variable (denotada por X), los números enteros y las operaciones de -- sumar y multiplicar se pueden representar mediante el tipo de datos -- Expr2 definido por -- data Expr2 = X -- | C2 Int -- | S2 Expr2 Expr2 -- | P2 Expr2 Expr2 -- Por ejemplo, la expresión "X*(13+X)" se representa por -- "P2 X (S2 (C2 13) X)". -- -- Definir la función -- valorE :: Expr2 -> Int -> Int -- tal que (valorE e n) es el valor de la expresión e cuando se -- sustituye su variable por n. Por ejemplo, -- valorE (P2 X (S2 (C2 13) X)) 2 == 30 -- --------------------------------------------------------------------- data Expr2 = X | C2 Int | S2 Expr2 Expr2 | P2 Expr2 Expr2 valorE :: Expr2 -> Int -> Int valorE X n = n valorE (C2 a) n = a valorE (S2 e1 e2) n = valorE e1 n + valorE e2 n valorE (P2 e1 e2) n = valorE e1 n * valorE e2 n -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7.2. Definir la función -- numVars :: Expr2 -> Int -- tal que (numVars e) es el número de variables en la expresión e. Por -- ejemplo, -- numVars (C2 3) == 0 -- numVars X == 1 -- numVars (P2 X (S2 (C2 13) X)) == 2 -- --------------------------------------------------------------------- numVars :: Expr2 -> Int numVars X = 1 numVars (C2 n) = 0 numVars (S2 a b) = numVars a + numVars b numVars (P2 a b) = numVars a + numVars b -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Las expresiones aritméticas con variables pueden -- representarse usando el siguiente tipo de datos -- data Expr3 = C3 Int -- | V3 Char -- | S3 Expr3 Expr3 -- | P3 Expr3 Expr3 -- deriving Show -- Por ejemplo, la expresión 2*(a+5) se representa por -- P3 (C3 2) (S3 (V3 'a') (C3 5)) -- -- Definir la función -- valor3 :: Expr3 -> [(Char,Int)] -> Int -- tal que (valor3 x e) es el valor3 de la expresión x en el entorno e (es -- decir, el valor3 de la expresión donde las variables de x se sustituyen -- por los valores según se indican en el entorno e). Por ejemplo, -- ghci> valor3 (P3 (C3 2) (S3 (V3 'a') (V3 'b'))) [('a',2),('b',5)] -- 14 -- --------------------------------------------------------------------- data Expr3 = C3 Int | V3 Char | S3 Expr3 Expr3 | P3 Expr3 Expr3 deriving Show valor3 :: Expr3 -> [(Char,Int)] -> Int valor3 (C3 x) e = x valor3 (V3 x) e = head [y | (z,y) <- e, z == x] valor3 (S3 x y) e = valor3 x e + valor3 y e valor3 (P3 x y) e = valor3 x e * valor3 y e -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Definir la función -- sumas :: Expr3 -> Int -- tal que (sumas e) es el número de sumas en la expresión e. Por -- ejemplo, -- sumas (P3 (V3 'z') (S3 (C3 3) (V3 'x'))) == 1 -- sumas (S3 (V3 'z') (S3 (C3 3) (V3 'x'))) == 2 -- sumas (P3 (V3 'z') (P3 (C3 3) (V3 'x'))) == 0 -- --------------------------------------------------------------------- sumas :: Expr3 -> Int sumas (V3 _) = 0 sumas (C3 _) = 0 sumas (S3 x y) = 1 + sumas x + sumas y sumas (P3 x y) = sumas x + sumas y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.3. Definir la función -- sustitucion :: Expr3 -> [(Char, Int)] -> Expr3 -- tal que (sustitucion e s) es la expresión obtenida sustituyendo las -- variables de la expresión e según se indica en la sustitución s. Por -- ejemplo, -- ghci> sustitucion (P3 (V3 'z') (S3 (C3 3) (V3 'x'))) [('x',7),('z',9)] -- P3 (C3 9) (S3 (C3 3) (C3 7)) -- ghci> sustitucion (P3 (V3 'z') (S3 (C3 3) (V3 'y'))) [('x',7),('z',9)] -- P3 (C3 9) (S3 (C3 3) (V3 'y')) -- --------------------------------------------------------------------- sustitucion :: Expr3 -> [(Char, Int)] -> Expr3 sustitucion e [] = e sustitucion (V3 c) ((d,n):ps) | c == d = C3 n | otherwise = sustitucion (V3 c) ps sustitucion (C3 n) _ = C3 n sustitucion (S3 e1 e2) ps = S3 (sustitucion e1 ps) (sustitucion e2 ps) sustitucion (P3 e1 e2) ps = P3 (sustitucion e1 ps) (sustitucion e2 ps) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.4. Definir la función -- reducible :: Expr3 -> Bool -- tal que (reducible a) se verifica si a es una expresión reducible; es -- decir, contiene una operación en la que los dos operandos son números. -- Por ejemplo, -- reducible (S3 (C3 3) (C3 4)) == True -- reducible (S3 (C3 3) (V3 'x')) == False -- reducible (S3 (C3 3) (P3 (C3 4) (C3 5))) == True -- reducible (S3 (V3 'x') (P3 (C3 4) (C3 5))) == True -- reducible (S3 (C3 3) (P3 (V3 'x') (C3 5))) == False -- reducible (C3 3) == False -- reducible (V3 'x') == False -- --------------------------------------------------------------------- reducible :: Expr3 -> Bool reducible (C3 _) = False reducible (V3 _) = False reducible (S3 (C3 _) (C3 _)) = True reducible (S3 a b) = reducible a || reducible b reducible (P3 (C3 _) (C3 _)) = True reducible (P3 a b) = reducible a || reducible b -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. Las expresiones aritméticas generales se pueden definir -- usando el siguiente tipo de datos -- data Expr4 = C4 Int -- | Y -- | S4 Expr4 Expr4 -- | R4 Expr4 Expr4 -- | P4 Expr4 Expr4 -- | E4 Expr4 Int -- deriving (Eq, Show) -- Por ejemplo, la expresión -- 3*x - (x+2)^7 -- se puede definir por -- R4 (P4 (C4 3) Y) (E4 (S4 Y (C4 2)) 7) -- -- Definir la función -- maximo :: Expr4 -> [Int] -> (Int,[Int]) -- tal que (maximo e xs) es el par formado por el máximo valor de la -- expresión e para los puntos de xs y en qué puntos alcanza el -- máximo. Por ejemplo, -- ghci> maximo (E4 (S4 (C4 10) (P4 (R4 (C4 1) Y) Y)) 2) [-3..3] -- (100,[0,1]) -- --------------------------------------------------------------------- data Expr4 = C4 Int | Y | S4 Expr4 Expr4 | R4 Expr4 Expr4 | P4 Expr4 Expr4 | E4 Expr4 Int deriving (Eq, Show) maximo :: Expr4 -> [Int] -> (Int,[Int]) maximo e ns = (m,[n | n <- ns, valor e n == m]) where m = maximum [valor e n | n <- ns] valor :: Expr4 -> Int -> Int valor (C4 x) _ = x valor Y n = n valor (S4 e1 e2) n = (valor e1 n) + (valor e2 n) valor (R4 e1 e2) n = (valor e1 n) - (valor e2 n) valor (P4 e1 e2) n = (valor e1 n) * (valor e2 n) valor (E4 e m ) n = (valor e n)^m -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Las operaciones de suma, resta y multiplicación se -- pueden representar mediante el siguiente tipo de datos -- data Op = Su | Re | Mu -- La expresiones aritméticas con dichas operaciones se pueden -- representar mediante el siguiente tipo de dato algebraico -- data Expr5 = C5 Int -- | A Op Expr5 Expr -- Por ejemplo, la expresión -- (7-3)+(2*5) -- se representa por -- A Su (A Re (C5 7) (C5 3)) (A Mu (C5 2) (C5 5)) -- -- Definir la función -- valorEG :: Expr5 -> Int -- tal que (valorEG e) es el valorEG de la expresión e. Por ejemplo, -- valorEG (A Su (A Re (C5 7) (C5 3)) (A Mu (C5 2) (C5 5))) == 14 -- valorEG (A Mu (A Re (C5 7) (C5 3)) (A Su (C5 2) (C5 5))) == 28 -- --------------------------------------------------------------------- data Op = Su | Re | Mu data Expr5 = C5 Int | A Op Expr5 Expr5 valorEG :: Expr5 -> Int valorEG (C5 x) = x valorEG (A o e1 e2) = aplica o (valorEG e1) (valorEG e2) where aplica :: Op -> Int -> Int -> Int aplica Su x y = x+y aplica Re x y = x-y aplica Mu x y = x*y -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. Se consideran las expresiones vectoriales formadas por -- un vector, la suma de dos expresiones vectoriales o el producto de un -- entero por una expresión vectorial. El siguiente tipo de dato define -- las expresiones vectoriales -- data ExpV = Vec Int Int -- | Sum ExpV ExpV -- | Mul Int ExpV -- deriving Show -- -- Definir la función -- valorEV :: ExpV -> (Int,Int) -- tal que (valorEV e) es el valorEV de la expresión vectorial c. Por -- ejemplo, -- valorEV (Vec 1 2) == (1,2) -- valorEV (Sum (Vec 1 2 ) (Vec 3 4)) == (4,6) -- valorEV (Mul 2 (Vec 3 4)) == (6,8) -- valorEV (Mul 2 (Sum (Vec 1 2 ) (Vec 3 4))) == (8,12) -- valorEV (Sum (Mul 2 (Vec 1 2)) (Mul 2 (Vec 3 4))) == (8,12) -- --------------------------------------------------------------------- data ExpV = Vec Int Int | Sum ExpV ExpV | Mul Int ExpV deriving Show -- 1ª solución -- =========== valorEV :: ExpV -> (Int,Int) valorEV (Vec x y) = (x,y) valorEV (Sum e1 e2) = (x1+x2,y1+y2) where (x1,y1) = valorEV e1 (x2,y2) = valorEV e2 valorEV (Mul n e) = (n*x,n*y) where (x,y) = valorEV e -- 2ª solución -- =========== valorEV2 :: ExpV -> (Int,Int) valorEV2 (Vec a b) = (a, b) valorEV2 (Sum e1 e2) = suma (valorEV2 e1) (valorEV2 e2) valorEV2 (Mul n e1) = multiplica n (valorEV2 e1) suma :: (Int,Int) -> (Int,Int) -> (Int,Int) suma (a,b) (c,d) = (a+c,b+d) multiplica :: Int -> (Int, Int) -> (Int, Int) multiplica n (a,b) = (n*a,n*b) |
El código correspondiente se encuentra en GitHub.