RA2014: Verificación de la ordenación por mezcla con Isabelle/HOL
En la segunda parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado cómo demostrar la corrección del algoritmo de ordenación por mezcla.
La correspondiente teoría Isabelle/HOL se muestra a continuación
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header {* T5b: Verificación de la ordenación por mezcla *} theory T5b imports Main begin text {* En esta relación de ejercicios se define el algoritmo de ordenación de listas por mezcla y se demuestra que es correcto. *} text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Definir la función menor :: int ⇒ int list ⇒ bool tal que (menor a xs) se verifica si a es menor o igual que todos los elementos de xs.Por ejemplo, menor 2 [3,2,5] = True menor 2 [3,0,5] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun menor :: "int ⇒ int list ⇒ bool" where "menor a [] = True" | "menor a (x#xs) = (a ≤ x ∧ menor a xs)" value "menor 2 [3,2,5]" -- "= True" value "menor 2 [3,0,5]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Definir la función ordenada :: int list ⇒ bool tal que (ordenada xs) se verifica si xs es una lista ordenada de manera creciente. Por ejemplo, ordenada [2,3,3,5] = True ordenada [2,4,3,5] = False ------------------------------------------------------------------ *} fun ordenada :: "int list ⇒ bool" where "ordenada [] = True" | "ordenada (x#xs) = (menor x xs & ordenada xs)" value "ordenada [2,3,3,5]" -- "= True" value "ordenada [2,4,3,5]" -- "= False" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Definir la función cuenta :: int list => int => nat tal que (cuenta xs y) es el número de veces que aparece el elemento y en la lista xs. Por ejemplo, cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2 ------------------------------------------------------------------ *} fun cuenta :: "int list => int => nat" where "cuenta [] y = 0" | "cuenta (x#xs) y = (if x=y then Suc(cuenta xs y) else cuenta xs y)" value "cuenta [1,3,4,3,5] 3" -- "= 2" section {* Ordenación por mezcla *} text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. Definir la función mezcla :: int list ⇒ int list ⇒ int list tal que (mezcla xs ys) es la lista obtenida mezclando las listas ordenadas xs e ys. Por ejemplo, mezcla [1,2,5] [3,5,7] = [1,2,3,5,5,7] ------------------------------------------------------------------ *} fun mezcla :: "int list ⇒ int list ⇒ int list" where "mezcla [] ys = ys" | "mezcla xs [] = xs" | "mezcla (x # xs) (y # ys) = (if x ≤ y then x # mezcla xs (y # ys) else y # mezcla (x # xs) ys)" value "mezcla [1,2,5] [3,5,7]" -- "= [1,2,3,5,5,7]" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 5. Definir la función ordenaM :: int list ⇒ int list tal que (ordenaM xs) es la lista obtenida ordenando la lista xs mediante mezclas; es decir, la divide en dos mitades, las ordena y las mezcla. Por ejemplo, ordenaM [3,2,5,2] = [2,2,3,5] ------------------------------------------------------------------ *} fun ordenaM :: "int list ⇒ int list" where "ordenaM [] = []" | "ordenaM [x] = [x]" | "ordenaM xs = (let mitad = length xs div 2 in mezcla (ordenaM (take mitad xs)) (ordenaM (drop mitad xs)))" value "ordenaM [3,2,5,2]" -- "= [2,2,3,5]" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 6. Sea x ≤ y. Si y es menor o igual que todos los elementos de xs, entonces x es menor o igual que todos los elementos de xs ------------------------------------------------------------------ *} lemma menor_menor: "x ≤ y ⟹ menor y xs ⟶ menor x xs" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 7. Demostrar que el número de veces que aparece n en la mezcla de dos listas es igual a la suma del número de apariciones en cada una de las listas ------------------------------------------------------------------ *} lemma cuenta_mezcla: "cuenta (mezcla xs ys) n = cuenta xs n + cuenta ys n" by (induct xs ys rule: mezcla.induct) auto text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 8. Demostrar que si x es menor que todos los elementos de ys y de zs, entonces también lo es de su mezcla. ------------------------------------------------------------------ *} lemma menor_mezcla: assumes "menor x ys" "menor x zs" shows "menor x (mezcla ys zs)" using assms by (induct ys zs rule: mezcla.induct) simp_all text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 9. Demostrar que la mezcla de dos listas ordenadas es una lista ordenada. Indicación: Usar los siguientes lemas · linorder_not_le: (¬ x ≤ y) = (y < x) · order_less_le: (x < y) = (x ≤ y ∧ x ≠ y) ------------------------------------------------------------------ *} lemma ordenada_mezcla: assumes "ordenada xs" "ordenada ys" shows "ordenada (mezcla xs ys)" using assms by (induct xs ys rule: mezcla.induct) (auto simp add: menor_mezcla menor_menor linorder_not_le order_less_le) text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 10. Demostrar que si x es mayor que 1, entonces el mínimo de x y su mitad es menor que x. Indicación: Usar los siguientes lemas · min_def: min a b = (if a ≤ b then a else b) · linorder_not_le: (¬ x ≤ y) = (y < x) ------------------------------------------------------------------ *} lemma min_mitad: "1 < x ⟹ min x (x div 2::int) < x" by (simp add: min_def linorder_not_le) text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 11. Demostrar que si x es mayor que 1, entonces x menos su mitad es menor que x. ------------------------------------------------------------------ *} lemma menos_mitad: "1 < x ⟹ x - x div (2::int) < x" by arith text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 11. Demostrar que (ordenaM xs) está ordenada. ------------------------------------------------------------------ *} theorem ordenada_ordenaM: "ordenada (ordenaM xs)" by (induct xs rule: ordenaM.induct) (auto simp add: ordenada_mezcla) text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 12. Demostrar que el número de apariciones de un elemento en la concatenación de dos listas es la suma del número de apariciones en cada una. ------------------------------------------------------------------ *} lemma cuenta_conc: "cuenta (xs @ ys) x = cuenta xs x + cuenta ys x" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 13. Demostrar que las listas xs y (ordenaM xs) tienen los mismos elementos. ------------------------------------------------------------------ *} theorem cuenta_ordenaM: "cuenta (ordenaM xs) x = cuenta xs x" by (induct xs rule: ordenaM.induct) (auto simp add: cuenta_mezcla cuenta_conc [symmetric]) end |