RA2012: Deducción natural en lógica proposicional con Isabelle/HOL (2)
En la clase de hoy del curso de Razonamiento automático se ha continuado la presentación de la deducción natural en lógica proposicional con Isabelle/HOL iniciada en la clase anterior.
La teoría con los ejemplos presentados en la clase es la siguiente:
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header {* Tema 1: Deducción natural proposicional con Isabelle/HOL *} theory T1 imports Main begin subsection {* Reglas de la disyunción *} text {* Las reglas de la introducción de la disyunción son · disjI1: P ⟹ P ∨ Q · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q La regla de elimación de la disyunción es · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R *} text {* Ejemplo 12 (p. 11). Demostrar p ∨ q ⊢ q ∨ p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_12_1: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" proof - have "p ∨ q" using assms by this moreover { assume 2: "p" have "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) } moreover { assume 3: "q" have "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) } ultimately show "q ∨ p" by (rule disjE) qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "moreover" para separar los bloques y · "ultimately" para unir los resultados de los bloques. *} -- "La demostración detallada con reglas implícitas es" lemma ejemplo_12_2: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" proof - note `p ∨ q` moreover { assume "p" hence "q ∨ p" .. } moreover { assume "q" hence "q ∨ p" .. } ultimately show "q ∨ p" .. qed text {* Nota sobre el lenguaje: En la demostración anterior se ha usado · "note" para copiar un hecho. *} -- "La demostración hacia atrás es" lemma ejemplo_12_3: assumes 1: "p ∨ q" shows "q ∨ p" using 1 proof (rule disjE) { assume 2: "p" show "q ∨ p" using 2 by (rule disjI2) } next { assume 3: "q" show "q ∨ p" using 3 by (rule disjI1) } qed -- "La demostración hacia atrás con reglas implícitas es" lemma ejemplo_12_4: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" using assms proof { assume "p" thus "q ∨ p" .. } next { assume "q" thus "q ∨ p" .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_12_5: assumes "p ∨ q" shows "q ∨ p" using assms by auto text {* Ejemplo 13. (p. 12) Demostrar q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_13_1: assumes 1: "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" proof (rule impI) assume 2: "p ∨ q" thus "p ∨ r" proof (rule disjE) { assume 3: "p" show "p ∨ r" using 3 by (rule disjI1) } next { assume 4: "q" have 5: "r" using 1 4 by (rule mp) show "p ∨ r" using 5 by (rule disjI2) } qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_13_2: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" proof assume "p ∨ q" thus "p ∨ r" proof { assume "p" thus "p ∨ r" .. } next { assume "q" have "r" using assms `q` .. thus "p ∨ r" .. } qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_13_3: assumes "q ⟶ r" shows "p ∨ q ⟶ p ∨ r" using assms by auto subsection {* Regla de copia *} text {* Ejemplo 14 (p. 13). Demostrar ⊢ p ⟶ (q ⟶ p) *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_14_1: "p ⟶ (q ⟶ p)" proof (rule impI) assume 1: "p" show "q ⟶ p" proof (rule impI) assume "q" show "p" using 1 by this qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_14_2: "p ⟶ (q ⟶ p)" proof assume "p" thus "q ⟶ p" .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_14_3: "p ⟶ (q ⟶ p)" by auto subsection {* Reglas de la negación *} text {* La regla de eliminación de lo falso es · FalseE: False ⟹ P La regla de eliminación de la negación es · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R La regla de introducción de la negación es · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P *} text {* Ejemplo 15 (p. 15). Demostrar ¬p ∨ q ⊢ p ⟶ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_15_1: assumes 1: "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" proof (rule impI) assume 2: "p" note 1 thus "q" proof (rule disjE) { assume 3: "¬p" show "q" using 3 2 by (rule notE) } next { assume 4: "q" show "q" using 4 by this} qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_15_2: assumes "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" proof assume "p" note `¬p ∨ q` thus "q" proof { assume "¬p" thus "q" using `p` .. } next { assume "q" thus "q" . } qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_15_3: assumes "¬p ∨ q" shows "p ⟶ q" using assms by auto text {* Ejemplo 16 (p. 16). Demostrar p ⟶ q, p ⟶ ¬q ⊢ ¬p *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_16_1: assumes 1: "p ⟶ q" and 2: "p ⟶ ¬q" shows "¬p" proof (rule notI) assume 3: "p" have 4: "q" using 1 3 by (rule mp) have 5: "¬q" using 2 3 by (rule mp) show False using 5 4 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_16_2: assumes "p ⟶ q" "p ⟶ ¬q" shows "¬p" proof assume "p" have "q" using assms(1) `p` .. have "¬q" using assms(2) `p` .. thus False using `q` .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_16_3: assumes "p ⟶ q" "p ⟶ ¬q" shows "¬p" using assms by auto subsection {* Reglas del bicondicional *} text {* La regla de introducción del bicondicional es · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P ⟷ Q Las reglas de eliminación del bicondicional son · iffD1: ⟦Q ⟷ P; Q⟧ ⟹ P · iffD2: ⟦P ⟷ Q; Q⟧ ⟹ P *} text {* Ejemplo 17 (p. 17) Demostrar *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_17_1: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" proof (rule iffI) { assume 1: "p ∧ q" have 2: "p" using 1 by (rule conjunct1) have 3: "q" using 1 by (rule conjunct2) show "q ∧ p" using 3 2 by (rule conjI) } next { assume 4: "q ∧ p" have 5: "q" using 4 by (rule conjunct1) have 6: "p" using 4 by (rule conjunct2) show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) } qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_17_2: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" proof { assume 1: "p ∧ q" have "p" using 1 .. have "q" using 1 .. show "q ∧ p" using `q` `p` .. } next { assume 2: "q ∧ p" have "q" using 2 .. have "p" using 2 .. show "p ∧ q" using `p` `q` .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_17_3: "(p ∧ q) ⟷ (q ∧ p)" by auto text {* Ejemplo 18 (p. 18). Demostrar p ⟷ q, p ∨ q ⊢ p ∧ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_18_1: assumes 1: "p ⟷ q" and 2: "p ∨ q" shows "p ∧ q" using 2 proof (rule disjE) { assume 3: "p" have 4: "q" using 1 3 by (rule iffD1) show "p ∧ q" using 3 4 by (rule conjI) } next { assume 5: "q" have 6: "p" using 1 5 by (rule iffD2) show "p ∧ q" using 6 5 by (rule conjI) } qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_18_2: assumes "p ⟷ q" "p ∨ q" shows "p ∧ q" using assms(2) proof { assume "p" with assms(1) have "q" .. with `p` show "p ∧ q" .. } next { assume "q" with assms(1) have "p" .. thus "p ∧ q" using `q` .. } qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_18_3: assumes "p ⟷ q" "p ∨ q" shows "p ∧ q" using assms by auto subsection {* Reglas derivadas *} subsubsection {* Regla del modus tollens *} text {* Ejemplo 19 (p. 20) Demostrar la regla del modus tollens a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_20_1: assumes 1: "F ⟶ G" and 2: "¬G" shows "¬F" proof (rule notI) assume 3: "F" have 4: "G" using 1 3 by (rule mp) show False using 2 4 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_20_2: assumes "F ⟶ G" "¬G" shows "¬F" proof assume "F" with assms(1) have "G" .. with assms(2) show False .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_20_3: assumes "F ⟶ G" "¬G" shows "¬F" using assms by auto subsubsection {* Regla de la introducción de la doble negación *} text {* Ejemplo 21 (p. 21) Demostrar la regla de introducción de la doble negación a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_21_1: assumes 1: "F" shows "¬¬F" proof (rule notI) assume 2: "¬F" show False using 2 1 by (rule notE) qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_21_2: assumes "F" shows "¬¬F" proof assume "¬F" thus False using assms .. qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_21_3: assumes "F" shows "¬¬F" using assms by auto subsubsection {* Regla de reducción al absurdo *} text {* La regla de reducción al absurdo en Isabelle se correponde con la regla clásica de contradicción · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P *} subsubsection {* Ley del tercio excluso *} text {* La ley del tercio excluso es · excluded_middle: ¬P ∨ P *} text {* Ejemplo 22 (p. 23). Demostrar la ley del tercio excluso a partir de las reglas básicas. *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_22_1: "F ∨ ¬F" proof (rule ccontr) assume 1: "¬(F ∨ ¬F)" thus False proof (rule notE) show "F ∨ ¬F" proof (rule disjI2) show "¬F" proof (rule notI) assume 2: "F" hence 3: "F ∨ ¬F" by (rule disjI1) show False using 1 3 by (rule notE) qed qed qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_22_2: "F ∨ ¬F" proof (rule ccontr) assume "¬(F ∨ ¬F)" thus False proof (rule notE) show "F ∨ ¬F" proof (rule disjI2) show "¬F" proof (rule notI) assume "F" hence "F ∨ ¬F" .. with `¬(F ∨ ¬F)`show False .. qed qed qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_22_3: "F ∨ ¬F" using assms by auto text {* Ejemplo 23 (p. 24). Demostrar p ⟶ q ⊢ ¬p ∨ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_23_1: assumes 1: "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" proof - have "¬p ∨ p" by (rule excluded_middle) thus "¬p ∨ q" proof (rule disjE) { assume "¬p" thus "¬p ∨ q" by (rule disjI1) } next { assume 2: "p" have "q" using 1 2 by (rule mp) thus "¬p ∨ q" by (rule disjI2) } qed qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_23_2: assumes "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" proof - have "¬p ∨ p" .. thus "¬p ∨ q" proof { assume "¬p" thus "¬p ∨ q" .. } next { assume "p" with assms have "q" .. thus "¬p ∨ q" .. } qed qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_23_3: assumes "p ⟶ q" shows "¬p ∨ q" using assms by auto subsection {* Demostraciones por contradicción *} text {* Ejemplo 24. Demostrar que ¬p, p ∨ q ⊢ q *} -- "La demostración detallada es" lemma ejemplo_24_1: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using `p ∨ q` proof (rule disjE) assume "p" with assms(1) show "q" by contradiction next assume "q" thus "q" by assumption qed -- "La demostración estructurada es" lemma ejemplo_24_2: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using `p ∨ q` proof assume "p" with assms(1) show "q" .. next assume "q" thus "q" . qed -- "La demostración automática es" lemma ejemplo_24_3: assumes "¬p" "p ∨ q" shows "q" using assms by auto end |
En la segunda parte, se han comentado soluciones de los 24 primeros ejercicios de la relación 1.
Como tarea se ha propuesto la resolución de los restantes ejercicios de la relación 1 y los de las relaciones 2 (Argumentación proposicional con Isabelle/HOL) y 3 (Eliminación de conectivas).