RA2014: Razonamiento sobre tipos recursivos en Isabelle/HOL
En la tercera parte de la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha estudiado
- cómo definir árboles binarios en Isabelle/HOL y cómo demostrar sus propiedades,
- cómo definir y razonar con funciones recursivas que no son primitivas recursivas y
- cómo definir y razonar con tipos de datos mutuamente recursivos.
La correspondiente teoría Isabelle/HOL se muestra a continuación
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theory T4b imports Main begin text {* Ejemplo de definición de tipos recursivos: Definir un tipo de dato para los árboles binarios. *} datatype 'a arbolB = Hoja "'a" | Nodo "'a" "'a arbolB" "'a arbolB" text {* Ejemplo de definición sobre árboles binarios: Definir la función "espejo" que aplicada a un árbol devuelve su imagen especular. *} fun espejo :: "'a arbolB ⇒ 'a arbolB" where "espejo (Hoja x) = (Hoja x)" | "espejo (Nodo x i d) = (Nodo x (espejo d) (espejo i))" value "espejo (Nodo a (Nodo b (Hoja c) (Hoja d)) (Hoja e))" -- "= Nodo a (Hoja e) (Nodo b (Hoja d) (Hoja c))" text {* Ejemplo de demostración sobre árboles binarios: Demostrar que la función "espejo" es involutiva; es decir, para cualquier árbol a, se tiene que espejo(espejo(a)) = a. *} -- "La demostración estructurada es" lemma espejo_involutiva: fixes a :: "'b arbolB" shows "espejo (espejo a) = a" (is "?P a") proof (induct a) fix x show "?P (Hoja x)" by simp next fix x fix i assume h1: "?P i" fix d assume h2: "?P d" show "?P (Nodo x i d)" proof - have "espejo(espejo(Nodo x i d)) = espejo(Nodo x (espejo d) (espejo i))" by simp also have "… = Nodo x (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))" by simp also have "… = Nodo x i d" using h1 h2 by simp finally show ?thesis . qed qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (fixes a :: "'b arbolB") es una abreviatura de "sea a1 un árbol binario cuyos elementos son de tipo b". · (induct a) indica que el método de demostración es por inducción en el árbol binario a. · Se generan dos casos: 1. ⋀a. espejo (espejo (Hoja a)) = Hoja a 2. ⋀a1 a2 a3. ⟦espejo (espejo a2) = a2; espejo (espejo a3) = a3⟧ ⟹ espejo (espejo (Nodo a1 a2 a3)) = Nodo a1 a2 a3 *} -- "La demostración automática es" lemma espejo_involutiva_1: "espejo (espejo a ) = a" by (induct a) auto text {* Ejemplo. [Aplanamiento de árboles] Definir la función "aplana" que aplane los árboles recorriéndolos en orden infijo. *} fun aplana :: "'a arbolB ⇒ 'a list" where "aplana (Hoja x) = [x]" | "aplana (Nodo x i d) = (aplana i) @ [x] @ (aplana d)" value "aplana (Nodo a (Nodo b (Hoja c) (Hoja d)) (Hoja e))" -- "= [c, b, d, a, e]" text {* Ejemplo. [Aplanamiento de la imagen especular] Demostrar que aplana (espejo a) = rev (aplana a) *} -- "La demostración estructurada es" lemma fixes a :: "'b arbolB" shows "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" (is "?P a") proof (induct a) fix x show "?P (Hoja x)" by simp next fix x fix i assume h1: "?P i" fix d assume h2: "?P d" show "?P (Nodo x i d)" proof - have "aplana (espejo (Nodo x i d)) = aplana (Nodo x (espejo d) (espejo i))" by simp also have "… = (aplana(espejo d))@[x]@(aplana(espejo i))" by simp also have "… = (rev(aplana d))@[x]@(rev(aplana i))" using h1 h2 by simp also have "… = rev((aplana i)@[x]@(aplana d))" by simp also have "… = rev(aplana (Nodo x i d))" by simp finally show ?thesis . qed qed -- "La demostración automática es" lemma "aplana (espejo a) = rev (aplana a)" by (induct a) auto section {* Heurísticas para la inducción *} text {* Definición. [Definición recursiva de inversa] (inversa xs) la inversa de la lista xs. Por ejemplo, inversa [a,b,c] = [c,b,a] *} fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversa [] = []" | "inversa (x#xs) = (inversa xs) @ [x]" value "inversa [a,b,c]" text {* Definición. [Definición de inversa con acumuladores] (inversaAc xs) es la inversa de la lista xs calculada con acumuladores. Por ejemplo, inversaAc [a,b,c] = [c,b,a] inversaAcAux [a,b,c] [] = [c,b,a] *} fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where "inversaAcAux [] ys = ys" | "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)" definition inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where "inversaAc xs ≡ inversaAcAux xs []" value "inversaAcAux [a,b,c] []" value "inversaAc [a,b,c]" text {* Lema. [Ejemplo de equivalencia entre las definiciones] La inversa de [a,b,c] es lo mismo calculada con la primera definición que con la segunda. *} lemma "inversaAc [a,b,c] = inversa [a,b,c]" by (simp add: inversaAc_def) text {* Nota. [Ejemplo fallido de demostración por inducción] El siguiente intento de demostrar que para cualquier lista xs, se tiene que "inversaAc xs = inversa xs" falla. *} lemma "inversaAc xs = inversa xs" proof (induct xs) show "inversaAc [] = inversa []" by (simp add: inversaAc_def) next fix a xs assume HI: "inversaAc xs = inversa xs" have "inversaAc (a#xs) = inversaAcAux (a#xs) []" by (simp add: inversaAc_def) also have "… = inversaAcAux xs [a]" by simp also have "… = inversa (a#xs)" -- "Problema: la hipótesis de inducción no es aplicable." oops text {* Nota. [Heurística de generalización] Cuando se use demostración estructural, cuantificar universalmente las variables libres (o, equivalentemente, considerar las variables libres como variables arbitrarias). Lema. [Lema con generalización] Para toda lista ys se tiene inversaAcAux xs ys = (inversa xs) @ ys *} -- "La demostración estructurada es" lemma inversaAcAux_es_inversa: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" proof (induct xs arbitrary: ys) show "⋀ys. inversaAcAux [] ys = (inversa [])@ys" by simp next fix a xs assume HI: "⋀ys. inversaAcAux xs ys = inversa xs@ys" show "⋀ys. inversaAcAux (a#xs) ys = inversa (a#xs)@ys" proof - fix ys have "inversaAcAux (a#xs) ys = inversaAcAux xs (a#ys)" by simp also have "… = inversa xs@(a#ys)" using HI by simp also have "… = inversa (a#xs)@ys" using [[simp_trace]] by simp finally show "inversaAcAux (a#xs) ys = inversa (a#xs)@ys" by simp qed qed -- "La demostración automática es" lemma inversaAcAux_es_inversa_1: "inversaAcAux xs ys = (inversa xs)@ys" by (induct xs arbitrary: ys) auto text {* Corolario. Para cualquier lista xs, se tiene que inversaAc xs = inversa xs *} corollary "inversaAc xs = inversa xs" by (simp add: inversaAcAux_es_inversa inversaAc_def) text {* Nota. En el paso "inversa xs@(a#ys) = inversa (a#xs)@ys" se usan lemas de la teoría List. Se puede observar, insertano using [[simp_trace]] entre la igualdad y by simp, que los lemas usados son · List.append_simps_1: []@ys = ys · List.append_simps_2: (x#xs)@ys = x#(xs@ys) · List.append_assoc: (xs @ ys) @ zs = xs @ (ys @ zs) Las dos primeras son las ecuaciones de la definición de append. En la siguiente demostración se detallan los lemas utilizados. *} lemma "(inversa xs)@(a#ys) = (inversa (a#xs))@ys" proof - have "(inversa xs)@(a#ys) = (inversa xs)@(a#([]@ys))" by (simp only: append.simps(1)) also have "… = (inversa xs)@([a]@ys)" by (simp only: append.simps(2)) also have "… = ((inversa xs)@[a])@ys" by (simp only: append_assoc) also have "… = (inversa (a#xs))@ys" by (simp only: inversa.simps(2)) finally show ?thesis . qed section {* Recursión general. La función de Ackermann *} text {* El objetivo de esta sección es mostrar el uso de las definiciones recursivas generales y sus esquemas de inducción. Como ejemplo se usa la función de Ackermann (se puede consultar información sobre dicha función en http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function). Definición. La función de Ackermann se define por A(m,n) = n+1, si m=0, A(m-1,1), si m>0 y n=0, A(m-1,A(m,n-1)), si m>0 y n>0 para todo los números naturales. La función de Ackermann es recursiva, pero no es primitiva recursiva. *} fun ack :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where "ack 0 n = n+1" | "ack (Suc m) 0 = ack m 1" | "ack (Suc m) (Suc n) = ack m (ack (Suc m) n)" -- "Ejemplo de evaluación" value "ack 2 3" (* devuelve 9 *) text {* Esquema de inducción correspondiente a una función: · Al definir una función recursiva general se genera una regla de inducción. En la definición anterior, la regla generada es ack.induct: ⟦⋀n. P 0 n; ⋀m. P m 1 ⟹ P (Suc m) 0; ⋀m n. ⟦P (Suc m) n; P m (ack (Suc m) n)⟧ ⟹ P (Suc m) (Suc n)⟧ ⟹ P a b *} text {* Ejemplo de demostración por la inducción correspondiente a una función: Demostrar que para todos m y n, A(m,n) > n. *} -- "La demostración detallada es" lemma "ack m n > n" proof (induct m n rule: ack.induct) fix n show "ack 0 n > n" by simp next fix m assume "ack m 1 > 1" then show "ack (Suc m) 0 > 0" by simp next fix m n assume "n < ack (Suc m) n" and "ack (Suc m) n < ack m (ack (Suc m) n)" then show "Suc n < ack (Suc m) (Suc n)" by simp qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (induct m n rule: ack.induct) indica que el método de demostración es el esquema de recursión correspondiente a la definición de (ack m n). · Se generan 3 casos: 1. ⋀n. n < ack 0 n 2. ⋀m. 1 < ack m 1 ⟹ 0 < ack (Suc m) 0 3. ⋀m n. ⟦n < ack (Suc m) n; ack (Suc m) n < ack m (ack (Suc m) n)⟧ ⟹ Suc n < ack (Suc m) (Suc n) *} -- "La demostración automática es" lemma "ack m n > n" by (induct m n rule: ack.induct) auto section {* Recursión mutua e inducción *} text {* Nota. [Ejemplo de definición de tipos mediante recursión cruzada] · Un árbol de tipo a es una hoja o un nodo de tipo a junto con un bosque de tipo a. · Un bosque de tipo a es el boque vacío o un bosque contruido añadiendo un árbol de tipo a a un bosque de tipo a. *} datatype 'a arbol = Hoja | Nodo "'a" "'a bosque" and 'a bosque = Vacio | ConsB "'a arbol" "'a bosque" text {* Regla de inducción correspondiente a la recursión cruzada: La regla de inducción sobre árboles y bosques es arbol_bosque.induct: ⟦P1 Hoja; ⋀x b. P2 b ⟹ P1 (Nodo x b); P2 Vacio; ⋀a b. ⟦P1 a; P2 b⟧ ⟹ P2 (ConsB a b)⟧ ⟹ P1 a ∧ P2 b *} text {* Ejemplos de definición por recursión cruzada: · aplana_arbol a) es la lista obtenida aplanando el árbol a. · (aplana_bosque b) es la lista obtenida aplanando el bosque b. · (map_arbol a h) es el árbol obtenido aplicando la función h a todos los nodos del árbol a. · (map_bosque b h) es el bosque obtenido aplicando la función h a todos los nodos del bosque b. *} fun aplana_arbol :: "'a arbol ⇒ 'a list" and aplana_bosque :: "'a bosque ⇒ 'a list" where "aplana_arbol Hoja = []" | "aplana_arbol (Nodo x b) = x#(aplana_bosque b)" | "aplana_bosque Vacio = []" | "aplana_bosque (ConsB a b) = (aplana_arbol a) @ (aplana_bosque b)" fun map_arbol :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a arbol ⇒ 'b arbol" and map_bosque :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a bosque ⇒ 'b bosque" where "map_arbol f Hoja = Hoja" | "map_arbol f (Nodo x b) = Nodo (f x) (map_bosque f b)" | "map_bosque f Vacio = Vacio" | "map_bosque f (ConsB a b) = ConsB (map_arbol f a) (map_bosque f b)" text {* Ejemplo de demostración por inducción cruzada: Demostrar que: · aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) · aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b) *} -- "La demostración detallada es" lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" proof (induct_tac a and b) show "aplana_arbol (map_arbol f Hoja ) = map f (aplana_arbol Hoja)" by simp next fix x b assume HI: "aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" have "aplana_arbol (map_arbol f (Nodo x b)) = aplana_arbol (Nodo (f x) (map_bosque f b))" by simp also have "… = (f x)#(aplana_bosque (map_bosque f b))" by simp also have "… = (f x)#(map f (aplana_bosque b))" using HI by simp also have "… = map f (aplana_arbol (Nodo x b))" by simp finally show "aplana_arbol (map_arbol f (Nodo x b)) = map f (aplana_arbol (Nodo x b))" . next show "aplana_bosque (map_bosque f Vacio) = map f (aplana_bosque Vacio)" by simp next fix a b assume HI1: "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a)" and HI2: "aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" have "aplana_bosque (map_bosque f (ConsB a b)) = aplana_bosque (ConsB (map_arbol f a) (map_bosque f b))" by simp also have "… = aplana_arbol(map_arbol f a)@aplana_bosque(map_bosque f b)" by simp also have "… = (map f (aplana_arbol a))@(map f (aplana_bosque b))" using HI1 HI2 by simp also have "… = map f (aplana_bosque (ConsB a b))" by simp finally show "aplana_bosque (map_bosque f (ConsB a b)) = map f (aplana_bosque (ConsB a b))" by simp qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (induct_tac a and b) indica que el método de demostración es por inducción cruzada sobre a y b. · Se generan 4 casos: 1. aplana_arbol (map_arbol arbol.Hoja h) = map h (aplana_arbol arbol.Hoja) 2. ⋀a bosque. aplana_bosque (map_bosque bosque h) = map h (aplana_bosque bosque) ⟹ aplana_arbol (map_arbol (arbol.Nodo a bosque) h) = map h (aplana_arbol (arbol.Nodo a bosque)) 3. aplana_bosque (map_bosque Vacio h) = map h (aplana_bosque Vacio) 4. ⋀arbol bosque. ⟦aplana_arbol (map_arbol arbol h) = map h (aplana_arbol arbol); aplana_bosque (map_bosque bosque h) = map h (aplana_bosque bosque)⟧ ⟹ aplana_bosque (map_bosque (ConsB arbol bosque) h) = map h (aplana_bosque (ConsB arbol bosque)) *} -- "La demostración automática es" lemma "aplana_arbol (map_arbol f a) = map f (aplana_arbol a) ∧ aplana_bosque (map_bosque f b) = map f (aplana_bosque b)" by (induct_tac a and b) auto end |