I1M2010: Ejercicios sobre el TAD de los grafos en Haskell
En la clase de hoy de Informática de 1º del Grado en Matemáticas hemos comentado las soluciones a los ejercicios sobre el tipos abstracto de datos de los grafos en Haskell de la 30ª relación.
Los ejercicios y su solución se muestran a continuación
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-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- --------------------------------------------------------------------- -- El objetivo de esta relación de ejercicios es definir funciones sobre -- el TAD de los grafos, utilizando las implementaciones estudiadas -- en el tema 22 que se pueden descargar desde -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-10/codigos.zip -- -- Las transparencias del tema 22 se encuentran en -- http://www.cs.us.es/~jalonso/cursos/i1m-10/temas/tema-22.pdf -- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías -- -- --------------------------------------------------------------------- {-# LANGUAGE FlexibleInstances, TypeSynonymInstances #-} import Data.Array import Data.List (nub) import Test.QuickCheck -- Hay que seleccionar una implementación del TAD de los grafos import GrafoConVectorDeAdyacencia -- import GrafoConMatrizDeAdyacencia -- import GrafoConListas -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejemplos -- -- --------------------------------------------------------------------- -- Para los ejemplos se usarán los siguientes grafos. g1, g2, g3, g4, g5, g6, g7, g8 :: Grafo Int Int g1 = creaGrafo False (1,5) [(1,2,12),(1,3,34),(1,5,78), (2,4,55),(2,5,32), (3,4,61),(3,5,44), (4,5,93)] g2 = creaGrafo True (1,5) [(1,2,12),(1,3,34),(1,5,78), (2,4,55),(2,5,32), (4,3,61),(4,5,93)] g3 = creaGrafo True (1,3) [(1,2,0),(2,2,0),(3,1,0),(3,2,0)] g4 = creaGrafo True (1,4) [(1,2,3),(2,1,5)] g5 = creaGrafo True (1,1) [(1,1,0)] g6 = creaGrafo True (1,4) [(1,3,0),(3,1,0),(3,3,0),(4,2,0)] g7 = creaGrafo False (1,4) [(1,3,0)] g8 = creaGrafo True (1,5) [(1,1,0),(1,2,0),(1,3,0),(2,4,0),(3,1,0), (4,1,0),(4,2,0),(4,4,0),(4,5,0)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. El grafo completo de orden n, K(n), es un grafo no -- dirigido cuyos conjunto de vértices es {1,..n} y tiene una arista -- entre par de vértices distintos. Definir la función, -- completo :: Int -> Grafo Int Int -- tal que (completo n) es el grafo completo de orden n. Por ejemplo, -- ghci> completo 4 -- array (1,4) [(1,[(2,0),(3,0),(4,0)]), -- (2,[(1,0),(3,0),(4,0)]), -- (3,[(1,0),(2,0),(4,0)]), -- (4,[(1,0),(2,0),(3,0)])] -- --------------------------------------------------------------------- completo :: Int -> Grafo Int Int completo n = creaGrafo False (1,n) xs where xs = [(x,y,0) | x <- [1..n], y <- [1..n], x < y] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. El ciclo de orden n, C(n), es un grafo no dirigido -- cuyo conjunto de vértices es {1,...,n} y las aristas son -- (1,2), (2,3), ..., (n-1,n), (n,1) -- Definir la función -- grafoCiclo :: Int -> Grafo Int Int -- tal que (grafoCiclo n) es el grafo ciclo de orden n. Por ejemplo, -- ghci> grafoCiclo 3 -- array (1,3) [(1,[(3,0),(2,0)]),(2,[(1,0),(3,0)]),(3,[(2,0),(1,0)])] -- --------------------------------------------------------------------- grafoCiclo :: Int -> Grafo Int Int grafoCiclo n = creaGrafo False (1,n) xs where xs = [(x,x+1,0) | x <- [1..n-1]] ++ [(n,1,0)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función -- nVertices :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nVertices g) es el número de vértices del grafo g. Por -- ejemplo, -- nVertices (completo 4) == 4 -- nVertices (completo 5) == 5 -- --------------------------------------------------------------------- nVertices :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nVertices = length . nodos -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13. Definir la función -- dirigido :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool -- tal que (dirigido g) se verifica si el grafo g es dirigido; es decir, -- existe una arista (x,y) en g tal que que (y,x) no es una arista de -- g. Por ejemplo, -- dirigido g1 == False -- dirigido g2 == True -- dirigido (completo 4) == False -- --------------------------------------------------------------------- dirigido :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool dirigido g = or [not (aristaEn g (y,x)) | x <- vs, y <- vs, aristaEn g (x,y)] where vs = nodos g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 14. Definir la función -- noDirigido :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool -- tal que (noDirigido g) se verifica si el grafo g es no dirigido. Por -- ejemplo, -- noDirigido g1 == True -- noDirigido g2 == False -- noDirigido (completo 4) == True -- --------------------------------------------------------------------- noDirigido :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool noDirigido = not . dirigido -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 15. La función aristasND definida en el TAD de los grafos -- se aplica a grafos no dirigidos sin lazos. Definir la función -- aristasND' :: (Ix v,Num p) => (Grafo v p) -> [(v,v,p)] -- tal que (aristasND' g) es la lista de las aristas del grafo no -- dirigido g que puede tener lazos. Por ejemplo, -- g5 == array (1,1) [(1,[(1,0)])] -- aristasND g5 == [] -- aristasND' g5 == [(1,1,0)] -- --------------------------------------------------------------------- aristasND' :: (Ix v,Num p) => (Grafo v p) -> [(v,v,p)] aristasND' g = [(v1,v2,peso v1 v2 g) | v1 <- nodos g, v2 <- contiguos g v1, v1 <= v2] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4. Definir la función -- aristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> [(v,v)] -- tal que (aristas g) es el conjunto de las aristas del grafo g. Por -- ejemplo, -- ghci> aristas g1 -- [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)] -- ghci> aristas g2 -- [(1,2),(1,3),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(4,5)] -- ghci> aristas (completo 4) -- [(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)] -- ghci> aristas (creaGrafo True (1,3) [(2,1,0),(3,3,0)]) -- [(1,2),(3,3)] -- ghci> aristas (creaGrafo True (1,3) [(2,1,0),(3,3,0),(1,2,0)]) -- [(1,2),(3,3)] -- --------------------------------------------------------------------- aristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> [(v,v,p)] aristas g | dirigido g = aristasD g | otherwise = aristasND' g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir la función -- nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nAristas g) es el número de aristas del grafo g. Por -- ejemplo, -- nAristas g1 == 8 -- nAristas g2 == 7 -- nAristas (completo 4) == 6 -- nAristas (completo 5) == 10 -- --------------------------------------------------------------------- nAristas :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nAristas = length . aristas -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Definir la función -- prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool -- tal que (prop_nAristasCompleto n) se verifica si el número de aristas -- del grafo completo de orden n es n*(n-1)/2 y, usando la función, -- comprobar que la propiedad se cumple para n de 1 a 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_nAristasCompleto :: Int -> Bool prop_nAristasCompleto n = nAristas (completo n) == n*(n-1) `div` 2 -- La comprobación es -- ghci> and [prop_nAristasCompleto n | n <- [1..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Definir la función -- lazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> [(v,v)] -- tal que (lazos g) es el conjunto de los lazos (es decir, aristas -- cuyos extremos son iguales) del grafo g. Por ejemplo, -- ghci> lazos g3 -- [(2,2)] -- ghci> lazos g2 -- [] -- --------------------------------------------------------------------- lazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> [(v,v)] lazos g = [(x,x) | x <- nodos g, aristaEn g (x,x)] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8. Definir la función -- nLazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int -- tal que (nLazos g) es el número de lazos del grafo g. Por -- ejemplo, -- nLazos g3 == 1 -- nLazos g2 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- nLazos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Int nLazos = length . lazos -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9. En un un grafo g, los incidentes de un vértice v es el -- conjuntos de vértices x de g para los que hay un arco (o una arista) -- de x a v; es decir, que v es adyacente a x. Definir la función -- incidentes :: (Ix v,Num p) => (Grafo v p) -> v -> [v] -- tal que (incidentes g v) es la lista de los vértices incidentes en el -- vértice v. Por ejemplo, -- incidentes g2 5 == [1,2,4] -- adyacentes g2 5 == [] -- incidentes g1 5 == [1,2,3,4] -- adyacentes g1 5 == [1,2,3,4] -- --------------------------------------------------------------------- incidentes :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] incidentes g v = [x | x <- nodos g, v `elem` adyacentes g x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. En un un grafo g, los contiguos de un vértice v es el -- conjuntos de vértices x de g tales que x es adyacente o incidente con -- v. Definir la función -- contiguos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] -- tal que (contiguos g v) es el conjunto de los vértices de g contiguos -- con el vértice v. Por ejemplo, -- contiguos g2 5 == [1,2,4] -- contiguos g1 5 == [1,2,3,4] -- --------------------------------------------------------------------- contiguos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> [v] contiguos g v = nub (adyacentes g v ++ incidentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. El grado positivo de un vértice v de un grafo dirigido -- g, es el número de vértices de g adyacentes con v. Definir la función -- gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (gradoPos g v) es el grado positivo del vértice v en el grafo -- g. Por ejemplo, -- gradoPos g1 5 == 4 -- gradoPos g2 5 == 0 -- gradoPos g2 1 == 3 -- --------------------------------------------------------------------- gradoPos :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoPos g v = length (adyacentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. El grado negativo de un vértice v de un grafo dirigido -- g, es el número de vértices de g incidentes con v. Definir la función -- gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (gradoNeg g v) es el grado negativo del vértice v en el grafo -- g. Por ejemplo, -- gradoNeg g1 5 == 4 -- gradoNeg g2 5 == 3 -- gradoNeg g2 1 == 0 -- --------------------------------------------------------------------- gradoNeg :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int gradoNeg g v = length (incidentes g v) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 16. El grado de un vértice v de un grafo g, es el número de -- aristas de g que contiene a v (los lazos se cuentan 2 veces). Definir -- la función -- grado :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int -- tal que (grado g v) es el grado del vértice v en el grafo g. Por -- ejemplo, -- grado g1 5 == 4 -- grado g2 5 == 3 -- grado g2 1 == 3 -- grado g3 2 == 4 -- grado g5 1 == 2 -- --------------------------------------------------------------------- grado :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> v -> Int grado g v = sum [1 | (x,y,p) <- as, x == v] + sum [1 | (x,y,p) <- as, y == v] where as = aristas g -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 17. Comprobar con QuickCheck que si g es un grafo dirigido, -- entonces, para todo vértice v de g, el grado de v en g es la suma del -- grado positivo y del grado negativo de v en g. -- --------------------------------------------------------------------- prop_grados :: Grafo Int Int -> Property prop_grados g = dirigido g ==> and [grado g v == gradoPos g v + gradoNeg g v | v <- nodos g] -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_grados -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 18. Comprobar con QuickCheck que para cualquier grafo g, la -- suma de los grados positivos de los vértices de g es igual que la -- suma de los grados negativos de los vértices de g. -- --------------------------------------------------------------------- -- La propiedad es prop_sumaGrados:: Grafo Int Int -> Bool prop_sumaGrados g = sum [gradoPos g v | v <- vs] == sum [gradoNeg g v | v <- vs] where vs = nodos g -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaGrados -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 19. Comprobar con QuickCheck que para cualquier grafo g, la -- suma de los grados de los vértices de g es el doble del número de -- aristas de g. -- --------------------------------------------------------------------- prop_sumaGradosDoble:: Grafo Int Int -> Bool prop_sumaGradosDoble g = sum [grado g v | v <- nodos g] == 2 * nAristas g -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_sumaGradosDoble -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 20. Comprobar con QuickCheck que en todo grafo, el número -- de nodos de grado impar es par. -- --------------------------------------------------------------------- prop_numNodosGradoImpar :: Grafo Int Int -> Bool prop_numNodosGradoImpar g = even m where vs = nodos g m = length [v | v <- vs, odd(grado g v)] -- La comprobación es -- ghci> quickCheck prop_numNodosGradoImpar -- +++ OK, passed 100 tests. -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 21. Un grafo es regular si todos sus vértices tienen el -- mismo grado. Definir la función -- regular :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool -- tal que (regular g) se verifica si todos los nodos de g tienen el -- mismo grado. -- regular g1 == False -- regular g2 == False -- regular (completo 4) == True -- --------------------------------------------------------------------- regular :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Bool regular g = and [grado g v == k | v <- vs] where vs = nodos g k = grado g (head vs) -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 22. Definir la propiedad -- prop_CompletoRegular :: Int -> Int -> Bool -- tal que (prop_CompletoRegular m n) se verifica si todos los grafos -- completos desde el de orden m hasta el de orden m son regulares y -- usarla para comprobar que todos los grafos completo desde el de orden -- 1 hasta el de orden 30 son regulares. -- --------------------------------------------------------------------- prop_CompletoRegular :: Int -> Int -> Bool prop_CompletoRegular m n = and [regular (completo x) | x <- [m..n]] -- La comprobación es -- ghci> prop_CompletoRegular 1 30 -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 23. Un grafo es k-regular si todos sus vértices son de -- grado k. Definir la función -- regularidad :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Maybe Int -- tal que (regularidad g) es la regularidad de g. Por ejemplo, -- regularidad g1 == Nothing -- regularidad (completo 4) == Just 3 -- regularidad (completo 5) == Just 4 -- regularidad (grafoCiclo 4) == Just 2 -- regularidad (grafoCiclo 5) == Just 2 -- --------------------------------------------------------------------- regularidad :: (Ix v,Num p) => Grafo v p -> Maybe Int regularidad g | regular g = Just (grado g (head (nodos g))) | otherwise = Nothing -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 24. Definir la propiedad -- prop_completoRegular :: Int -> Bool -- tal que (prop_completoRegular n) se verifica si el grafo completo de -- orden n es (n-1)-regular. Por ejemplo, -- prop_completoRegular 5 == True -- y usarla para comprobar que la cumplen todos los grafos completos -- desde orden 1 hasta 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_completoRegular :: Int -> Bool prop_completoRegular n = regularidad (completo n) == Just (n-1) -- La comprobación es -- ghci> and [prop_completoRegular n | n <- [1..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 25. Definir la propiedad -- prop_cicloRegular :: Int -> Bool -- tal que (prop_cicloRegular n) se verifica si el grafo ciclo de orden -- n es 2-regular. Por ejemplo, -- prop_cicloRegular 2 == True -- y usarla para comprobar que la cumplen todos los grafos ciclos -- desde orden 3 hasta 20. -- --------------------------------------------------------------------- prop_cicloRegular :: Int -> Bool prop_cicloRegular n = regularidad (grafoCiclo n) == Just 2 -- La comprobación es -- ghci> and [prop_cicloRegular n | n <- [3..20]] -- True -- --------------------------------------------------------------------- -- Generador de grafos -- -- --------------------------------------------------------------------- instance Arbitrary (Grafo Int Int) where arbitrary = genG genG :: Gen (Grafo Int Int) genG = do d <- choose (True,False) n <- choose (1,10) xs <- vectorOf (n*n) arbitrary if d then return (generaGD n xs) else return (generaGND n xs) generaGND :: Int -> [Int] -> Grafo Int Int generaGND n ls = creaGrafo False (1,n) l3 where l1 = [(x,y) | x <-[1..n], y <- [1..n], x < y] l2 = zip l1 ls l3 = [(x,y,z) | ((x,y),z) <- l2, z > 0] generaGD :: Int -> [Int] -> Grafo Int Int generaGD n ls = creaGrafo True (1,n) l3 where l1 = [(x,y) | x <-[1..n], y <- [1..n]] l2 = zip l1 ls l3 = [(x,y,z) | ((x,y),z) <- l2, z > 0] |
Las soluciones de las relaciones anteriores se encuentran en el libro Ejercicios de “Informática de 1º de Matemáticas” (Curso 2010-11).