RA2013: Razonamiento por casos y por inducción (1)
La clase de hoy del curso de Razonamiento automático ha tenido dos partes: comentar las soluciones de los ejercicios de la relación 4 y empezar el estudio del tema 4.
En la relación 4 se define la función cons que añade un elemento al final de la lista y se demuestra algunas de sus propiedades. Lo interesante es el uso de algunas propiedades en la demostración de otras (como en el ejercicio 5). Las ejercicios y sus soluciones son
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header {* R4: Cons inverso *} theory R4 imports Main begin text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 1. Definir recursivamente la función snoc :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" tal que (snoc xs a) es la lista obtenida al añadir el elemento a al final de la lista xs. Por ejemplo, value "snoc [2,5] (3::int)" == [2,5,3] Nota: No usar @. --------------------------------------------------------------------- *} fun snoc :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where "snoc [] a = [a]" | "snoc (x#xs) a = x # (snoc xs a)" text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 2. Demostrar automáticamente el siguiente teorema snoc xs a = xs @ [a] --------------------------------------------------------------------- *} lemma "snoc xs a = xs @ [a]" by (induct xs) auto text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 3. Demostrar detalladamente el siguiente teorema snoc xs a = xs @ [a] --------------------------------------------------------------------- *} lemma snoc_append: "snoc xs a = xs @ [a]" proof (induct "xs") show "snoc [] a = [] @ [a]" proof - have "snoc [] a = [a]" by simp also have "… = [] @ [a]" by simp finally show "snoc [] a = [] @ [a]" . qed next fix b xs assume HI: "snoc xs a = xs @ [a]" show "snoc (b # xs) a = (b # xs) @ [a]" proof - have "snoc (b # xs) a = b # (snoc xs a)" by simp also have "… = b # (xs @ [a])" using HI by simp also have "… = (b # xs) @ [a]" by simp finally show "snoc (b # xs) a = (b # xs) @ [a]" . qed qed text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 4. Demostrar automáticamente el siguiente lema rev (x # xs) = snoc (rev xs) x" --------------------------------------------------------------------- *} lemma "rev (x # xs) = snoc (rev xs) x" by (auto simp add: snoc_append) text {* --------------------------------------------------------------------- Ejercicio 5. Demostrar detalladamente el siguiente lema rev (x # xs) = snoc (rev xs) x" --------------------------------------------------------------------- *} theorem "rev (x # xs) = snoc (rev xs) x" proof - have "rev (x # xs) = (rev xs) @ [x]" by simp also have "… = snoc (rev xs) x" by (simp add:snoc_append) finally show "rev (x # xs) = snoc (rev xs) x" . qed end |
En la segunda parte hememos profundizado en el estudio de las demostraciones por casos y por inducción. En concreto, se ha estudiado
- el razonamiento por casos booleanos,
- el razonamiento por casos booleanos sobre una variable,
- el razonamiento por casos sobre listas,
- el razonamiento por inducción sobre números naturales con patrones,
- el razonamiento sobre definiciones con existenciales,
- el uso de librerías auxiliares (como Parity) y
- el uso de otros métodos de domtración (como presburg).
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 |
header {* Tema 4: Razonamiento por casos y por inducción *} theory T4_Razonamiento_por_casos_y_por_induccion imports Main Parity begin text {* En este tema se amplían los métodos de demostración por casos y por inducción iniciados en el tema anterior. *} section {* Razonamiento por distinción de casos *} subsection {* Distinción de casos booleanos *} text {* Ejemplo de demostración por distinción de casos booleanos: Demostrar "¬A ∨ A". *} -- "La demostración estructurada es" lemma "¬A ∨ A" proof cases assume "A" then show "¬A ∨ A" .. next assume "¬A" then show "¬A ∨ A" .. qed text {* Comentarios de la demostración anterior: · "proof cases" indica que el método de demostración será por distinción de casos. · Se generan 2 casos: 1. ?P ⟹ ¬A ∨ A 2. ¬?P ⟹ ¬A ∨ A donde ?P es una variable sobre las fórmulas. · (assume "A") indica que se está usando "A" en lugar de la variable ?P. · "then" indica usando la fórmula anterior. · ".." indica usando la regla lógica necesaria (las reglas lógicas se estudiarán en los siguientes temas). · "next" indica el siguiente caso (se puede observar cómo ha sustituido ¬?P por ¬A. *} -- "La demostración automática es" lemma "¬A ∨ A" by auto text {* Ejemplo de demostración por distinción de casos booleanos con nombres: Demostrar "¬A ∨ A". *} -- "La demostración estructurada es" lemma "¬A ∨ A" proof (cases "A") case True then show "¬A ∨ A" .. next case False thus "¬A ∨ A" .. qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (cases "A") indica que la demostración se hará por casos según los distintos valores de "A". · Como "A" es una fórmula, sus posibles valores son verdadero o falso. · "case True" indica que se está suponiendo que A es verdadera. Es equivalente a "assume A". · "case False" indica que se está suponiendo que A es falsa. Es equivalente a "assume ¬A". · En general, · el método (cases F) es una abreviatura de la aplicación de la regla ⟦F ⟹ Q; ¬F ⟹ Q⟧ ⟹ Q · La expresión "case True" es una abreviatura de F. · La expresión "case False" es una abreviatura de ¬F. · Ventajas de "cases" con nombre: · reduce la escritura de la fórmula y · es independiente del orden de los casos. *} subsection {* Distinción de casos sobre otros tipos de datos *} text {* Ejemplo de distinción de casos sobre listas: Demostrar que la longitud del resto de una lista es la longitud de la lista menos 1. *} -- "La demostración detallada es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) assume "xs = []" then show "length (tl xs) = length xs - 1" by simp next fix y ys assume "xs = y#ys" then show "length(tl xs) = length xs - 1" by simp qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · "(cases xs)" indica que la demostración se hará por casos sobre los posibles valores de xs. · Como xs es una lista, sus posibles valores son la lista vacía ([]) o una lista no vacía (de la forma (y#ys)). · Se generan 2 casos: 1. xs = [] ⟹ length (tl xs) = length xs - 1 2. ⋀a list. xs = a # list ⟹ length (tl xs) = length xs - 1 *} -- "La demostración simplificada es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" proof (cases xs) case Nil then show ?thesis by simp next case Cons then show ?thesis by simp qed text {* Comentarios sobre la dmostración anterior: · "case Nil" es una abreviatura de "assume xs =[]". · "case Cons" es una abreviatura de "fix y ys assume xs = y#ys" · ?thesis es una abreviatura de la conclusión del lema. *} -- "La demostración automática es" lemma "length (tl xs) = length xs - 1" by auto text {* Een el siguiente ejemplo vamos a demostrar una propiedad de la función drop que está definida en la teoría List de forma que (drop n xs) la lista obtenida eliminando en xs} los n primeros elementos. Su definición es la siguiente drop_Nil: "drop n [] = []" drop_Cons: "drop n (x#xs) = (case n of 0 => x#xs | Suc(m) => drop m xs)" *} text {* Ejemplo de análisis de casos: Demostrar que el resultado de eliminar los n+1 primeros elementos de xs es el mismo que eliminar los n primeros elementos del resto de xs. *} -- "La demostración detallada es" lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" proof (cases xs) case Nil then show ?thesis by simp next case Cons then show ?thesis by simp qed -- "La demostración automática es" lemma "drop (n + 1) xs = drop n (tl xs)" by (cases xs) auto section {* Inducción matemática *} text {* [Principio de inducción matemática] Para demostrar una propiedad P para todos los números naturales basta probar que el 0 tiene la propiedad P y que si n tiene la propiedad P, entonces n+1 también la tiene. ⟦P 0; ⋀n. P n ⟹ P (Suc n)⟧ ⟹ P m En Isabelle el principio de inducción matemática está formalizado en el teorema nat.induct y puede verse con thm nat.induct *} text {* Ejemplo de demostración por inducción: Usaremos el principio de inducción matemática para demostrar que 1 + 3 + ... + (2n-1) = n^2 Definición. [Suma de los primeros impares] (suma_impares n) la suma de los n números impares. Por ejemplo, suma_impares 3 = 9 *} fun suma_impares :: "nat ⇒ nat" where "suma_impares 0 = 0" | "suma_impares (Suc n) = (2*(Suc n) - 1) + suma_impares n" value "suma_impares 3" text {* Ejemplo de demostración por inducción matemática: Demostrar que la suma de los n primeros números impares es n^2. *} -- "Demostración del lema anterior por inducción y razonamiento ecuacional" lemma "suma_impares n = n * n" proof (induct n) show "suma_impares 0 = 0 * 0" by simp next fix n assume HI: "suma_impares n = n * n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" by simp qed -- "Demostración del lema anterior con patrones y razonamiento ecuacional" lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume HI: "?P n" have "suma_impares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + suma_impares n" by simp also have "… = (2 * (Suc n) - 1) + n * n" using HI by simp also have "… = n * n + 2 * n + 1" by simp finally show "?P (Suc n)" by simp qed text {* Comentario sobre la demostración anterior: · Con la expresión "suma_impares n = n * n" (is "?P n") se abrevia "suma_impares n = n * n" como "?P n". Por tanto, "?P 0" es una abreviatura de "suma_impares 0 = 0 * 0" "?P (Suc n)" es una abreviatura de "suma_impares (Suc n) = (Suc n) * (Suc n)" · En general, cualquier fórmula seguida de (is patrón) equipara el patrón con la fórmula. *} -- "La demostración usando patrones es" lemma "suma_impares n = n * n" (is "?P n") proof (induct n) show "?P 0" by simp next fix n assume "?P n" then show "?P (Suc n)" by simp qed -- "La demostración automática es" lemma "suma_impares n = n * n" by (induct n) auto text {* Ejemplo de definición con existenciales. Un número natural n es par si existe un natural m tal que n=m+m. *} definition par :: "nat ⇒ bool" where "par n ≡ ∃m. n=m+m" text {* Ejemplo de inducción y existenciales: Demostrar que para todo número natural n, se verifica que n*(n+1) par. *} -- "Demostración detallada por inducción" lemma fixes n :: "nat" shows "par (n*(n+1))" proof (induct n) show "par (0*(0+1))" by (simp add: par_def) next fix n assume "par (n*(n+1))" then have "∃m. n*(n+1) = m+m" by (simp add:par_def) then obtain m where m: "n*(n+1) = m+m" .. then have "(Suc n)*((Suc n)+1) = (m+n+1)+(m+n+1)" by auto then have "∃m. (Suc n)*((Suc n)+1) = m+m" .. then show "par ((Suc n)*((Suc n)+1))" by (simp add:par_def) qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · (fixes n :: "nat") es una abreviatura de "sea n un número natural". *} text {* En Isabelle puede demostrarse de manera más simple un lema equivalente usando en lugar de la función "par" la función "even" definida en la teoría Parity por even x ⟷ x mod 2 = 0" *} lemma fixes n :: "nat" shows "even (n*(n+1))" by auto text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · Para poder usar la función "even" de la librería Parity es necesario importar dicha librería. Por ello, anter del inicio de la teoría aparece imports Main Parity *} text {* Para completar la demostración basta demostrar la equivalencia de las funciones "par" y "even". *} lemma fixes n :: "nat" shows "par n = even n" proof - have "par n = (∃m. n = m+m)" by (simp add:par_def) then show "par n = even n" by presburger qed text {* Comentarios sobre la demostración anterior: · "by presburger" indica que se use como método de demostración el algoritmo de decisión de la aritmética de Presburger. *} end |
Como tarea para la próxima clase se propuso la resolución de los ejercicios de la relación 5.