I1M2013: Ejercicios de definiciones por comprensión (1)
En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se han comentado las soluciones de los 7 primeros ejercicios de la 4ª relación sobre definiciones por comprensión.
Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por -- comprensión correspondientes al tema 5 cuyas transparencias se -- encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-13/temas/tema-5.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir, por comprensión, la función sumaDeCuadrados -- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los -- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Por ejemplo, -- sumaDeCuadrados 3 == 14 -- sumaDeCuadrados 100 == 338350 -- --------------------------------------------------------------------- sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir por comprensión la función replica tal que -- (replica n x) es la lista formada por n copias del elemento x. Por -- ejemplo, -- replica 4 7 == [7,7,7,7] -- replica 3 True == [True, True, True] -- Nota: La función replica es equivalente a la predefinida replicate. -- --------------------------------------------------------------------- replica n x = [x | _ <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.1. Definir la función suma tal (suma n) es la suma de los -- n primeros números. Por ejemplo, -- suma 3 == 6 -- --------------------------------------------------------------------- suma n = sum [1..n] -- Otra definición más eficiente es suma2 n = (1+n)*n `div` 2 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.2. Los triángulo aritmético se forman como sigue -- 1 -- 2 3 -- 4 5 6 -- 7 8 9 10 -- 11 12 13 14 15 -- 16 16 18 19 20 21 -- Definir la función linea tal que (linea n) es la línea n-ésima de los -- triángulos aritméticos. Por ejemplo, -- linea 4 == [7,8,9,10] -- linea 5 == [11,12,13,14,15] -- --------------------------------------------------------------------- linea n = [suma (n-1)+1..suma n] -- La definición puede mejorarse linea2 n = [s+1..s+n] where s = suma (n-1) -- Una variante más eficiente es linea3 n = [s+1..s+n] where s = suma2 (n-1) -- La mejora de la eficiencia se puede observar como sigue: -- ghci> :set +s -- ghci> head (linea 1000000) -- 499999500001 -- (17.94 secs, 309207420 bytes) -- ghci> head (linea3 1000000) -- 499999500001 -- (0.01 secs, 525496 bytes) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3.3. Definir la función triangulo tal que (triangulo n) es -- el triángulo aritmético de altura n. Por ejemplo, -- triangulo 3 == [[1],[2,3],[4,5,6]] -- triangulo 4 == [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]] -- --------------------------------------------------------------------- triangulo n = [linea m | m <- [1..n]] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de -- sus factores, excluyendo el propio número. -- -- Definir por comprensión la función perfectos tal que (perfectos n) es -- la lista de todos los números perfectos menores que n. Por ejemplo, -- perfectos 500 == [6,28,496] -- Indicación: Usar la función factores del tema 5. -- --------------------------------------------------------------------- -- La función factores del tema es factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0] -- La definición es perfectos n = [x | x <- [1..n], sum (init (factores x)) == x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.1. Un número natural n se denomina abundante si es menor -- que la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 12 y 30 son -- abundantes pero 5 y 28 no lo son. -- -- Definir la función numeroAbundante tal que (numeroAbundante n) se -- verifica si n es un número abundante. Por ejemplo, -- numeroAbundante 5 == False -- numeroAbundante 12 == True -- numeroAbundante 28 == False -- numeroAbundante 30 == True -- --------------------------------------------------------------------- divisores n = [m | m <- [1..n-1], n `mod` m == 0] numeroAbundante n = n < sum (divisores n) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.2. Definir la función numerosAbundantesMenores tal que -- (numerosAbundantesMenores n) es la lista de números abundantes -- menores o iguales que n. Por ejemplo, -- numerosAbundantesMenores 50 == [12,18,20,24,30,36,40,42,48] -- --------------------------------------------------------------------- numerosAbundantesMenores n = [x | x <- [1..n], numeroAbundante x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.3. Definir la función todosPares tal que (todosPares n) -- se verifica si todos los números abundantes menores o iguales que n -- son pares. Por ejemplo, -- todosPares 10 == True -- todosPares 100 == True -- todosPares 1000 == False -- --------------------------------------------------------------------- todosPares n = and [even x | x <- numerosAbundantesMenores n] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5.4. Definir la constante primerAbundanteImpar que calcule -- el primer número natural abundante impar. Determinar el valor de -- dicho número. -- --------------------------------------------------------------------- primerAbundanteImpar = head [x | x <-[1..], numeroAbundante x, odd x] -- Su cálculo es -- ghci> primerAbundanteImpar -- 945 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6 (Problema 1 del proyecto Euler) Definir la función euler1 -- tal que (euler1 n) es la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores -- que n. Por ejemplo, -- euler1 10 == 23 -- -- Calcular la suma de todos los múltiplos de 3 ó 5 menores que 1000. -- --------------------------------------------------------------------- euler1 n = sum [x | x <- [1..n-1], multiplo x 3 || multiplo x 5] where multiplo x y = mod x y == 0 -- Cálculo: -- ghci> euler1 1000 -- 233168 -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función circulo tal que (circulo n) es el la -- cantidad de pares de números naturales (x,y) que se encuentran dentro -- del círculo de radio n. Por ejemplo, -- circulo 3 == 9 -- circulo 4 == 15 -- circulo 5 == 22 -- --------------------------------------------------------------------- circulo n = length [(x,y) | x <- [0..n], y <- [0..n], x^2+y^2 < n^2] -- La eficiencia puede mejorarse con circulo2 n = length [(x,y) | x <- [0..m], y <- [0..m], x^2+y^2 < n^2] where m = raizCuadradaEntera n -- (raizCuadradaEntera n) es la parte entera de la raíz cuadrada de -- n. Por ejemplo, -- raizCuadradaEntera 17 == 4 raizCuadradaEntera :: Int -> Int raizCuadradaEntera n = truncate (sqrt (fromIntegral n)) |