I1M2012: Ejercicios de definiciones por comprensión (4)

En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se han comentado las soluciones de los ejercicios 1 y 2 de la 5ª relación sobre definiciones por comprensión.

Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación

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-- Introducción                                                       --
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-- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por
-- comprensión correspondientes al tema 5 cuyas transparencias se 
-- encuentran en  
--    http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-5.pdf

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-- Ejercicio 1.1. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica
-- si x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la
-- función 
--    pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo, 
--    pitagoricas 10  ==  [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------

pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n],
                           y <- [1..n],
                           z <- [1..n],
                           x^2 + y^2 == z^2]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.2. Definir la función 
--    numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int
-- tal que (numeroDePares t) es el número de elementos pares de la terna
-- t. Por ejemplo,
--    numeroDePares (3,5,7)  ==  0
--    numeroDePares (3,6,7)  ==  1
--    numeroDePares (3,6,4)  ==  2
--    numeroDePares (4,6,4)  ==  3
-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int
numeroDePares (x,y,z) = length [1 | n <- [x,y,z], even n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.3. Definir la función
--    conjetura :: Int -> Bool
-- tal que (conjetura n) se verifica si todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n tiene un número impar de números
-- pares. Por ejemplo,
--    conjetura 10  ==  True
-- ---------------------------------------------------------------------

conjetura :: Int -> Bool
conjetura n = and [odd (numeroDePares t) | t <- pitagoricas n]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1.4. Demostrar la conjetura para todas las ternas
-- pitagóricas. 
-- ---------------------------------------------------------------------

-- Sea (x,y,z) una terna pitagórica. Entonces x^2+y^2=z^2. Pueden darse
-- 4 casos:
-- 
-- Caso 1: x e y son pares. Entonces, x^2, y^2 y z^2 también lo
-- son. Luego el número de componentes pares es 3 que es impar.
-- 
-- Caso 2: x es par e y es impar. Entonces, x^2 es par, y^2 es impar y
-- z^2 es impar. Luego el número de componentes pares es 1 que es impar.
-- 
-- Caso 3: x es impar e y es par. Análogo al caso 2.
-- 
-- Caso 4: x e y son impares. Entonces, x^2 e y^2 también son impares y
-- z^2 es par. Luego el número de componentes pares es 1 que es impar.

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.1. (Problema 9 del Proyecto Euler). Una terna pitagórica
-- es una terna de números naturales (a,b,c) tal que a<b<c y
-- a^2+b^2=c^2. Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica. 
-- 
-- Definir la función 
--    ternasPitagoricas :: Integer -> [[Integer]]
-- tal que (ternasPitagoricas x) es la lista de las ternas pitagóricas
-- cuya suma es x. Por ejemplo,
--    ternasPitagoricas 12  ==  [(3,4,5)]
--    ternasPitagoricas 60  ==  [(10,24,26),(15,20,25)]
-- ---------------------------------------------------------------------

ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]
ternasPitagoricas x = [(a,b,c) | a <- [1..x], 
                                 b <- [a+1..x], 
                                 c <- [x-a-b], 
                                 a^2 + b^2 == c^2]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2.2. Definir la constante euler9 tal que euler9 es producto
-- abc donde (a,b,c) es la única terna pitagórica tal que a+b+c=1000. 
-- Calcular el valor de euler9.
-- ---------------------------------------------------------------------

euler9 = a*b*c
    where (a,b,c) = head (ternasPitagoricas 1000)

-- El cálculo del valor de euler9 es
--    ghci> euler9
--    31875000

100

101

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-- Introducción --

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-- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por

-- comprensión correspondientes al tema 5 cuyas transparencias se

-- encuentran en

-- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-5.pdf

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.1. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica

-- si x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la

-- función

-- pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]

-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas

-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,

-- pitagoricas 10 == [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]

-- ---------------------------------------------------------------------

pitagoricas :: Int -> [(Int,Int,Int)]

pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n],

y <- [1..n],

z <- [1..n],

x^2 + y^2 == z^2]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.2. Definir la función

-- numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int

-- tal que (numeroDePares t) es el número de elementos pares de la terna

-- t. Por ejemplo,

-- numeroDePares (3,5,7) == 0

-- numeroDePares (3,6,7) == 1

-- numeroDePares (3,6,4) == 2

-- numeroDePares (4,6,4) == 3

-- ---------------------------------------------------------------------

numeroDePares :: (Int,Int,Int) -> Int

numeroDePares (x,y,z) = length [1 | n <- [x,y,z], even n]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1.3. Definir la función

-- conjetura :: Int -> Bool

-- tal que (conjetura n) se verifica si todas las ternas pitagóricas

-- cuyas componentes están entre 1 y n tiene un número impar de números

-- pares. Por ejemplo,

-- conjetura 10 == True

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conjetura :: Int -> Bool

conjetura n = and [odd (numeroDePares t) | t <- pitagoricas n]

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-- Ejercicio 1.4. Demostrar la conjetura para todas las ternas

-- pitagóricas.

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-- Sea (x,y,z) una terna pitagórica. Entonces x^2+y^2=z^2. Pueden darse

-- 4 casos:

-- Caso 1: x e y son pares. Entonces, x^2, y^2 y z^2 también lo

-- son. Luego el número de componentes pares es 3 que es impar.

-- Caso 2: x es par e y es impar. Entonces, x^2 es par, y^2 es impar y

-- z^2 es impar. Luego el número de componentes pares es 1 que es impar.

-- Caso 3: x es impar e y es par. Análogo al caso 2.

-- Caso 4: x e y son impares. Entonces, x^2 e y^2 también son impares y

-- z^2 es par. Luego el número de componentes pares es 1 que es impar.

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-- Ejercicio 2.1. (Problema 9 del Proyecto Euler). Una terna pitagórica

-- es una terna de números naturales (a,b,c) tal que a<b<c y

-- a^2+b^2=c^2. Por ejemplo (3,4,5) es una terna pitagórica.

-- Definir la función

-- ternasPitagoricas :: Integer -> [[Integer]]

-- tal que (ternasPitagoricas x) es la lista de las ternas pitagóricas

-- cuya suma es x. Por ejemplo,

-- ternasPitagoricas 12 == [(3,4,5)]

-- ternasPitagoricas 60 == [(10,24,26),(15,20,25)]

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ternasPitagoricas :: Integer -> [(Integer,Integer,Integer)]

ternasPitagoricas x = [(a,b,c) | a <- [1..x],

b <- [a+1..x],

c <- [x-a-b],

a^2 + b^2 == c^2]

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-- Ejercicio 2.2. Definir la constante euler9 tal que euler9 es producto

-- abc donde (a,b,c) es la única terna pitagórica tal que a+b+c=1000.

-- Calcular el valor de euler9.

-- ---------------------------------------------------------------------

euler9 = a*b*c

where (a,b,c) = head (ternasPitagoricas 1000)

-- El cálculo del valor de euler9 es

-- ghci> euler9

-- 31875000

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