I1M2012: Ejercicios de definiciones por comprensión (1)

En la clase de hoy del curso Informática (de 1º de Grado en Matemáticas) se han comentado las soluciones de los 3 primeros ejercicios de la 4ª relación sobre definiciones por comprensión.

Los ejercicios y sus soluciones se muestran a continuación

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-- Introducción                                                       --
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-- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por
-- comprensión correspondientes al tema 5 cuyas transparencias se 
-- encuentran en  
--    http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-5.pdf

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-- Ejercicio 1. Definir, por comprensión, la función
--    sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Por ejemplo,
--    sumaDeCuadrados 3    ==  14
--    sumaDeCuadrados 100  ==  338350
-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]

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-- Ejercicio 2. Definir por comprensión la función
--    replica :: Int -> a -> [a]
-- tal que (replica n x) es la lista formada por n copias del elemento
-- x. Por ejemplo, 
--    replica 3 True  ==  [True, True, True]
-- Nota: La función replica es equivalente a la predefinida replicate.
-- ---------------------------------------------------------------------

replica :: Int -> a -> [a]
replica n x = [x | _ <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.1. Definir la función suma tal (suma n) es la suma de los
-- n primeros números. Por ejemplo,
--    suma 3  ==  6
-- ---------------------------------------------------------------------

suma n = sum [1..n]

-- Otra definición más eficiente es
suma2 n = (1+n)*n `div` 2

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.2. Los triángulo aritmético se forman como sigue
--     1
--     2  3
--     4  5  6
--     7  8  9 10
--    11 12 13 14 15
--    16 16 18 19 20 21
-- Definir la función linea tal que (linea n) es la línea n-ésima de los
-- triángulos aritméticos. Por ejemplo, 
--    linea 4  ==  [7,8,9,10]
--    linea 5  ==  [11,12,13,14,15]
-- ---------------------------------------------------------------------

linea n = [suma (n-1)+1..suma n]

-- La definición puede mejorarse
linea2 n = [s+1..s+n]
           where s = suma (n-1)

-- Una variante más eficiente es 
linea3 n = [s+1..s+n]
           where s = suma2 (n-1)

-- La mejora de la eficiencia se puede observar como sigue:
--    ghci> :set +s
--    ghci> head (linea 1000000)
--    499999500001
--    (17.94 secs, 309207420 bytes)
--    ghci> head (linea3 1000000)
--    499999500001
--    (0.01 secs, 525496 bytes)

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3.3. Definir la función triangulo tal que (triangulo n) es
-- el triángulo aritmético de altura n. Por ejemplo,
--    triangulo 3  ==  [[1],[2,3],[4,5,6]]
--    triangulo 4  ==  [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]]
-- ---------------------------------------------------------------------

triangulo n = [linea m | m <- [1..n]]

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Introducción --

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-- En esta relación se presentan ejercicios con definiciones por

-- comprensión correspondientes al tema 5 cuyas transparencias se

-- encuentran en

-- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-12/temas/tema-5.pdf

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 1. Definir, por comprensión, la función

-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer

-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los

-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + n^2. Por ejemplo,

-- sumaDeCuadrados 3 == 14

-- sumaDeCuadrados 100 == 338350

-- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer

sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]

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-- Ejercicio 2. Definir por comprensión la función

-- replica :: Int -> a -> [a]

-- tal que (replica n x) es la lista formada por n copias del elemento

-- x. Por ejemplo,

-- replica 3 True == [True, True, True]

-- Nota: La función replica es equivalente a la predefinida replicate.

-- ---------------------------------------------------------------------

replica :: Int -> a -> [a]

replica n x = [x | _ <- [1..n]]

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-- Ejercicio 3.1. Definir la función suma tal (suma n) es la suma de los

-- n primeros números. Por ejemplo,

-- suma 3 == 6

-- ---------------------------------------------------------------------

suma n = sum [1..n]

-- Otra definición más eficiente es

suma2 n = (1+n)*n `div` 2

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-- Ejercicio 3.2. Los triángulo aritmético se forman como sigue

-- 1

-- 2 3

-- 4 5 6

-- 7 8 9 10

-- 11 12 13 14 15

-- 16 16 18 19 20 21

-- Definir la función linea tal que (linea n) es la línea n-ésima de los

-- triángulos aritméticos. Por ejemplo,

-- linea 4 == [7,8,9,10]

-- linea 5 == [11,12,13,14,15]

-- ---------------------------------------------------------------------

linea n = [suma (n-1)+1..suma n]

-- La definición puede mejorarse

linea2 n = [s+1..s+n]

where s = suma (n-1)

-- Una variante más eficiente es

linea3 n = [s+1..s+n]

where s = suma2 (n-1)

-- La mejora de la eficiencia se puede observar como sigue:

-- ghci> :set +s

-- ghci> head (linea 1000000)

-- 499999500001

-- (17.94 secs, 309207420 bytes)

-- ghci> head (linea3 1000000)

-- 499999500001

-- (0.01 secs, 525496 bytes)

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-- Ejercicio 3.3. Definir la función triangulo tal que (triangulo n) es

-- el triángulo aritmético de altura n. Por ejemplo,

-- triangulo 3 == [[1],[2,3],[4,5,6]]

-- triangulo 4 == [[1],[2,3],[4,5,6],[7,8,9,10]]

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triangulo n = [linea m | m <- [1..n]]

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